第六章几何图形初步 训练提升课件 2024-2025学年人教版（2024）数学七年级上册

第六章 几何图形初步 6.1 几何图形 6.1.1 立体图形与平面图形 第1课时 认识几何图形 知识点一:认识立体图形 1.下面图形中,属于立体图形的是( ) C 2.(雁塔区月考)如图,在下面四个物体中,最接近圆柱的是( ) C 3.请写出图中立体图形的名称: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . 圆柱 三棱柱 三棱锥 圆锥 知识点二:认识平面图形 4.如图是一间房子的平面示意图,组成这幅图的简单几何图形是( ) A.三角形、长方形 B.三角形、正方形、长方形 C.三角形、正方形、长方形、梯形 D.正方形、长方形、梯形 C 5.如图,一个正方体有盖盒子(可密封)里装入六分之一高度的水,改变正方体盒子的放置方式,下列选项中不是盒子里的水能形成的几何体是( ) A.正方体 B.长方体 C.三棱柱 D.三棱锥 A 6.一支粉笔有下列性质:白色,固体,圆台形,不易溶于水,密度大于水,长为105 mm,大头直径25 mm,小头直径22 mm,等等,几何研究其中的性质有 . 圆台形,长为105 mm,大头直径25 mm,小头直径22 mm 7.如图所示的立体图形的表面中分别包含哪些平面图形?分别指出这些平面图形在立体图形中的位置. 解:(1)立体图形中包含的平面图形有三角形和长方形,长方形是底面,三角形是侧面. (2)立体图形中包含的平面图形有圆,圆是圆柱的上下底面. (3)立体图形中包含的平面图形有六边形和长方形,六边形是上下底面,长方形是侧面. $$复习提升(六) 几何图形初步 【重难点突破】 重难点一:立体图形与平面图形 1.组成如图所示的陀螺的是( ) A.长方体和圆锥 B.长方形和三角形 C.圆和三角形 D.圆柱和圆锥 D 重难点二:从不同方向看立体图形与立体图形的展开图 2.在如图所示的几何体中,从不同方向看得到的平面图形中有长方形的是( ) A.① B.② C.①② D.①②③ C 3.(卢龙县期末)如图是某正方体的展开图,在顶点处标有数字,当把它折成正方体时,与4重合的数字是( ) A.9和13 B.2和9 C.1和13 D.2和8 D 重难点三:点、线、面、体 4.一根木棒飞速旋转,形成圆面,这说明( ) A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.以上都不对 B 5.我们知道,圆柱是由长方形绕着它的一边所在直线旋转一周得到的,下列绕着直线旋转一周能得到如图立体图形的是( ) A 重难点四:直线、射线、线段 6.观察图形,下列结论中不正确的是( ) A.直线BA和直线AB是同一条直线 B.图中有5条线段 C.AB+BD>AD D.射线AC和射线AD是同一条射线 B 重难点五:线段的比较与运算 7.如图,C是线段AB的中点,D是线段BC的中点,则下列式子中不正确的是( ) A.CD=AC-DB B.CD=AD-BC C.CD=AB-BD D.CD=AB D 8.(罗田县期末)C是线段AB的中点,D是线段AC的三等分点.若线段AB= 12 cm,则线段BD的长为 . 10 cm或8 cm 9.(青秀区月考)如图,A,B,C三点在同一直线上,点D在AC的延长线上,且CD=AB. (1)请用圆规在图中确定D点的位置; (2)比较线段的大小:AC BD(选填“>”“=”或“<”); (3)若AB∶BC=2∶5,AC=14,求AD的长. = 解:(1)如图,以点C为圆心,AB长为半径画弧交AC的延长线于点D,即为所求. (3)因为AB∶BC=2∶5,AC=14, 所以AB=AC=4, 所以CD=4, 所以AD=AC+CD=18. 重难点六:角的比较与运算 10.小正方形网格如图所示,点A,B,C,D,O均为格点,那么∠AOB ∠COD(选填“>”“<”或“=”). > 11.(1)32 16′+48 51′= ; (2)108 18′25″-56 23′32″= ; (3)15 43′26″ 3= . 81 7′ 51 54′53″ 47 10′18″ 12.如图,∠AOB内有两条射线OC,OD,∠AOD=2∠BOD,∠AOC=∠COB,∠COD=70 ,求∠AOC的度数. 解:设∠AOC=x, 则∠COB=3x,∠AOB=4x,∠BOD=x,所以∠DOC=∠BOC-∠BOD=x=70 , 所以x=42 ,所以∠AOC=42 . 重难点七:余角和补角 13.(玉林中考)若∠ =29 45′,则∠ 的余角的度数为( ) A.60 55′ B.60 15′ C.150 55′ D.150 15′ B 14.(潢川县期末)如图,∠AOC与∠BOC互为补角,∠BOC与∠BOD互为余角,且∠BOC=4∠BOD. (1)求∠BOC的度数为 ; (2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数. 72 解:(2)由题意知 ∠AOC=180 -∠BOC=108 . ∠COE=∠AOC=54 . 