专题3.1 函数的概念以及性质（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（重庆专用）

专题3.1 函数的概念以及性质 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 5 考点一：函数的概念 5 考点二：函数的定义域以及值域 8 定义域 8 值域 9 考点三：相等函数 11 考点四：函数的性质 12 单调性 12 奇偶性 14 周期性 16 对称性 17 【真题演练】 18 【考纲要求】 内容：函数的有关概念、函数的表示方法、函数的性质。 要求：了解函数的概念及其三种表示方法； 掌握简单的函数的定义域的求法； 了解单调函数、奇偶函数的概念及其图象特征； 掌握简单的函数单调性、奇偶性的判定方法。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 函数及其表示 5 6 函数的基本性质 6 6 6+6 6+6 6+13 考向预测 1.函数的定义域. 2.函数单调性、奇偶性的判定方法． 3.函数的最值. 【考点导图】 【知识清单】 1．函数的概念 设在某一变化过程中，有两个变量x与y，如果按某个确定的对应关系f，使对于某个范围内的任意一个x的值，都有唯一确定的数y与之对应，那么就称y为x的函数，记作y＝f(x).其中x叫作自变量，y叫作因变量(或函数值)，x的取值范围叫作函数的定义域，y的取值范围叫作函数的值域. 知识要点 (1)函数的三要素是指：对应法则、定义域和值域. (2)若两个函数的对应法则和定义域都相同，则这两个函数是相同函数． (3)函数的表示方法主要有解析法、列表法、图象法。 2．函数的定义域 函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值集合． f(x)为 定义域 举例 函数 举例定义域 整式 R ； R 奇次根式 R R 分式 分母不为零的x的取值集合 偶次根式 被开方数大于或等于0的x的取值集合 对数式 真数大于零、底数大于零且不等于1的x的取值集合 ()0” 0次幂 底数不为0的x的取值集合 多项式函数 每个式子都有意义时x的取值集合的交集 tan x 3．函数的值域 在函数y＝f(x)中，与x的值对应的y值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域． (1)函数的值域是由定义域决定的． (2)求函数值域常见的方法有配方法、换元法、判别式法、观察法、裂项法和图象法. 4．分段函数 在自变量不同的取值范围内，有不同的对应关系叫作分段函数．例如： (1)分段函数的定义域是各个解析式的自变量取值集合的并集 (2)分段函数的值域是各个解析式的函数值集合的并集 5．函数单调性的概念 函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上是增函数，区间I叫作函数的增区间； 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间I上是减函数，区间I叫作函数的减区间. 函数的这种性质，叫作函数的单调性． 6．函数单调性的判断方法 (1)图象法：如下图所示，从左向右看， 若图象是上升的，则在其区间上是增函数； 若图象是下降的，则在其区间上是减函数． 图像 区间上是增函数 区间上是减函数 (2)定义法：在某个给定区间I内，先任取x1，x2∈I，设x1<x2，再作差f(x1)－f(x2)，化简并判断差的符号，得出结论． 函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有 f(x1)－f(x2)>0 区间I上是减函数 f(x1)－f(x2)<0 区间I上是增函数 7．函数奇偶性的概念 设函数y＝f(x)的定义域为D. (1)对任意的x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数叫作偶函数，其图象关于y轴对称． (2)对任意的x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫作奇函数，其图象关于原点对称． 8．常见初等函数的单调性 常见初等函数 单调性 一次函数y＝kx＋b k>0 (－∞，＋∞)上是增函数 k<0 (－∞，＋∞)上是减函数 反比例函数y＝ (k≠0) k>0 (－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数 k<0 (－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a<0 在区间上是增函数; 在区间上是减函数 a>0 在区间上是增函数; 在区间上是减函数 9．函数奇偶性的分类 (1)定义域关于原点对称 举例 f(－x)＝f(x)偶函数图象关于y轴对称 f(－x)＝－f(x)奇函数图象关于原点对称 f(－x)f(x)且f(－x)－f(x)非奇非偶函数 f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)即是奇函数也是偶函数 (2)定义域不关于原点对称：非奇非偶函数． 10．函数奇偶性与单调性 (1)奇函数在区间(－b，－a)和(a，b)上有相同的单调性． (2)偶函数在区间(－b，－a)和(a，b)上有相反的单调性． 【注】因为区间(－b，－a)和(a，b)都是在函数的定义域内，所以若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图等问题，只需要在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得． 【以下考频较低，可作为拓展】 11．函数周期性与对称性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. （3）对称性： (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． （4）两个函数图象之间的对称性 1.函数与的图象关于直线对称. 2.函数与的图象关于直线对称. 3.函数与的图象关于原点对称. 【考点分类剖析】 考点一：函数的概念 例1．