专题04 导数及其应用(选择填空题)-大数据之十年高考数学真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考+全国理）

大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题04导数及其应用(选择填空题) 1．【2024年甲卷理科第6题】设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．【2024年甲卷理科第7题】函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 3．【2024年新高考2卷第6题】设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 4．【2023年新课标全国Ⅱ卷第6题】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 5．【2023年新课标全国Ⅰ卷第4题】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．【2022年新课标全国Ⅰ卷第7题】设，则（    ） A． B． C． D． 7．【2022年新课标全国Ⅰ卷第8题】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．【2022年高考全国甲卷理第6题】当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 9．【2022年高考全国甲卷理第12题】已知，则（    ） A． B． C． D． 10．【2021年新课标全国Ⅰ卷第7题】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 11．【2021年高考全国乙卷理第10题】设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 12．【2021年高考全国乙卷理第12题】设，，．则（    ） A． B． C． D． 13．【2020年新课标Ⅰ卷理科第6题】函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．【2019年新课标Ⅲ卷理科第6题】已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 15．【2019年新课标Ⅲ卷理科第7题】函数在的图像大致为 A． B． C． D． 16．【2018年新课标Ⅲ卷理科第7题】函数的图像大致为 A． B． C． D． 17．【2018年新课标Ⅰ卷理科第5题】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 18．【2018年新课标Ⅰ卷理科第9题】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 19．【2018年新课标Ⅱ卷理科第3题】函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 20．【2017年新课标Ⅲ卷理科第11题】已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 21．【2017年新课标Ⅱ卷理科第11题】若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 22．【2016年新课标Ⅰ卷理科第7题】函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 23．【2015年新课标Ⅱ理科第12题】设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 24．【2015年新课标Ⅰ理科第12题】设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．【2024年新高考1卷第10题】设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 26．【2024年新高考2卷第11题】设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 27．【2023年新课标全国Ⅱ卷第11题】若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 28．【2023年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 29．【2022年新课标全国Ⅰ卷第10题】已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 30．【2022年新课标全国Ⅱ卷第9题】已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 31．【2024年新高考1卷第13题】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 32．【2023年新课标全国Ⅰ卷第15题】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 33．【2023年高考全国乙卷理第16题】设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 34．【2022年新课标全国Ⅰ卷第15题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 35．【2022年新课标全国Ⅱ卷第14题】曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 36．【2022年高考全国乙卷理第16题】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 37．【2021年新课标全国Ⅰ卷第15题】函数的最小值为 . 38．【2021年新课标全国Ⅱ卷第14题】写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 39．【2021年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 40．【2021年高考全国甲卷理第13题】曲线在点处的切线方程为 ． 41．【2019年新课标Ⅰ卷理科第13题】曲线在点处的切线方程为 ． 42．【2018年新课标Ⅱ卷理科第13题】曲线在点处的切线方程为 ． 43．【2018年新课标Ⅲ卷理科第14题】曲线在点处的切线的斜率为，则 ． 44．【2018年新课标Ⅰ卷理科第16题】已知函数，则的最小值是 ． 45．【2016年新课标Ⅲ卷理科第15题】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ． 46．【2016年新课标Ⅱ卷理科第16题】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 2．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（2024·山西吕梁·三模）设，当变化时的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 7．