所以∠BOE=∠COE+∠BOC=126 . 【综合与实践】 15.问题引入:对于数轴上的线段AB和点C(点C不在线段AB上),给出如下定义:P为线段AB上任意一点,我们把C,P两点间距离的最小值称为点C关于线段AB的“靠近距离”,记作d1;把C,P两点间距离的最大值称为点C关于线段AB的“远离距离”,记作d2. 已知点A表示的数为-5,点B表示的数为2. 若点C表示的数为3,如图,则d1=1,d2=8. 问题解决: (1)若点C表示的数为-7,则d1= ,d2= ; (2)①若点C表示的数为M,d1=3,则M的值为 ; ②若点C表示的数为N,d2=12,则N的值为 ; 2 9 -8或5 -10或7 问题迁移: (3)若点E和点F为数轴上的两点(点E和点F均不在线段AB上),点E表示的数为x,点F表示的数为x+2,d1表示点E关于线段AB的“靠近距离”,d2表示点F关于线段AB的“远离距离”.若d2是d1的3倍,求x的值. 解:(3)分两种情况:当点E在点A的左侧,d2(点F,线段AB)=BF=2-(x+2)=-x,d1(点E,线段AB)=AE=-5-x, 因为d2是d1的3倍,所以-x=3(-5-x),所以x=-7.5, 当点E在点B的右侧, d2(点F,线段AB)=AF=x+2-(-5)=x+7, d1(点E,线段AB)=EB=x-2, 因为d2是d1的3倍,所以x+7=3(x-2),所以x=6.5, 综上所述,x的值为-7.5或6.5. $$第2课时　从不同的方向看立体图形及其展开图 知识点一：从不同方向观察几何体 1.如图是由4个大小相同的正方体组合而成的几何体，则从左面看得到的图形是( ) 　　　　　　 A 2.下列几何体中，从上面看到的图形为三角形的是(　　) D 知识点二：立体图形的展开图 3.(北京中考)如图是某几何体的展开图，该几何体是( ) A.长方体 B.圆柱 C.圆锥 D.三棱柱 B 4.下列各图中，经过折叠能围成一个正方体的是( ) A 5.下面几个图形是一些常见几何体的展开图，请写出这些几何体的名称： 　　 　　 ) 长方体 四棱锥 圆锥 6.如图，圆底烧瓶是实验室中常见的一种仪器，从上面看该烧瓶的形状图为( ) A 7.一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是( ) A.五棱锥 B.五棱柱 C.四棱锥 D.六棱锥 A 8.如图，这是由三个大小不一样的正方体拼成的几何体，其中两个小正方体的棱长之和等于大正方体的棱长，分别从正面，左面，上面看该几何体所得到的平面图形的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系是( ) A.S1＝S2＝S3 B.S3<S2<S1 C.S1<S2<S3 D.S3<S1<S2 B 9.如图是一个长方体的展开图，每一面的外表面都标注了字母，根据要求回答下列问题： (1)如果D面在多面体的左面，那么F面在哪里？ (2)B面和哪个面是相对的面？ (3)如果C面在前面，从上面看到的是 D面，那么 从左面看是哪一面？ (4)如果A面在右面，从下面看是F面，那么B面在哪里？ 解：(1)F面在右面. (2)B面与E面相对. (3)从左面看到的是B面. (4)B面在后面. $$6.1.2　点、线、面、体 知识点一：图形的构成元素 1.下雨时汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净，这属于的实际运用是（ ） A.点动成线 B.线动成面 C.面动成体 D.都不对 B 2.如图所示的几何体由 个曲面和 个平面组成，面与面相交成的线中有 条是直线， 条是曲线，有 个顶点. 1 4 7 2 6 知识点二：图形的形成方法 3.(1)圆规在纸上划过会留下一个封闭的痕迹，这种现象说明 . (2)电视剧《西游记》中，孙悟空的“金箍棒”飞速旋转，形成一个圆面，这说明 . (3)一个人手里拿着一个绑在一根木棍上的半圆面，当这个人把这个半圆面绕着这根木棍飞快地旋转起来时就会看到一个球，这种现象说明 . 点动成线 线动成面 面动成体 4.如图，将下面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形用线连接起来. 5.我国有着深远的沙画历史，在制作如图沙画过程中没有用到的数学知识是（ ） A.面动成体 B.线动成面 C.点动成线 D.线与线相交成点 A 6.把如图所示的图形绕给定的直线旋转一周后形成的几何体是（ ） D 7.现有一个长为4 cm，宽为3 cm的长方形，绕它的一边旋转一周，得到的几何体的体积是 . 36π cm3或48π cm3 8.