下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以A错误， 对于B，由图可知，定义域内的每一个都对应两个值的情况，不符合函数的定义，不是函数，所以B错误， 对于C，由图可知，有一部分的有两个的值与其对应，所以不是函数图象，所以C错误， 对于D，由图可知，定义域内的每一个都只有一个和它对应，所以是函数图象，所以D正确. 故选：D 【变式探究】 1．对于集合，，由下列图形给出的对应中，能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据题意，由函数的定义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数. 故选：D 2.下列图象中，不能表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数概念逐一判断即可． 【详解】根据函数的概念知，对于定义域内任意，都有唯一确定的和它对应， 由图象可看出，表示函数关系的有AD；C项的对应关系中，均出现了一个对应两个值的情况， 不符合函数的定义，不是函数． 故选：C． 3.下列对应不是到的映射的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据映射的定义进行判断即可． 【详解】按照映射的定义，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一确定的一个元素与之对应， 故A、B、D中的对应是映射，C中，集合中的元素在集合中没有元素和它对应，C不是映射． 故选：C． 【点睛】本题主要考查映射的定义及判断，满足映射必须要求中每个元素都有对应，而且对应是唯一的，否则不能构成映射，是基础题，也是易错题． 4.已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将点坐标代入函数解析式，解方程即可求出结果. 【详解】由题意可得，解得， 故选：C. 考点二：函数的定义域以及值域 定义域 例2．函数定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据具体函数的解析式列不等式，解不等式可得解. 【详解】由题知，解得， 所以函数的定义域为， 故选：C. 【变式探究】 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到不等式组，解得即可. 【详解】对于函数，则，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数形式得到，解出即可. 【详解】由题意得，解得， 则其定义域为. 故选：A. 值域 例3．函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数单调性求出值域. 【详解】， 因为，所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故在上的值域为. 故选：D 【变式探究】 1.下列函数中，值域是的是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据基本初等函数的图象与性质，对各项中的函数依次求出值域，即可得到答案. 【详解】对于A：，因，所以函数的值域为，故A不正确； 对于B：，因，则，所以函数的值域为，故B不正确； 对于C：，因，则，所以，即函数的值域为，故C正确； 对于D：，因，则，所以函数的值域为，故D不正确. 故选：C. 【点睛】本题给出几个函数，考查基本初等函数的图象与性质，函数值域的求法，属于基础题. 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分别求出集合A、B，再利用交集定义计算即可. 【详解】由题意，，. 故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离常数后，得到函数值域. 【详解】， 因为，所以，故值域为． 故选：D 考点三：相等函数 例4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同一个函数的条件是定义域相同，解析式也要相同，从而来作出判断. 【详解】选项A，解析式等价，定义域也相同，所以是同一个函数； 选项B，解析式化简后相同，但定义域不同，因为分母不能取0，所以不是同一个函数； 选项C，解析式化简后都是1，但定义域不同，因为0的0次幂没有意义，所以不是同一个函数； 选项D，解析式不同，定义域也不同，所以不是同一个函数. 故选:A. 【变式探究】 1.下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同一函数满足定义域与解析式相同判断即可. 【详解】对A，的定义域为，的定义域为，故A错误； 对B，，故B错误； 对C，的定义域为，故C错误； 对D，，故D正确. 故选：D 2．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需判断各函数与题述函数对应法则以及定义域是否相同即可求解. 【详解】解：对于A，（），与（）的定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； 对于B，（），与（）的对应关系不同，不是同一函数； 对于C，（），与（）的定义域不同，不是同一函数； 对于D，（），与（）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数． 故选：D． 3．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相同函数的意义，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的值域是R，而函数的值不可能为负数，A不是； 对于B，函数中，，解得，即的定义域为， 函数中，，解得或，即的定义域为，B不是； 对于C，函数的值域为，函数的值域是R，C不是； 对于D，，函数与是相同函数，D是. 故选：D 考点四：函数的性质 单调性 例5．下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次函数的单调性可得出结果. 【详解】二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 所以，函数的增区间为， 故选：D. 