1.4.2充要条件（教学课件）-2024-2025学年高一数学同步教学精品课件+练习（人教A版2019必修第一册）

复习导入 充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”真 推理关系 条件关系 “若p，则q”假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 注：已知满足条件,满足条件则 是的充分条件；是的必要条件 新知探究 问题1：已知整数是的倍数； 整数是的倍数，请判断是的必要条件吗？ 是的充分条件吗？ ,所以是的充分条件； ,所以是的必要条件 是的充分必要条件（简称充要条件） 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 新知探究 思考2：，则是的充分必要条件，类似的， 你能否列举说明是的充分不必要条件、必要不充分条件、既不必要也不充分条件 p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 新知探究 思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题中的互为充要条件？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若是空集，则与均是空集. （1），（4） 练习巩固 例3.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分； (2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例； (3)：， (4)：是一元二次方程的一个根，. 解： (2)， (4) 思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 练习巩固 例4.已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件. 证明：设：直线与相切. (1)充分性()：如图，作于点，则 若则点在上.在直线上任取一点(易于点),连接 在中， 所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点. 所以直线与相切. (2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则 因此，.由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件. 练习巩固 练习1.已知.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ). .为二次函数 . .四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分 .或 【答案】 变式1-1.下列各题中，哪些是的充要条件？ (1)且； (2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形； (3) 【答案】（1），（3） 练习巩固 变式1-2.设：实数满足且，：实数满足，则是的（    ） ．充分不必要条件 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】 变式1-3.使“或”成立的一个充分不必要条件是（    ） . .或 . .或 【答案】 变式1-4.设集合，，则“”是“”的(　　) ．充分不必要条件　 ．必要不充分条件 ．充要条件 ．既不充分也不必要条件 【答案】 练习巩固 练习2.已知 (1)当为何值时，是的充要条件？ 解：(1)∵是的充要条件， ∴，此时 ∴当时，是的充要条件. 练习巩固 练习2.已知 (2)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(2)∵是的充分不必要条件， ∴， ∴. ∴当时， ∴是的充分不必要条件. • • • • • 练习巩固 练习2.已知 (3)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(3)∵是的必要不充分条件， ∴， ∴. ∴当时，是的必要不充分条件. • • • • • 练习巩固 变式2.已知 (1)当为何值时，是的充分不必要条件？ 解：(1)若是的充分不必要条件， 即但，亦即是的必要不充分条件， ∴，∴. ∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件. • • • • • 练习巩固 变式2.已知 (2)当为何值时，是的必要不充分条件？ 解：(2)若是的必要不充分条件， 即但，亦即是的充分不必要条件， ∴， ∴.∴当时， ∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件. • • • • • 练习巩固 练习3.求证：一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是 证明：假设一元二次方程有一正根和一负根, 证明，即证明充分性： 若成立，则关于的方程的判别式 ，且两根之积， 所以关于的方程有一正根和一负根成立，即充分性成立. 证明，即证明充分性： 反之，若关于的方程有一正根和一负根成立，则两根之积， 所以成立，即必要性成立， 综上，“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件 练习巩固 变式3-1.求证：关于的方程有一个根是1的充要条件是. 证明：假设：方程有一个根是，：. 证明，即证明必要性： ∵是方程的根， ∴，即. 再证明，即证明充分性： 由，得. ∵，∴，即. 故. ∴是方程的一个根． 故方程有一个根是的充要条件是. 证明：（必要性）在等腰梯形中，， 又因为，所以，所以 （充分性）如图，过点作，交延长线于点 四边形ABED是平行四边形， 又因为，， 在ABC和中，，所以， ， 练习巩固 变式3-2.求证：如图，梯形为等腰梯形的充要条件为. B C D E 小结 充要条件 p能否推q q能否推p p与q的关系 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的________________条件 p是q的_________________条件 充分必要(充要) 充分不必要 必要不充分 既不充分也不必要 $$