(1)观察下列几何体，并把下表补充完整； 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数a 6 ____ 10 12 棱数b 9 12 15 ____ 面数c 5 6 ____ 8 8 18 7 (2)观察上表中的结果，你能发现a，b，c之间有什么关系吗？请写出关系式； (3)一个几何体的面数比顶点数小8，且有 30条棱，则这个几何体有 个面. 解：(2)a＋c－b＝2. 12 $$6.2　直线、射线、线段 6.2.1　直线、射线、线段 1.经过两点有 直线，并且只有 直线，简单说成， 确定一条直线. 2.当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线 ，这个公共点叫作它们的 . 3.射线和线段都是 的一部分. 一条 一条 两点 相交 交点 直线 下列叙述中正确的是(　　) ①线段AB可表示为线段BA ②射线AB可表示为射线BA ③直线AB可表示为直线BA ④射线AB和射线BA是同一条射线 A.①②③④　 B.②③ C.①③　　　 　D.①②③ 【思路分析】依据线段、射线以及直线的概念进行判断，即可得出正确结论. 【自主解答】 ①线段AB可表示为线段BA，正确；②射线AB不可表示为射线BA，错误；③直线AB可表示为直线BA，正确；④射线AB和射线BA不是同一条射线，错误；故选C. 【名师支招】射线用两个大写字母表示时，端点的字母放在前边. 【易错原因】对线段、射线以及直线的概念混淆 如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的是(　　) 　 【自主解答】 B 知识点一：直线 1.下列关于直线的表示方法正确的是（ ） C 2.如图，完成下列填空. (1)直线a经过点 ，但不经过点 ； (2)点B在直线 上，在直线 外.(填小写字母) A，C B，D b a 知识点二：射线 3.生活中我们看到手电筒的光线类似于（ ） A.点 B.直线 C.线段 D.射线 4.下列各图中，表示射线CD的是（ ） D B 5.如图，点C为直线AB外一点，作射线AC，连接BC，则图中共有射线 条，其中能用图中给出的字母表示出来的射线有 条. 6 3 知识点三：线段 6.下列表示线段的方法中，正确的是（ ） A.线段ab B.线段Ab C.线段A D.线段AB 7.如图，图中线段共有 条. D 6 8.如图，平面内有四个点A，B，C，P. (1)画直线AB； (2)画射线BC； (3)画线段AC； (4)画直线AP交BC于点D. 解：(1)(2)(3)(4)如图所示. 9.(河南期末)直线AB，线段CD，射线EF的位置如图所示，下图中不可能相交的是(　　) A 10.如图，下列语句中描述正确的是(　　) A.点O在直线AB上 B.点B是直线AB的一个端点 C.点O在射线AB上 D.射线AO和射线OA是同一条射线 A 11.平面上四点A，B，C，D如图所示. (1)画直线AB，射线CD，它们两相交于点E； (2)连接AD并将其反向延长； (3)作射线CA，连接BD交CA于点F. 解：(1)(2)(3)如图所示. 12.如图，已知数轴的原点是O，点A表示的数是3，点B表示的数是－. (1)数轴上原点O右边的部分(包括原点)是什么图形？怎么表示？ (2)射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？ (3)数轴上表示不小于－且不大于3的点组成的部分是什么图形？怎么表示？ 解：(1)是射线，表示为射线OA. (2)射线OB上的点表示非正数，端点表示的数为0. (3)是线段，表示为线段AB(或BA). 13.(核心素养·数学建模)如图，往返于甲、乙两地的客车，中途有三个站，其中每两站的票价不同. (1)有多少种不同的票价？ (2)要准备多少种车票？ 解：根据线段的定义，可知图中的线段有AC，AD，AE，AB，CD，CE，CB，DE，DB，EB，共10条. (1)有10种不同的票价. (2)因车票需要考虑方向性. 如“A→C”与“C→A”票价相同，但方向不同， 故需要准备20种车票. 14.如图，已知每过两点可以画一条直线. (1)【试验观察】试验观察： 图①最多可以画 条直线； 图②最多可以画 条直线； 图③最多可以画 条直线； 3 6 10 (2)【探索归纳】 如果平面上有n(n≥3)个点，且任意 3个点均不在一条直线上，那么最多可以画 条直线(用含n的式子表示)； (3)【拓展延伸】 某班45名同学在毕业后的一次聚会中，如果每两人握1次手问好，那么共握了 次手. 990 $$6.2.2　线段的比较与运算 1.两点的所有连线中， 最短.简单说成：两点之间， 最短. 2.连接两点的 的长度 ，叫作这两点间的距离. 3.用 直尺和 作图，这就是尺规作图. 4.若一个点在某条线段 ，且将这条线段分成 的两条线段，那么这个点叫作这条线段的中点. 线段 线段 线段 无刻度的 圆规 上 相等 如图，点C，D是线段AB上的两点，且点C是线段DB的中点，若AB＝28 cm，AD＝6 cm，求AC的长度. 