（2024·四川·三模）已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 10．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点 11．（2024·湖南邵阳·三模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（   ） A． B．（精确到小数点后两位） C． D．当时， 12．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 13．（2024·黑龙江·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象在点处的切线在y轴上的截距为 B．在上为增函数 C．在上的最大值为 D．若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为 14．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（    ） A．的值可以取 B．的值可以取 C．的值关于单调递减 D． 15．（2024·广东江门·模拟预测）关于函数，下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最小值为4 D．在区间上递增 16．（2024·四川绵阳·模拟预测）若函数的图象上存在与直线平行的切线，则的取值范围是 . 17．（2024·山东菏泽·二模）已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为 ． 18．（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 . 19．（2024·四川成都·三模）若不等式，对任意恒成立，则正实数的取值范围是 . 20．（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的最大值 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大数据之十年高考真题（2015-2024）与优质模拟题（新高考卷） 专题04导数及其应用(选择填空题) 1．【2024年甲卷理科第6题】设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．【2024年甲卷理科第7题】函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 3．【2024年新高考2卷第6题】设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 4．【2023年新课标全国Ⅱ卷第6题】已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（    ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【详解】依题可知，在上恒成立，显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：C． 5．【2023年新课标全国Ⅰ卷第4题】设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 6．【2022年新课标全国Ⅰ卷第7题】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 7．【2022年新课标全国Ⅰ卷第8题】已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵球的体积为，所以球的半径, [方法一]：导数法 设正四棱锥的底面边长为，高为， 则，, 所以， 所以正四棱锥的体积， 所以， 当时，，当时，， 所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为， 又时，，时，, 所以正四棱锥的体积的最小值为， 所以该正四棱锥体积的取值范围是. 故选：C. [方法二]：基本不等式法 由方法一故所以当且仅当取到， 当时，得，则 当时，球心在正四棱锥高线上，此时， ，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是 8．【2022年高考全国甲卷理第6题】当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 9．【2022年高考全国甲卷理第12题】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 10．【2021年新课标全国Ⅰ卷第7题】若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 11．【2021年高考全国乙卷理第10题】设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故. 有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，a为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的. 当时，由，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 当时，由时，，画出的图象如下图所示：    由图可知，，故. 综上所述，成立. 故选：D 12．【2021年高考全国乙卷理第12题】设，，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】[方法一]： ， 所以； 下面比较与的大小关系. 记，则，， 由于 所以当0<x<2时，，即，， 所以在上单调递增， 所以，即，即； 令，则，， 由于，在x>0时，， 所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c； 综上，， 故选：B. [方法二]： 令 ，即函数在（1，+∞)上单调递减 令 ，即函数在（1，3)上单调递增 综上，， 故选：B. 13．【2020年新课标Ⅰ卷理科第6题】函数的图像在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，，， 因此，所求切线的方程为，即. 故选：B. 14．【2019年新课标Ⅲ卷理科第6题】已知曲线在点处的切线方程为，则 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】详解： ， 将代入得，故选D． 15．【2019年新课标Ⅲ卷理科第7题】函数在的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B． 16．【2018年新课标Ⅲ卷理科第7题】函数的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数过定点，排除， 求得函数的导数， 由得， 得或，此时函数单调递增，排除，故选D. 17．【2018年新课标Ⅰ卷理科第5题】设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数是奇函数，所以，解得， 所以，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 化简可得，故选D. 18．