第59讲 余弦定理与面积公式（四大高频题型4考点）-【中职数学】2025年高考百练必刷题

中职数学高考百练考点59——余弦定理与面积公式 1、 【考点深度剖析】 应知应会1 考题方向1 余弦定理 1.余弦定理解三角形 2.余弦定理在几何中的应用 应知应会2 考题方向2 三角形面积公式 1.求三角形面积大小 2.求三角形面积最值（范围） 2、 【高频考点突破】 题型一、余弦定理解三角形 1.（2024届山东省职教高考数学综合模拟试题）在中，已知角所对的边分别为，面积为,且，则角的度数为（ ） A. B. C. D. 题型二、余弦定理在几何中的应用 2.（江苏省徐州市职业学校2024届高三第二次质量检测数学试题）的内角的对边分别为，已知 （1）求; （2）若，的面积为2，求. 题型三、求三角形面积大小 3.（四川省自贡市2024届中职高三二模数学试题）中，所对边分别为且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 题型四、求三角形面积最值（范围） 4.（江西省九江市四校联考2021-2022学年高三上学期三校生期中考试数学试卷）在中， 求角； 若，求面积的最大值 三、【考点反馈演练全覆盖】 【考点1】余弦定理解三角形 1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2.在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D． 3.在中，，，，则（    ） A． B． C．7 D．13 4.在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（    ） A． B． C． D． 5.知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 6.在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 7.设锐角的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 【考点2】余弦定理在几何中的应用 9.若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ． 10.已知是钝角三角形，角的对边依次是，且，则边的取值范围是 ． 11.已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 12.已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为 . 13.已知中，角的对边分别为，且的面积为，则 . 【考点3】求三角形面积大小 14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为 ． 15.记的内角A，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若，求的外接圆的面积． 16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若的外接圆半径，，求的面积． 17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若，，求的面积． 18.记内角的对边分别为，，，已知， (1)求； (2)若，求的面积. 【考点4】求三角形面积最值（范围） 19. 在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 20. 在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 21. 已知中，角所对的边分别为，那么面积的最大值 . 22. 在中，已知且，则面积的最大值是 ． 23．如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 24. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求C； (2)若，且是锐角三角形，求面积的取值范围． ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 中职数学高考百练考点59——余弦定理与面积公式 1、 【考点深度剖析】 应知应会1 考题方向1 余弦定理 1.余弦定理解三角形 2.余弦定理在几何中的应用 应知应会2 考题方向2 三角形面积公式 1.求三角形面积大小 2.求三角形面积最值（范围） 2、 【高频考点突破】 题型一、余弦定理解三角形 1.（2024届山东省职教高考数学综合模拟试题）在中，已知角所对的边分别为，面积为,且，则角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为,所以 结合余弦定理有： 所以 答案选A 题型二、余弦定理在几何中的应用 2.（江苏省徐州市职业学校2024届高三第二次质量检测数学试题）的内角的对边分别为，已知 （1）求; （2）若，的面积为2，求. 【答案】见解析 【解析】(1) 又解得,所以 (2)因为，所以， 由余弦定理得 即，所以 题型三、求三角形面积大小 3.（四川省自贡市2024届中职高三二模数学试题）中，所对边分别为且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,故答案选B 题型四、求三角形面积最值（范围） 4.（江西省九江市四校联考2021-2022学年高三上学期三校生期中考试数学试卷）在中， 求角； 若，求面积的最大值 【答案】见解析 【解析】（1）由结合正弦定理得： 整理得： 因为在中，，所以 (2)在中由余弦定理得 即 三、【考点反馈演练全覆盖】 【考点1】余弦定理解三角形 1.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理，可得，即. 故选：B 2.在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】中，已知，，，由余弦定理， 得， 所以. 故选：D. 3.在中，，，，则（    ） A． B． C．7 D．13 【答案】A 【解析】由余弦定理可得， 所以. 故选：A 4.