【思路分析】根据题意可分析得 AC＝AD＋CD＝AD＋DB，代入已知数值，即可求出AC的长. 【自主解答】 因为AB＝28 cm，AD＝6 cm， 所以DB＝28－6＝22 (cm). 又因为点C是线段DB的中点， 所以DC＝DB＝11 (cm)， 所以AC＝AD＋DC＝6＋11＝17(cm). 【名师支招】 1.计算线段的长度要结合线段的和与差和线段的中点，表示出线段的长，从而求出未知线段的长度. 2.线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫作线段AB的中点.这时有AM＝BM＝AB，或AB＝2AM＝2BM. 知识点一：线段的尺规作图 1.尺规作图的工具是( ) A.刻度尺和圆规 B.三角尺和圆规 C.直尺和圆规 D.无刻度直尺和圆规 D 2.已知线段a，b，c(a＞b)，画一条线段使它等于a－b＋c. 解：如答图，线段AB＝a，BC＝b，CD＝c， 线段AD即为a－b＋c. 题图 答图 知识点二：线段的性质及两点间距离 3.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程，用几何知识解释其中的道理是 . 4.数轴上表示数－3和表示数2的两点之间的距离是 . 两点的所有连线中，线段最短 5 知识点三：线段的长短比较及和差 5.在三角形ABC中，比较线段AC和AB长短的方法可行的有( ) ①凭感觉估计；②用直尺度量出AB和AC的长度；③用圆规将线段AB叠放到线段AC上，观察点B的位置；④沿点A折叠，使AB与AC重合，观察点B的位置. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 C 6.如图，则 (1)BD＝ ＋ ＝ － ； (2)AB＋BC＝ － . BC CD AD AB AD CD 知识点四：线段的中点及等分点 7.(官渡区期末)已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是( ) A.AC＝BC B.AB＝2AC C.AC＋BC＝AB D.BC＝AB C 8.如图，点D是线段AC的中点，点C是线段AB的五等分点，且BC＝2 cm，则AD的长为 cm. 4 9.小华从家里去学校有4条不同的路线，路线a，b，c，d的路程分别为5.2 km，3.6 km，2.9 km，6.5 km.若有一条路线是线段，则属于线段的路线是( ) A.a B.b C.c D.d C 10.如图，点C在线段AB上，D是AC的中点.若CB＝CD，AB＝7 cm，则BC的长为( ) A.3 cm B.3.5 cm C.4 cm D.4.5 cm A 11.如图，点C，D，E都在线段AB上，已知AD＝BC，E是线段AB的中点，则CE DE(选填“＞”“＜”或“＝”). 12.已知线段AB＝8 cm，在直线AB上有一点C，且BC＝3 cm，M为线段BC的中点，则线段AM的长是 . ＝ 9.5 cm或6.5 cm 13.如图，已知线段AB. (1)请用尺规(指无刻度的直尺和圆规)按下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法)： ①延长线段AB到点C，使BC＝AB； ②延长线段BA到点D，使AD＝AC； (2)请直接写出线段BD与线段AC的大小关系BD AC(选填“＞”“＜”或“＝”)； (3)如果AB＝2 cm，请求出线段BD和CD的长度. ＞ 解：(1)如图，BC，AD即为所求. (3)因为AB＝2 cm，BC＝AB，所以BC＝2 cm， 所以AC＝AB＋BC＝4 (cm)， 因为AD＝AC，所以AD＝4 cm， 所以BD＝AD＋AB＝6 (cm)， 所以CD＝BD＋BC＝8 (cm). 14.如图，C为AB上一点，AC＝12 cm，CB＝AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长. 解：因为AC＝12 cm，CB＝AC， 所以CB＝×12＝8(cm)， 所以AB＝AC＋CB＝20 cm. 因为D为AC的中点，所以AD＝AC＝6 cm. 又因为E为AB的中点，所以AE＝AB＝10 cm， 所以DE＝AE－AD＝4 cm. 15.已知AB＝6 cm，试探究并回答下列问题： (1)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于5 cm？并说明理由； (2)是否存在一点C，使它到A，B两点的距离之和等于6 cm？如果存在，那么它的位置是唯一的吗？ (3)点C在直线AB上，当点C到A，B两点的距离之和等于12 cm时，试说明点C的可能位置. 解：(1)不存在点C，使它到A，B两点的距离之和等于5 cm，因为两点之间，线段最短. (2)存在点C，使它到A，B的距离之和等于6 cm，此时点C在线段AB上，它的位置不唯一. (3)设点C到点A的距离是x cm. ①当点C在点A左侧时，AC＝x，BC＝x＋6， 因为AC＋BC＝12，所以x＋x＋6＝12，x＝3. ②当点C在点B右侧时，AC＝x，BC＝x－6， 因为AC＋BC＝12，所以x＋x－6＝12，x＝9. 