【2018年新课标Ⅰ卷理科第9题】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是 A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞） 【答案】C 【详解】画出函数的图像，在y轴右侧的去掉， 再画出直线，之后上下移动， 可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点， 并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点， 即方程有两个解， 也就是函数有两个零点， 此时满足，即，故选C. 19．【2018年新课标Ⅱ卷理科第3题】函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为奇函数，舍去A, 舍去D; ， 所以舍去C；因此选B. 20．【2017年新课标Ⅲ卷理科第11题】已知函数有唯一零点，则 A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】因为，设，则 ，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C. 21．【2017年新课标Ⅱ卷理科第11题】若是函数的极值点，则的极小值为． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得， 因为，所以，，故， 令，解得或， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极小值为，故选A． 22．【2016年新课标Ⅰ卷理科第7题】函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称， 因为， 所以排除选项； 当时，有一零点，设为，当时，为减函数， 当时，为增函数． 故选：D. 23．【2015年新课标Ⅱ理科第12题】设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造新函数,，当时. 所以在上单减，又，即. 所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：. 故选A. 24．【2015年新课标Ⅰ理科第12题】设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，， 由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， ，当时，；当时，. 所以，函数的最小值为. 又，. 直线恒过定点且斜率为， 故且，解得，故选D. 25．【2024年新高考1卷第10题】设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 26．【2024年新高考2卷第11题】设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 27．【2023年新课标全国Ⅱ卷第11题】若函数既有极大值也有极小值，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】函数的定义域为，求导得， 因为函数既有极大值也有极小值，则函数在上有两个变号零点，而， 因此方程有两个不等的正根， 于是，即有，，，显然，即，A错误，BCD正确. 故选：BCD 28．【2023年新课标全国Ⅰ卷第11题】已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 29．【2022年新课标全国Ⅰ卷第10题】已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有三个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】AC 【详解】由题，，令得或， 令得， 所以在，上单调递增，上单调递减，所以是极值点，故A正确； 因，，， 所以，函数在上有一个零点， 当时，，即函数在上无零点， 综上所述，函数有一个零点，故B错误； 令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心， 将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； 令，可得，又， 当切点为时，切线方程为，当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：AC. 30．【2022年新课标全国Ⅱ卷第9题】已知函数的图像关于点中心对称，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD 【详解】由题意得：，所以，， 即， 又，所以时，，故． 对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减； 对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点； 对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：， 解得或, 从而得：或, 所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即． 故选：AD． 31．【2024年新高考1卷第13题】若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 32．【2023年新课标全国Ⅰ卷第15题】已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】 因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 33．【2023年高考全国乙卷理第16题】设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【详解】 由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 34．【2022年新课标全国Ⅰ卷第15题】若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 35．【2022年新课标全国Ⅱ卷第14题】曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 【答案】 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. [方法三]： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 故答案为：；. 36．【2022年高考全国乙卷理第16题】已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点 因为，所以方程的两个根为， 即方程的两个根为， 即函数与函数的图象有两个不同的交点， 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 所以当时，，即图象在上方 当时，，即图象在下方 ，图象显然不符合题意，所以． 