在中，角的对边分别为，若，则中角B的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则， 由余弦定理得， 又，所以. 故选：D. 5.知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，且，所以，即， 所以由余弦定理得. 故选：D 6.在中，已知角、、的对边分别为、、，且满足，则角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】因为，即， 由余弦定理， 又，所以. 故选：C 7.设锐角的内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）， 由正弦定理可得，则， 又在中，，， 又为锐角三角形，． （2）在中，，， 由（1）知，， 所以由余弦定理，， 则． 8.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）在中，由于， 可设，由余弦定理 （2）设，若，则，解得. 故， 故的外接圆半径是：． 【考点2】余弦定理在几何中的应用 9.若是钝角三角形，，，，则x的取值范围是 ． 【答案】,, 【解析】 由题意知钝角三边长分别为3，4，， 设为钝角， 则， ． 由于两边之差小于第三边，． ． 设为钝角， 则， ，即． 由于两边之和大于第三边，． ． 综上，或． 故答案为：,,． 10.已知是钝角三角形，角的对边依次是，且，则边的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为是钝角三角形，且， 当为最长边时，则满足，即，解得， 当为最长边时，则满足，即，解得， 综上可得，边的取值范围是. 故答案为：. 11.已知三边上的高分别为、、，且，则此三角形最大角的余弦值为 . 【答案】 【解析】因的面积，则，故， 显然角为最大角，不妨设（），则， 由余弦定理，. 故答案为：. 12.已知的三个内角所对的边分别为，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】由题意可得， 由余弦定理可得， 因为，所以，所以， 所以根据基本不等式， 当且仅当，即时等号成立. 故答案为：. 13.已知中，角的对边分别为，且的面积为，则 . 【答案】 【解析】，解得， ， . 故答案为： 【考点3】求三角形面积大小 14.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，则的面积为 ． 【答案】 【解析】由正弦定理可得, 由于，所以， 由得， 故, 所以， 故的面积为, 故答案为： 15.记的内角A，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若，求的外接圆的面积． 【答案】(1)； (2). 【解析】（1）由正弦定理及已知可得：， 化简得； （2）由， 在中，，， 所以， 设外接圆半径为R，由正弦定理可得， 所以外接圆的面积为. 16.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角C的大小； (2)若的外接圆半径，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即， 因为，所以，即， 因为，所以． （2）因为，的外接圆半径， 所以由，可得， 因为， 由余弦定理，可得， 即，解得或（舍去）， 所以的面积． 17.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 (1)求角A； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）解：由，可得，即， 又由余弦定理得， 因为，所以. （2）解：由（1）知，因为， 所以的面积为. 18.记内角的对边分别为，，，已知， (1)求； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由可得， 由余弦定理，，因，故. 代入可得，，因,故. （2）由（1）知，，，故， 因 由正弦定理，可得， 故的面积为. 【考点4】求三角形面积最值（范围） 19. 在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】B 【解析】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 故选：B． 20. 在中，的角平分线交于点，若，，则的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在中，记所对的边为， 因为， 所以， 即 ，所以，即， 当且仅当时等号成立， 所以. 故选：D 21. 已知中，角所对的边分别为，那么面积的最大值 . 【答案】 【解析】因为，由正弦定理可得 ，， ，， 又，， 由余弦定理得，即， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号. 故答案为：. 22. 在中，已知且，则面积的最大值是 ． 【答案】 【解析】因为且， 设，则， 又因为， 所以． 当，即时取等号． 故答案为：． 23．如图，在平面内，四边形满足，点在的两侧，，，为正三角形，设.    (1)当时，求； (2)当变化时，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，，， 由余弦定理可得：. （2）由余弦定理可得， 因为为正三角形，所以， ， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 故当时，四边形面积的最大值为. 24. 在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且． (1)求C； (2)若，且是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【解析】（1）因为， 且由余弦定理， 所以，即， 又，所以． （2）由正弦定理可得，， 所以，， 所以的面积 ． 由是锐角三角形，得 即， 所以， 所以， 所以， 所以面积的取值范围为． ( 13 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$