所以点C在点A左侧3 cm或在点A右侧9 cm处. $$6．3　角 6．3.1　角的概念 1．有公共端点的两条 组成的图形叫作角，这个公共端点是角的 _，这两条射线是角的两条 ． 2．角也可以看作由一条射线绕着它的 旋转而形成的图形． 3．1周角＝ °，1平角＝ °， 1°＝ ′，1′＝ ″.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 射线 顶点 边 端点 360 180 60 60 下列式子中错误的是(　　) A．38.78°＝38°46′48″ B．50°42′＝50.7° C．98°45′＋2°35′＝101°20′ D．108°18′－57°23′＝51°55′ 【思路分析】根据大单位化小单位乘以进率，小单位化大单位除以进率，度分秒的加减，相同单位相加减，可得答案． 【自主解答】 38．78°＝38°46′48″，故A正确； 50°42′＝50.7°，故B正确； 98°45′＋2°35′＝101°20′，故C正确； 108°18′－57°23′＝50°55′，故D错误； 故选D. 【名师支招】角的度量单位是度、分、秒，进率是60，即1°＝60′，1′＝60″. 【易错原因】对角的表示方法把握不到位 如图，下面四种表示角的方法中正确的是(　　) A．∠A　　B．∠B　　C．∠C　　D．∠D 【自主解答】 A 知识点一：角的有关概念及表示方法 1.下列各图中，可表示∠ABC的是（ ） C 2.下列说法中正确的是（ ） A.两条射线组成的图形叫做角 B.∠ADB的边是射线DA，DB C.在∠ADB一边的延长线上取一点P D.直线是一个角 B 3.如图，写出符合下列条件的角(图中所有的角均指小于平角的角). (1)能用一个大写字母表示的角； (2)以点A为顶点的角； (3)图中所有的角(可用简便方法表示). 解：(1)∠B，∠C； (2)∠CAD，∠BAD，∠BAC； (3)∠1，∠2，∠BAC，∠B，∠C，∠3，∠4. 知识点二：角的度量与换算 4.如图，用量角器度量∠MON的度数为（ ） A.60° B.70° C.110° D.115° B 5.计算： (1)24′＝ °或 ″；3 600″＝ ′或 °； (2)平角＝ °，45°＝ 直角＝ 周角. 0.4 1 440 60 1 150 知识点三：钟面角 6.如图，10点整时，钟表上时针与分针所成的角是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° B 7.时钟的分针，1 min转了 的角，1 h转了 的角； 时钟的时针，1 min转了 的角，1 h转了 的角. 6° 360° 0.5° 30° 知识点四：方位角 8.下列四条表示方向的射线中，表示北偏东30°的是（ ） 　　　　　　　　　　　　　　　 D 9.若∠A＝20°18′，∠B＝20°15′30″，∠C＝20.25°，则（ ） A.∠A>∠B>∠C B.∠B>∠A>∠C C.∠A>∠C>∠B D.∠C>∠A>∠B A 10.如图，点O在直线AB上，则图中小于平角的角有（ ） A.5个 B.13个 C.14个 D.15个 C 11.3时45分时，时钟的时针与分针所在的直线构成的锐角的度数为 . 12.填空： (1)33.4°＝ ° ′； (2)31.46°＝ ° ′ ″； (3)12°15′36″＝ °. 22.5° 33 24 31 27 36 12.26 13.在一张城市地图上，有学校、医院、图书馆三地，由于墨迹污染，图书馆的位置看不清，但知道图书馆在学校的北偏东30°方向，在医院的西北方向，你能确定图书馆的位置吗？请画出来. 解：能，如图所示. 14.爸爸问小明：“一个方桌有四个角，如果锯掉一个角，还剩几个角？” 小明的回答：“还剩3个角.”并画出了如下图形： 小明的回答正确吗？若不正确，请说明理由，并画出图形. 解：不正确，除小明画的图形外，还有如图几种图形，所以还剩3个，4个或5个角. 15.(核心素养·归纳类比)有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点. (1)如图①，过点A在角的内部作1条射线，那么图中一共有 个角； (2)如图②，过点A在角的内部作2条射线，那么图中一共有 个角； (3)如图③，过点A在角的内部作3条射线，那么图中一共有 个角； (4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有 个角. 3 6 10 【变式】以直线l外一点P为端点，向直线l上的n(n>1)个点作射线，则以点P为顶点，这些射线为边的角(小于180°)的个数为 (用含n的式子表示). $$6.3.2　角的比较与运算 第1课时　角的比较与运算 角的比较方法有： 、 . 