令，则， 设过原点且与函数的图象相切的直线的切点为， 则切线的斜率为，故切线方程为， 则有，解得，则切线的斜率为， 因为函数与函数的图象有两个不同的交点， 所以，解得，又，所以， 综上所述，的取值范围为． [方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导 =0的两个根为 因为分别是函数的极小值点和极大值点， 所以函数在和上递减，在上递增， 设函数，则， 若，则在上单调递增，此时若，则在 上单调递减，在上单调递增，此时若有和分别是函数 且的极小值点和极大值点，则，不符合题意； 若，则在上单调递减，此时若，则在上单调递增，在上单调递减，令，则，此时若有和分别是函数且的极小值点和极大值点，且，则需满足，，即故，所以. 37．【2021年新课标全国Ⅰ卷第15题】函数的最小值为 . 【答案】1 【详解】由题设知：定义域为， ∴当时，，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递减； 当时，，有，此时单调递增； 又在各分段的界点处连续， ∴综上有：时，单调递减，时，单调递增； ∴ 故答案为：1. 38．【2021年新课标全国Ⅱ卷第14题】写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ． ①；②当时，；③是奇函数． 【答案】（答案不唯一，均满足） 【详解】取，则，满足①， ，时有，满足②， 的定义域为， 又，故是奇函数，满足③. 故答案为：（答案不唯一，均满足） 39．【2021年新课标全国Ⅱ卷第16题】已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，，则， 所以点和点，, 所以， 所以， 所以， 同理, 所以. 故答案为： 40．【2021年高考全国甲卷理第13题】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 41．【2019年新课标Ⅰ卷理科第13题】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】. 【详解】详解： 所以， 所以，曲线在点处的切线方程为，即． 42．【2018年新课标Ⅱ卷理科第13题】曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【详解】 43．【2018年新课标Ⅲ卷理科第14题】曲线在点处的切线的斜率为，则 ． 【答案】 【详解】解： 则 所以 故答案为-3. 44．【2018年新课标Ⅰ卷理科第16题】已知函数，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】［方法一］： 【通性通法】导数法 ． 令，得，即在区间内单调递增； 令，得，即在区间内单调递减． 则． 故答案为：. ［方法二］： 三元基本不等式的应用 因为， 所以 ． 当且仅当，即时，取等号． 根据可知，是奇函数，于是，此时． 故答案为：. ［方法三］： 升幂公式＋多元基本不等式 ， ， 当且仅当，即时，． 根据可知，是奇函数，于是． 故答案为：. ［方法四］： 化同角＋多元基本不等式+放缩 ，当且仅当时等号成立． 故答案为：. ［方法五］：万能公式＋换元+导数求最值 设，则可化为， 当时，；当时，，对分母求导后易知， 当时，有最小值． 故答案为：. ［方法六］： 配方法 ， 当且仅当即时，取最小值． 故答案为：. ［方法七］：【最优解】周期性应用＋导数法 因为，所以， 即函数的一个周期为，因此时，的最小值即为函数的最小值． 当时，， 当时， 因为 ，令，解得或，由，，，所以的最小值为． 故答案为：. 45．【2016年新课标Ⅲ卷理科第15题】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【详解】当时，，则．又因为为偶函数，所以，所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即． 46．【2016年新课标Ⅱ卷理科第16题】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【答案】 【详解】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 1．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 2．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，解得，故的定义域为， ，当且仅当，即时，等号成立， 故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是. 故选：C 3．（2024·山西吕梁·三模）设，当变化时的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在上，在上， 设到准线的垂线交准线于点，轴于. ， 又为焦点与上点的距离，设， 因为，所以过点的切线的斜率，当与切线垂直时，最小， 所以，，令，显然在上单调递增， 又，所以，所以，所以的最小值为. 故选：C. 4．（2024·四川宜宾·模拟预测）定义在上的单调函数，对任意的有恒成立，若方程有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于函数为单调函数，则不妨设，则， 且，解得，所以. 设， 则方程有两个不同的实数根等价于函数与有两个不同的交点. ， 易得当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以. 又，且当时，. 故函数与有两个不同的交点则. 故选：B 5．（2024·陕西西安·三模）已知函数则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，． 则所求的切线方程为，即． 故选：B. 6．（2024·湖北武汉·二模）设，则的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知可得， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即，所以， 设，，则， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上， 设，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 所以 故选：B. 7．（2024·四川·三模）已知关于的方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】显然不是方程的根， 则方程的根即为方程的根， 令，得，设，求导得， 由，得或，由，得， 即函数在和上单调递减，在上单调递增，， 作出的大致图象，如图， 依题意，方程有两个不相等的实数根，设为，， 观察图象知，方程的每一个根，由得两个不同的值， 于是，且，由，解得， 不妨设， 则， 由，得， 所以的取值范围为. 故选：A 8．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴，∴是偶函数， ， 当时，，故函数在上单调递增， 令，则， 即函数在上单调递减，故， 即可，而， 所以， ∴． 故选：C． 9．（2024·青海·二模）已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【详解】对于①，令，得，所以. 令，得，所以为奇函数，故①正确； 对于③，令，得， 所以，，故③错误. 对于②，因为， 所以， ， ， ， ，以上各式相加得 ， 所以，故②正确. 