【变式探究】 1.下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性定义和指数函数与幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于，根据幂函数的图像和性质，知是偶函数，图象关于轴对称，且在区间上是严格增函数，故正确； 对于，是偶函数，图象关于轴对称，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是偶函数，当时，，所以在区间上是严格减函数，故错误； 对于，是奇函数，图象关于原点对称，故错误. 故选：. 2．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象和性质，利用对称轴与区间的关系，得到关于a的不等式，求得a的取值范围. 【详解】因为函数在上是增函数， 所以，解得， 故选：C. 【点睛】本题考查已知函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题. 能力探究 1．已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单调性的定义判断即可. 【详解】因为是函数的增区间，所以，故A正确； 由于无法确定、的取值情况，故无法判断的符号，故B、C、D错误； 故选：A 奇偶性 例6．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】对于A，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 对于B，因为的定义域为，且，所以不是奇函数； 对于C，因为的定义域为，且，所以为奇函数； 对于D，因为的定义域为，且，所以为偶函数； 故选：. 【变式探究】 1．已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】求出，根据函数为奇函数得到. 【详解】，又在R上是奇函数， 故. 故选：B 2．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由函数的解析式判断其奇偶性即可得解. 【详解】对于A，是奇函数，故A错误； 对于B，是偶函数，故B正确； 对于C，是奇函数，故C错误； 对于D，因为的定义域不关于原点对称， 所以它是非奇非偶函数，故D错误. 故选：B. 能力探究 1.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】由偶函数的性质得列式求解． 【详解】因为函数是定义在上的偶函数， 所以，解得． 故选：D 周期性 例7．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【答案】A 【分析】根据题意得出函数的周期性、对称性，进一步得出即可得解. 【详解】由题意，所以的周期为4， 且关于直线对称， 而， 所以. 故选：A. 【变式探究】 1.已知函数则=（    ） A． B．9 C．3 D． 【答案】C 【分析】由题意可知，当时，函数是周期为的周期函数，可得，由此即可求出结果. 【详解】当时，，所以，所以当时，函数是周期为的周期函数，所以 ； 又，所以. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了函数的周期性和分段函数的概念，属于基础题. 2.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ） A．-50 B. 0 C. 2 D.50 【答案】C 【详解】因为是定义域为的奇函数，且， 所以，, ，， ，， 。 故选C. 2.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则(　　) A．－2　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1 【答案】A 【详解】∵函数f(x)为定义在R上的奇函数，且周期为2，∴f(1)＝－f(－1)＝－f(－1＋2)＝－ f(1)，∴f(1)＝0，f＝f＝－f＝－4＝－2，∴f＋f(1)＝－2． 故选A. 对称性 例8．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数的图象关于直线对称可得，结合奇函数的性质可知 ，. 由奇函数的性质结合在上单调递增可得在上单调递增， 所以， 所以. 故选：C 能力探究 1．定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的对称性与单调性比较大小. 【详解】由函数图象关于轴对称， 则，， 又函数在区间是单调递减函数， 所以， 即， 故选：B. 【真题演练】 1.（2020年高等职业教育分类考试数学第9题）设函数、的定义域均为R，且为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．必为奇函数 B．必为偶函数 C．必为奇函数 D．必为偶函数 【答案】C 【解析】本题考查函数的性质. 因为是定义在R上的奇函数，那么；是定义在R上的偶函数，那么，所以 ，所以不为奇函数；，所以不为偶函数 ，所以必为偶函数 故答案为：C. 2.（2021年高等职业教育分类考试数学第9题）设f(x)为偶函数，且在（0,+∞）上是单调增加的，下列判断一定正确的是( ) A.当时，有 B.当时，有 C.当时，有 D.当时，有 【答案】D 【解析】本题考查函数的性质. 因为f(x)为偶函数，且在（0,+∞）上是单调增加的，那么，所以f(x)为偶函数，且在（-∞，0）上是单调递减，所以当时，有。 故答案为：D. 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第4题）下列函数在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查函数的性质. 因为函数在区间上为增函数，当时，有 只有D选项满足。。 故答案为：D. 4.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（ ） A. B.0.5 C.3.5 D.4 【答案】B 【解析】本题考查函数的性质. 