第一章 勾股定理（单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（北师大版，辽宁专用）

第一章 勾股定理 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，属于勾股数的是（    ） A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13 2．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是（    ） A．能组成三角形 B．能组成直角三角形 C．能组成直角三角形 D．能组成直角三角形 3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 4．如图，一根长的吸管置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 6．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 7．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（    ）    A．7 B．24 C．17 D．25 9．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 10．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为 ． 12．如图，在中，，，分别以、为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为．则的结果为 ． 13．如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．    14．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ． 三、解答题 （共75分） 16．（8分） 如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？ 17．（9分） 如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．    18．（8分） 如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 19．（8分） 年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？ 20．（8分） 如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ 21．（10分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．    (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______． (2)应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 22．（12分）【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 23．（13分）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 勾股定理 （北师大版） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各数中，属于勾股数的是（    ） A． B．1， 2， 3 C． D．5， 12， 13 【答案】D 【分析】解答此题要用到勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知的三边满足， 则是直角三角形，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、不是正整数，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、不是正整数，故选项不符合题意； D、，是勾股数，故选项符合题意； 故选：D． 2．若a，b，c是直角三角形的三条边，下列说法正确的是（    ） A．能组成三角形 B．能组成直角三角形 C．能组成直角三角形 D．能组成直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，根据直角三角形的三边的倍数，仍能组成直角三角形，即可得出结论． 【详解】解：∵a，b，c是直角三角形的三条边， ∴能组成直角三角形，不一定能组成三角形，其他情况都不能得到直角三角形， 故选B． 3．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边为（    ） A．5 B． C．5或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理；分所求的边为斜边与直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当所求边为斜边时，由勾股定理得：； 当所求边为直角边时，此时边长为4的边是斜边，由勾股定理得：； 即第三边为5或； 故选：C． 4．如图，一根长的吸管置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，吸管露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 如图，由勾股定理得，，则，此时吸管露在杯子外面的长度最短，由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为，即，然后作答即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴，此时吸管露在杯子外面的长度最短， 由题意知，吸管露在杯子外面的长度最长为（）， ∴， 故选：B． 5．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，再用尺规作图作出于点，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据作图知平分，，由角平分线性质知，，根据求出长，即得长． 【详解】解：，，， ， 由作图可知平分，， ， ， ， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握作角平分线，过直线外一点作直线的垂线，角平分线性质，勾股定理解直角三角形，面积法求三角形高，是解题的关键． 6．如图，为了庆祝“五•一”，学校准备在教学大厅的圆柱体柱子上贴彩带，已知柱子的底面周长为，高为．如果要求彩带从柱子底端的处均匀地绕柱子圈后到达柱子顶端的处（线段与地面垂直），那么应购买彩带的长度为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将圆柱表面切开展开呈长方形，则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， 【详解】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，    则有螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长， ∵圆柱高米，底面周长米， ∴彩带长=， ∴彩带长至少是， 故选：． 【点睛】本题主要考查立体图形展开图的认识，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 7．在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则（    ）    A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】利用正方形的性质，易证，得到，再利用勾股定理，得到，同理可得，，，即可得到答案． 【详解】解：由正方形的性质可知，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， 同理可得，，， ， 故选：A．    【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据题意得出是解题关键． 8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为625，则小正方形的边长为（    ）    A．7 B．24 C．17 D．25 【答案】C 【分析】勾股定理得：，又，由此即可求出，因此小正方形的边长为17． 【详解】解：由题意知小正方形的边长是，由勾股定理得：， ， ， 小正方形的边长为17． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，全等三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（　　） A．84 B．24 C．24或84 D．42或84 【答案】C 【分析】由于高的位置不确定，所以应分情况讨论. 【详解】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在三角形ABC的内部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=84， （2）△ABC为钝角三角形，高AD在三角形ABC的外部， ∴BD==9，CD==5， ∴△ABC的面积为=24， 故选C. 【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是根据三角形的形状进行分类讨论. 10．意大利著名画家达·芬奇用下图所示的方法证明了勾股定理．若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列等式成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和图形可知，，然后即可判断哪个选项符合题意； 【详解】由图可得：， 故选：C 【点睛】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为 ． 【答案】或/或10 【分析】题目主要考查了根据勾股定理计算直角三角形的一条边长，分两种情况讨论是解题的关键． 已知直角三角形的两边长，求第三边，第三边可能是斜边，也可能是直角边，分两种情况根据勾股定理求解． 【详解】解：分两种情况讨论： 若m为一条直角边， 在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故直角边长 若m为斜边，在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，故斜边长； 故答案为：或10． 12．如图，在中，，，分别以、为直角边作等腰直角三角形和等腰直角三角形．若的面积为，的面积为．则的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质、三角形面积，由勾股定理可得，由等腰直角三角形的性质可得，把代入计算即可求解，熟练掌握勾股定理和等腰直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 故答案为：． 