度量法 叠合法 如图，将一副三角尺按图中的位置摆放. (1)写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数； (2)用“<”将(1)中的各角连接起来. 【思路分析】(1)在一副三角尺中，一个 是等腰直角三角形，另一个是一个角为30°的 直角三角形，看图写出各个角的度数； (2)按角的大小顺序连接. 【自主解答】 (1)∠A＝30°，∠B＝90°，∠BCD＝150°，∠D＝45°，∠AED＝135°. (2)∠A<∠D<∠B<∠AED<∠BCD. 如图，点C在直线AB上，若∠DCE＝60°，∠BCE＝140°，则∠ACD的大小为(　　) A.15°　　B.20°　　C.25°　　D.30° 【思路分析】正确掌握图形中各角度的关系是解题的关键.首先求出∠ACE＝180°－∠BCE＝40°，然后利用角的和差求解即可. 【自主解答】 B 【易错原因】因考虑问题不全面而漏解 若∠AOB＝34°，∠BOC＝18°，则∠AOC的度数是(　　) A.52°　　　　　　　 B.16° C.52°或16° D.52°或18° 【自主解答】 C 知识点一：角的比较 1.比较∠1与∠2的大小，下列放置方法中正确的是（ ） D 2.在∠AOB的内部任取一点C，作射线OC，则一定存在（ ） A.∠AOB>∠AOC B.∠AOC＝∠BOC C.∠BOC>∠AOC D.∠AOC>∠BOC A 知识点二：角的和差 3.用一副三角板按如图方式放置，恰好与∠AOB重合，则∠AOB＝ . 75° 4.根据图形填空： (1)∠AOD＝ ＋∠AOC＝∠DOB＋ ＝ ∠AOB＋∠COD＋ . (2)∠AOD－∠COD＝ . (3)∠DOB＝∠DOA－∠AOC＋ . ∠DOC ∠AOB ∠COB ∠AOC ∠BOC 5.如图，∠AOB＝72°，射线OC将∠AOB分成两个角，且∠AOC∶∠BOC＝1∶2，则∠BOC＝ . 48° 知识点三：角的运算 6.计算： (1)153°29′42″＋26°40′32″＝ ° ′ ″； (2)110°36′－90°37′28″＝ ° ′ ″. 180 10 14 19 58 32 7.在15°，65°，75°，135°四个角中能用一副三角尺画出来的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 8.(绥阳县期末)将一副三角尺的两个直角顶点O按如图所示的方式叠放在一起.若∠AOC＝130°，则∠BOD的度数为( ) A.45° B.50° C.55° D.60° C B 9.如图，下列各式运算结果不等于∠AOC的是( ) A.∠AOD－∠COD B.∠AOB＋∠BOC C.∠BOD－∠COD D.∠BOD＋∠AOB－∠COD C 10.计算： (1)131°28′－51°32′15″； (2)153°19′42″＋26°40′28″； 解：原式＝79°55′45″. 解：原式＝180°10″. 11.如图，点O为直线AB上的一点，已知∠1＝65°15′，∠2＝78°30′， 求∠1＋∠2－∠3的大小. 解：根据题意得 ∠1＋∠2－∠3 ＝65°15′＋78°30′－(180°－65°15′－78°30′) ＝143°45′－36°15′＝107°30′. 12.如图，图①是一副三角板拼成的图案(所涉及角度均小于或等于180°) (1)∠EBC的度数是 ； (2)将图①中的三角板ABC绕点B旋转一定的角度(记为α，0°<α<90°)能否使∠EBC＝2∠ABD？若能，求出α的值；若不能，说明理由(图②、图③供参考). 150° 解：能，分以下两种情况： ①如图②，逆时针旋转： 因为∠ABC＝60°，∠EBD＝90°，∠ABD＝α， 所以∠EBA＝∠EBD－∠ABD＝90°－α， 所以∠EBC＝∠EBA＋∠ABC， 即90°－α＋60°＝2α，解得α＝50°. ②如图③，顺时针旋转： 当0°<α≤30°时，有90°＋60°＋α＝2α， 解得α＝150°，不符合题意，舍去； 当30°<α<90°时， 有360°－90°－60°－α＝2α，解得α＝70°. 综上所述，当三角板ABC绕B逆时针旋转50°或顺时针旋转70°时， ∠EBC＝2∠ABD. $$第2课时　角平分线 角的平分线的定义： 从一个角的顶点出发，把这个角分成两个 的角的射线，叫作这个角的平分线. 相等 如图，已知，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠COD，射线OC平分∠BOE，∠EOC＝50°.求∠DOE的度数. 【思路分析】由∠AOE＝∠COD，得∠AOD＝∠EOC＝50°，再由射线 OC平分∠BOE，得∠AOD＝∠EOC＝∠BOC＝50°，进而由平角减去这三个角，便可得∠DOE的度数. 