因为为区间上的偶函数，所以，因为以4为周期，所以，当时，，所以 故答案为：B. 5. （2023年高等职业教育分类考试数学第10题）函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数,在区间[0,1]上为增函数, f(2021), f (2022)，f(2023)的大小关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查函数的性质. 因为函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数，所以，因为以4为周期，所以，，在区间[0,1]上为增函数，所以 故答案为：A. 6.（2024年高等职业教育分类考试数学第5题）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查函数的概念及其表示. 在的定义域为，由同小取小得 故答案为：B. 7.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性. （1）解：因为的定义域为关于原点对称，令，，所以在定义域为上为奇函数。 （2）解：令，所以 因为，所以，，又因为，所以， ，所以为区间内的增函数，即证。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 函数的概念以及性质 目录 【考情统计】 1 【考点导图】 1 【知识清单】 2 【考点分类剖析】 6 考点一：函数的概念 6 考点二：函数的定义域以及值域 7 定义域 7 值域 8 考点三：相等函数 8 考点四：函数的性质 9 单调性 9 奇偶性 9 周期性 10 对称性 10 【真题演练】 11 【考纲要求】 内容：函数的有关概念、函数的表示方法、函数的性质。 要求：了解函数的概念及其三种表示方法； 掌握简单的函数的定义域的求法； 了解单调函数、奇偶函数的概念及其图象特征； 掌握简单的函数单调性、奇偶性的判定方法。 【考情统计】 近几年高考分值统计 考点 2020 2021 2022 2023 2024 函数及其表示 5 6 函数的基本性质 6 6 6+6 6+6 6+13 考向预测 1.函数的定义域. 2.函数单调性、奇偶性的判定方法． 3.函数的最值. 【考点导图】 【知识清单】 1．函数的概念 设在某一变化过程中，有两个变量x与y，如果按某个确定的对应关系f，使对于某个范围内的任意一个x的值，都有唯一确定的数y与之对应，那么就称y为x的函数，记作y＝f(x).其中x叫作自变量，y叫作因变量(或函数值)，x的取值范围叫作函数的定义域，y的取值范围叫作函数的值域. 知识要点 (1)函数的三要素是指：对应法则、定义域和值域. (2)若两个函数的对应法则和定义域都相同，则这两个函数是相同函数． (3)函数的表示方法主要有解析法、列表法、图象法。 2．函数的定义域 函数的定义域是指使函数的解析式有意义的自变量的取值集合． f(x)为 定义域 举例 函数 举例定义域 整式 R ； R 奇次根式 R R 分式 分母不为零的x的取值集合 偶次根式 被开方数大于或等于0的x的取值集合 对数式 真数大于零、底数大于零且不等于1的x的取值集合 ()0” 0次幂 底数不为0的x的取值集合 多项式函数 每个式子都有意义时x的取值集合的交集 tan x 3．函数的值域 在函数y＝f(x)中，与x的值对应的y值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域． (1)函数的值域是由定义域决定的． (2)求函数值域常见的方法有配方法、换元法、判别式法、观察法、裂项法和图象法. 4．分段函数 在自变量不同的取值范围内，有不同的对应关系叫作分段函数．例如： (1)分段函数的定义域是各个解析式的自变量取值集合的并集 (2)分段函数的值域是各个解析式的函数值集合的并集 5．函数单调性的概念 函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称f(x)在区间I上是增函数，区间I叫作函数的增区间； 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称f(x)在区间I上是减函数，区间I叫作函数的减区间. 函数的这种性质，叫作函数的单调性． 6．函数单调性的判断方法 (1)图象法：如下图所示，从左向右看， 若图象是上升的，则在其区间上是增函数； 若图象是下降的，则在其区间上是减函数． 图像 区间上是增函数 区间上是减函数 (2)定义法：在某个给定区间I内，先任取x1，x2∈I，设x1<x2，再作差f(x1)－f(x2)，化简并判断差的符号，得出结论． 函数y＝f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果对于区间I内任意两个自变量的值x1，x2， 当x1<x2时，都有 f(x1)－f(x2)>0 区间I上是减函数 f(x1)－f(x2)<0 区间I上是增函数 7．函数奇偶性的概念 设函数y＝f(x)的定义域为D. (1)对任意的x∈D，都有f(－x)＝f(x)，则这个函数叫作偶函数，其图象关于y轴对称． (2)对任意的x∈D，都有f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫作奇函数，其图象关于原点对称． 8．常见初等函数的单调性 常见初等函数 单调性 一次函数y＝kx＋b k>0 (－∞，＋∞)上是增函数 k<0 (－∞，＋∞)上是减函数 反比例函数y＝ (k≠0) k>0 (－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数 k<0 (－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0) a<0 在区间上是增函数; 在区间上是减函数 a>0 在区间上是增函数; 在区间上是减函数 9．函数奇偶性的分类 (1)定义域关于原点对称 举例 f(－x)＝f(x)偶函数图象关于y轴对称 f(－x)＝－f(x)奇函数图象关于原点对称 f(－x)f(x)且f(－x)－f(x)非奇非偶函数 f(－x)=f(x)且f(－x)=－f(x)即是奇函数也是偶函数 (2)定义域不关于原点对称：非奇非偶函数． 10．