对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确. 故选：D. 10．（2024·河北衡水·三模）已知函数，是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（   ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同直线与相切 D．函数有5个零点 【答案】AD 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为 是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确； 对于B中，由，令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B错误； 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误； 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确． 故选：AD． 11．（2024·湖南邵阳·三模）英国数学家泰勒发现了如下公式：，，某数学兴趣小组在研究该公式时，提出了如下猜想，其中正确的有（   ） A． B．（精确到小数点后两位） C． D．当时， 【答案】BD 【详解】由，，则有，故A选项错误． 由，则， 又（精确到小数点后两位），故B选项正确． ，，则有，故C选项错误． 当时，令，则，， 所以在上为增函数，则， 所以在上为增函数，则， 故当时，恒成立，即．故D选项正确． 故选：BD. 12．（2024·江苏宿迁·三模）在中，角所对的边分别为．若，且边上的中线长为，则（    ） A． B．的取值范围为 C．面积的最大值为 D．周长的最大值为 【答案】AB 【详解】对于A，由，所以, 所以，由正弦定理可得 ，因为，, 可得，化简得，又， .故A正确； 对于B，设，，，根据题意，，， ，化简得，则， ，当且仅当时等号成立，又，， ，，即，故B正确； 对于C，由B，可得，故C错误； 对于D，由前面选项，可得，且，， ，即，令，由，得，解得， 所以三角形周长， 则，令，解得，又，所以在 上单调递减，所以，故D错误. 故选：AB. 13．（2024·黑龙江·三模）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．的图象在点处的切线在y轴上的截距为 B．在上为增函数 C．在上的最大值为 D．若在内恰有11个极值点，则实数m的取值范围为 【答案】ACD 【详解】对于选项A：当时，，则， 可得，， 则函数的图象在点处的切线方程为， 所以切线在y轴上的截距为，故A正确； 对于选项B：当时，， 则， 因为时，则，可知，则； 当时，则，可知，则； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于选项C：由选项B可知：在的最大值为， 因为的定义域为，且， 可知函数为偶函数， 所以在上的最大值为，故C正确； 对于选项D：若在内恰有11个极值点， 由选项C可知：为定义在上的偶函数， 可知为的极值点，则在内恰有5个极值点， 由选项A可知：当时，， 令得，且的零点均为变号零点， 可知：的极值点即为的零点， 令，解得， 即在内的极值点为， 由题意可得：，即， 所以实数m的取值范围为，故D正确. 故选：ACD. 14．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数有两个零点，，则下列说法正确的是（    ） A．的值可以取 B．的值可以取 C．的值关于单调递减 D． 【答案】ACD 【详解】求导得， 当时，恒成立， 故在上为减函数，不可能有两个零点，故; 令，得， 当，；当时，； 则在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； 对于A选项：当时，， ，故， 因为在上单调递增， 则，故，则， 当时，；且时，； 故在及各有一个零点，故A对； 对于B选项:当时，于是， 故在上无零点，故B错； 对于C，，即，可视为两函数与的交点横坐标， 当增加，直线斜率变小，同时向下平移，故收缩变小，故C正确； 对于D，因为为函数的零点，则， 不妨设， 则，， 又， 所以 设， 则，令，， 则，所以， 所以函数在上单调递减， 所以当时，， 即，即， ，故D正确. 故选：ACD. 15．（2024·广东江门·模拟预测）关于函数，下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最小值为4 D．在区间上递增 【答案】BCD 【详解】对于A，，所以A选项错误； 对于B，，所以B选项正确； ， 当且仅当即当时，取到等号，所以C选项正确； 时，， 令，则， 所以在上单调递减，又，所以 所以，所以在区间上递增，D选项正确． 故选：BCD． 16．（2024·四川绵阳·模拟预测）若函数的图象上存在与直线平行的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】，， 令，求导得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，且当时，，，时，， 设函数在处的切线过原点，则， 解得，， 又有唯一解，于是且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 17．（2024·山东菏泽·二模）已知函数的图象与圆有两个交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】，则， ，当时，；当时，； 可知函数在上单调递减，在上单调递增， ，当时，，当时，， 在同一坐标系作出函数和圆的图象，如图： 可知函数在处的切线方程为， 圆在点处的切线方程为， 则当，即时，圆与函数的图象有且只有一个交点， 当，即时，圆与函数的图象有两个交点， 可得的取值范围为． 故答案为： 18．（2024·江西·三模）已知函数，若在其定义域上没有零点，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为在上连续，又， 所以要使无零点，需使在其定义域上恒成立． 于是原问题转化为，求的取值范围． 当时，，不合题意； 当时， ， ， ， ， ， 当时，恒成立， 下面讨论的情况， 令，所以在上单调递增，又由式得 ，所以，即恒成立． 令，令得． 因为当时，，所以在上单调递增； 因为当时，，所以在上单调递减， 所以是的极大值点， ，所以，即． 综上所述，的取值范围为． 故答案为：. 19．（2024·四川成都·三模）若不等式，对任意恒成立，则正实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】若不等式，对任意恒成立，则， 而，所以， 设，则， 所以在上单调递增，从而， 即对任意恒成立， 设，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以当时，， 综上，正实数的取值范围是. 故答案为：. 20．（2024·广东江门·二模）若曲线与曲线存在公切线，则的最大值 . 【答案】 【详解】设公切线与曲线切于点，与曲线切于点， 由，得，由，得 则， 所以，所以， 所以，所以， 即，因为，所以， 设，则， 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以. 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$