【自主解答】 因为∠AOE＝∠COD， 所以∠AOE－∠DOE＝∠COD－∠DOE， 即∠AOD＝∠EOC＝50°， 因为射线OC平分∠BOE， 所以∠EOC＝∠COB＝50°， 所以∠DOE＝180°－3×50°＝30°. 【名师支招】由角平分线可找出图中相等的角，还要注意题中隐含的条件(∠AOB为平角)的应用. 【易错原因】对没有给出图形的求角问题，考虑不全面 射线OC平分∠AOB，从点O引出一条射线OD，使∠AOB＝3∠AOD，若∠COD＝20°，则∠AOB＝____. 【自主解答】 24°或120° 知识点一：角的平分线 1.如图，OC为∠AOB内的一条射线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是( ) A.∠AOC＝∠BOC B.∠BOC＝∠AOB C.∠AOB＝2∠AOC D.∠AOC＋∠COB＝∠AOB D 2.如图，点O在直线AB上，射线OC平分∠DOB.若∠COB＝35°，则∠AOD的度数为( ) A.110° B.145° C.35° D.70° A 3.如图，∠AOC＝90°，∠COB＝60°，OD平分∠AOB，求∠COD的度数. 解：∠AOB＝∠AOC＋∠COB＝150°， 所以∠BOD＝∠AOB＝75°， 所以∠COD＝∠BOD－∠COB＝15°. 知识点二：角的等分线 4.如图，把一个蛋糕分成n等份，要使每份中的角是45°，则n的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 C 5.如图，如果OC，OD是∠AOB的三等分线，那么OD是∠ 的平分线，OC是∠ 的平分线，∠BOD＝ ，∠AOD＝2 . BOC AOD ∠AOB ∠AOC(∠COD或∠DOB) 6.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，有下列结论：①AD平分∠BAE；②AF平分∠EAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠BAC；⑤AE平分∠BAC.其中正确的有(　　) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 C 7.(雨花区期末)如图，OC是∠AOB的平分线，∠DOC＝3∠BOD，∠BOD＝18°，则∠AOD的度数为( ) A.72° B.80° C.90° D.108° C 8.计算： (1)13°24′15″×5＝ ； (2)58°34′16″÷4＝ . 9.如图，已知OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，∠EOF＝65°，则∠AOC＝ °. 67°1′15″ 14°38′34″ 130 10.如图，已知∠AOB＝108°，OE是∠AOB的平分线，OC在∠AOE内. (1)若∠COE＝∠AOE，求∠AOC的度数； (2)若∠BOC－∠AOC＝18°，求∠COE的度数. 解：因为OE是∠AOB的平分线， 所以∠AOE＝∠BOE＝∠AOB＝54°. 所以∠COE＝∠AOE＝18°. 所以∠AOC＝∠AOE－∠COE＝36°. 解：因为∠AOB＝∠AOC＋∠BOC＝108°， 所以∠BOC＝108°－∠AOC. 因为∠BOC－∠AOC＝18°， 所以108°－∠AOC－∠AOC＝18°. 所以∠AOC＝45°. 所以∠COE＝∠AOE－∠AOC＝9°. 11.如图，点E，O，A在同一直线上，OC平分∠AOD，且∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶4，求∠1的度数. 解：因为OC平分∠AOC，所以∠1＝∠2. 因为∠2∶∠3∶∠4＝1∶2∶4， 所以设∠1＝∠2＝x， 则∠3＝2x，∠4＝4x，又因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°， 所以x＋x＋2x＋4x＝180°，解得x＝22.5°， 所以∠1的度数是22.5°. 12. (前进区期末)已知：OC，OD是∠AOB内部的射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD. (1)若∠AOB＝120°，∠COD＝30°，如图①，求∠EOF的度数； (2)若∠AOB＝α，∠COD＝β，如图②，请直接用含α，β的式子表示 ∠EOF的大小. 解：(1)因为∠AOC＋∠BOD＝∠AOB－∠COD＝90°，所以∠EOF＝∠COE＋∠COD＋∠DOF＝(∠AOC＋∠BOD)＋∠COD＝75°. (2)∠EOF＝(α＋β). $$6.3.3　余角和补角 1.互为余角∶如果两个角的和等于 ，就说这两个角 _(简称 ).即∠α＋∠β＝90°，则∠α，∠β互为 . 2.互为补角∶如果两个角的和等于 ，就说这两个角 2 (简称 ).即∠α＋∠β＝180°，则∠α，∠β互为 . 3.同角(等角)的余角 ，同角(等角)的补角 . 