函数奇偶性与单调性 (1)奇函数在区间(－b，－a)和(a，b)上有相同的单调性． (2)偶函数在区间(－b，－a)和(a，b)上有相反的单调性． 【注】因为区间(－b，－a)和(a，b)都是在函数的定义域内，所以若函数具有奇偶性，研究单调性或最值或作图等问题，只需要在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得． 【以下考频较低，可作为拓展】 11．函数周期性与对称性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. （3）对称性： (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． （4）两个函数图象之间的对称性 1.函数与的图象关于直线对称. 2.函数与的图象关于直线对称. 3.函数与的图象关于原点对称. 【考点分类剖析】 考点一：函数的概念 例1．下列各图象中，是函数图象的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．对于集合，，由下列图形给出的对应中，能构成从到的函数有（  ）个 A．   B．   C．   D．   2.下列图象中，不能表示函数关系的有（    ） A． B． C． D． 3.下列对应不是到的映射的是（    ） A．B．C． D． 4.已知函数的图像经过点（5，4），则实数的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 考点二：函数的定义域以及值域 定义域 例2．函数定义域为（ ） A． B． C． D． 【变式探究】 1.函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 值域 例3．函数 的值域是（   ） A． B． C． D． 【变式探究】 1.下列函数中，值域是的是 A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 考点三：相等函数 例4．下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1.下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 2．在下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．下列表示是同一个函数的是（   ）. A．与 B．与 C．与 D．与 考点四：函数的性质 单调性 例5．下列区间中，使函数逐渐增加的区间是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】 1.下列函数中图象关于y轴对称，且在区间上是严格增函数的是（    ）． A． B． C． D． 2．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 能力探究 1．已知是函数的增区间，则下列结论成立的是（    ） A． B． C． D． 奇偶性 例6．下列函数是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】 1．已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（    ） A． B．1 C．0 D． 2．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 能力探究 1.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（    ） A．1 B．3 C． D． 周期性 例7．若函数是定义在上的奇函数，，则（    ） A．2 B．0 C．60 D．62 【变式探究】 1.已知函数则=（    ） A． B．9 C．3 D． 2.已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ） A．-50 B. 0 C. 2 D.50 2.已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f(x)＝4x，则(　　) A．－2　　　　　　　　B．0　　　　　　　　C．2　　　　　　　　D．1 对称性 例8．已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，若，，，则，，的大小关系为（       ） A． B． C． D． 能力探究 1．定义在上函数满足以下条件：①函数图象关于轴对称，②在区间是单调递减函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【真题演练】 1.（2020年高等职业教育分类考试数学第9题）设函数、的定义域均为R，且为奇函数，为偶函数，则下列说法正确的是（ ） A．必为奇函数 B．必为偶函数 C．必为奇函数 D．必为偶函数 2.（2021年高等职业教育分类考试数学第9题）设f(x)为偶函数，且在（0,+∞）上是单调增加的，下列判断一定正确的是( ) A.当时，有 B.当时，有 C.当时，有 D.当时，有 3.（2022年高等职业教育分类考试数学第4题）下列函数在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4.（2022年高等职业教育分类考试数学第10题）已知为区间上的偶函数，以4为周期，且当时，，那么的值为（ ） A. B.0.5 C.3.5 D.4 5. （2023年高等职业教育分类考试数学第10题）函数f(x)是在R上以4为周期的奇函数,在区间[0,1]上为增函数, f(2021), f (2022)，f(2023)的大小关系表达正确的是（ ） A. B. C. D. 6.（2024年高等职业教育分类考试数学第5题）函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 7.（2024年高等职业教育分类考试数学第12题）(本小题满分13分,(I)小问5分,(II)小问8分) 设函数 (I)判断的奇偶性; (II)证明为区间内的增函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$