13．如图，是直角三角形，，点A表示的数是3，且，若以点C圆心为半径画弧交于点B以点O为圆心，为半径画弧交x轴于点D．则点D表示的数为 ．    【答案】/ 【分析】根据题意得出，，根据勾股定理求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：∵点A表示的数是3， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理可得：， ∴， ∴点D表示的数为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与无理数，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方． 14．如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 cm（杯壁厚度不计）． 【答案】20 【详解】分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求． 详解：如图： 将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′， 连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B=（cm）． 故答案为20． 点睛：本题考查了平面展开---最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 15．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是 ． 【答案】． 【详解】试题解析：将四边形MTKN的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，S1+S2+S3=10， ∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x， ∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10， x+4y=， 所以S2=x+4y=． 考点：勾股定理的证明． 三、解答题 16．如图，某小区有一块四边形空地，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量，米，米，米，米．若在这块空地上种植草坪，每平方米草坪需要70元，那么铺这块空地需要投入多少资金？ 【答案】2520元 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．连接，先利用勾股定理求出的长，再用勾股定理逆定理证明是直角三角形，根据求出四边形的面积，即可解题． 【详解】解：连接， 在中，，根据勾股定理，得． ，， ． ，， ． ， ． 为直角三角形． ， ． ． 答：铺这块空地需要投入资金2520元． 17．如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，FC交AD于F． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．    【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【详解】试题分析：（1）根据矩形的性质得到AB=CD，∠B=∠D=90°，根据折叠的性质得到∠E=∠B，AB=AE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到AF=CF，EF=DF，根据勾股定理得到DF=3，根据三角形的面积公式即可得到结论． 试题解析：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°，∵将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D，在△AEF与△CDF中，∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD，∴△AEF≌△CDF； （2）∵AB=4，BC=8，∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4，∵△AEF≌△CDF，∴AF=CF，EF=DF，∴DF2+CD2=CF2，即DF2+42=（8﹣DF）2，∴DF=3，∴EF=3，∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF=×4×8﹣×4×3=10． 点睛：本题考查了翻折变换﹣折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，绳子始终绷紧且绳长保持不变． (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)此人以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置？ 【答案】(1)米 (2)不能 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，求出的长是解题的关键． （1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴求男子需向右移动的距离为米； （2）解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为秒， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 19．年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，是某个大型农场，且．若，之间相距，，之间相距． (1)判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为 ，则台风影响该农场持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析； (2)台风影响该农场持续时间为． 【分析】（）勾股定理求出， 过点作，垂足为，根据面积法求出，判断即可； （）假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响，得，，由勾股定理，可得的长度，再除以速度即可得到时间； 此题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． 【详解】（1）会受到台风的影响，理由： 如图，过点作，垂足为， 因为在中，，，， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，所以农场会受到台风的影响； （2）如图，假设台风在线段上移动时，会对农场造成影响， 所以，， 由勾股定理，可得， 因为台风的速度是， 所以受台风影响的时间为， 答：台风影响该农场持续时间为． 20．如图，只空油桶（每只油桶底面的直径均为）堆在一起，要给它们盖一个遮雨棚，遮雨棚起码要多高？ 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的应用：把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．此题关键是三个角处的三个油桶的圆心连线长为5个油桶的直径，考查学生分析题意的能力及勾股定理． 设每只油桶底面的直径为，，则，，再利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可得每只油桶底面的直径为，，则，， 这堆油桶的高度为 ． 因此，遮雨棚的高度起码要有． 21．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一．它不但因为证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷．    (1)应用场景1——在数轴上画出表示无理数的点． 如图1，在数轴上分别找出表示数0的点O，表示数3的点A，过点A作直线，在l上取点B，使，以点O为圆心，的长为半径作弧，则弧与数轴的交点C表示的数是______． (2)应用场景2——解决实际问题． 如图2，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉直，求秋千绳索的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． （1）先根据勾股定理计算出的长度，再根据C点在原点的左侧来确定点C表示的数； （2）设秋千的绳索长为，根据题意可得，利用勾股定理可得，解方程即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，，， 又∵O为圆心，点C表示的数大于零， ∴点C表示的数是． 故答案为：； （2）解：设秋千绳索的长度为， 由题意可得， 由题意知，四边形为矩形， ∴ 在中，， 即， 解得， 即的长度为， 答：绳索的长度为 22．【课题学习】 通过对《勾股定理》的学习，我们知道：如果一个三角形中，两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形一定是直角三角形．如果我们新定义一种三角形——两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形叫做奇异三角形． （1）根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定是奇异三角形吗？______（填“是”或“不是”）； （2）若某三角形的三边长分别为1，，2，则该三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； （3）在中，三边长分别为，且，，则这个三角形是不是奇异三角形？请做出判断并写出判断依据； 探究： 在中，，，，，且．若是奇异三角形，求． 【答案】（1）是；（2）是；（3）是；探究： 【分析】本题考查了奇异三角形的定义、等边三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等边三角形的性质和勾股定理，在解答（2）时要注意分类讨论． （1）根据题中所给的奇异三角形的定义、等边三角形的性质判断； （2）根据奇异三角形的定义判断； （3）分为斜边、为斜边两种情况，根据勾股定理、奇异三角形的定义判断； 探究：根据勾股定理、奇异三角形的定义计算即可． 【详解】解：（1）设等边三角形的边长为， ， ∴等边三角形一定是奇异三角形， 故答案为：是； (2)∵， ∴该三角形一定是奇异三角形； （3）当为斜边时，不是奇异三角形； 当为斜边时，， ∴是奇异三角形； ， ∴是奇异三角形； 拓展：中，， ， ， ， ∵是奇异三角形， ， ， ， ， ． 23．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 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