90°(直角) 互为余角 互余 余角 180°(平角) 互为补角 互补 补角 相等 相等 已知一个角的余角是这个角的补角的，求这个角的度数以及这个角的余角和补角的度数. 【思路分析】设这个角的度数为x，则它的余角为90°－x，补角为180°－x，再根据题意列出方程求解即可. 【自主解答】 设这个角的度数为x，则 90－x＝(180－x)，解得x＝67.5°. 所以余角为90°－67.5°＝22.5°， 补角为180°－67.5°＝112.5°. 答：这个角的度数是67.5°，这个角的余角的度数是22.5°，补角的度数是112.5°. 【名师支招】 1.已知一个角求其余角或补角时，根据余角或补角的概念直接计算即可.但要注意角度相减时要度、分、秒分别相减，并注意角度单位的进制，往往将 90°或180°化成如下形式： 90°＝89°59′60”，180°＝179°59′60”. 2.解有关余角和补角的问题时，先把这个角设成未知数，再根据这个角的余角、补角之间的关系列出方程，最后求出结果. 知识点一：余角和补角的定义 1.若两个角互补，则( ) A.这两个角是锐角 B.这两个角是钝角 C.一个锐角和一个钝角 D.以上答案都不对 2.若一个角是36°，下列说法正确的是( ) A.它的余角是64° B.它的补角是64° C.它的余角是144° D.它的补角是144° D D 3.(昆明中考)如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC＝29°18′，则 ∠AOC＝ . 150°42′ 知识点二：余角、补角的性质 4.如图，因为∠1＋∠COB＝90°，∠2＋∠COB＝90°，所以∠1＝∠2的依据是( ) A.同角的余角相等 B.等角的余角相等 C.同角的补角相等 D.等角的补角相等 A 5.(郧西县期末)若∠α＝∠β，∠α＋∠1＝180°，∠β＋∠2＝180°，则∠1与∠2的大小关系是 ，理由是 . ∠1＝∠2 等角的补角相等 6.如图，O是直线EF上一点，∠DOE＝90°. (1)写出图中互为余角的角； (2)写出图中互为补角的角； (3)若∠1＝∠2，写出图中其他所有相等的角. 解：(1)∠1与∠AOD互为余角； ∠2与∠BOD互为余角. (2)∠AOF与∠1互为补角；∠EOD与∠FOD互为补角；∠BOE与∠2互为补角. (3)∠AOD＝∠BOD，∠AOF＝∠BOE，∠EOD＝∠FOD. 知识点三：余角和补角的运算 7. 已知一个角比它的余角的3倍多10°，求这个角的度数. 解：设这个角的度数为x，则这个角的余角的度数是90°－x， 由题意得，x＝3(90°－x)＋10， 解得x＝70°， 所以这个角的度数是70°. 8.如果角α既有余角又有补角，那么角α的取值范围为( ) A.90°＜α＜180° B.0°＜α＜90° C.α＝90° D.α＝180° 9.如果∠1与∠2互补，若∠2为锐角，则下列表示∠2余角的式子是( ) A.90°－∠1 B.180°－∠1 C.∠1＋90° D.∠1－90° B D 10.如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合， ∠1＝27°41′，∠2的余角的大小是 . 32°19′ 11.如图，∠AOC与∠AOB互补，OD平分∠AOC，∠BOD＝12°，则 ∠AOB＝ . 52° 12.如图，点A，O，B在同一条直线上，过点O作射线OC，OD，OE，OF，且∠AOC和∠BOD互余，∠AOE与∠BOF互余，OA平分∠COE. (1)∠COE和∠DOF之间满足的数量关系为 ； (2)判断OB是否平分∠DOF，并说明理由. ∠COE＋∠DOF＝180° 解：OB平分∠DOF， 理由： 因为OA平分∠COE，所以∠AOC＝∠AOE， 因为∠AOC和∠BOD互余，∠AOE与∠BOF互余， 所以∠BOD＝90°－∠AOC， ∠BOF＝90°－∠AOE，即∠BOD＝∠BOF. 所以OB平分∠DOF. 13.如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠BOD与∠BOC互补. (1)∠AOC与∠BOD相等吗，为什么？ (2)已知OM平分∠AOC，射线ON在∠COD的内部，且满足∠AOC与∠MON互余. ①若∠AOC＝32°，则∠MON＝ ； ②试探究∠AON与∠DON之间有怎样的数 量关系，请写出结论，并说明理由. 58° 解：(1)相等，因为∠BOD与∠BOC互补， 所以∠BOD＋∠BOC 　＝180°. 因为∠AOC＋∠BOC＝180°，所以∠AOC＝∠BOD. (2)②∠AON＝∠DON. 理由：因为OM平分∠AOC，所以∠AOC＝2∠AOM. 因为∠AOC与∠MON互余， 所以∠AOC＋∠MON＝90°. 所以2∠AOM＋∠COM＋∠CON＝90°， 即3∠AOM＋∠CON＝90°. 所以∠CON＝90°－3∠AOM. 所以∠AON＝∠CON＋∠AOC＝(90°－3∠AOM)＋2∠AOM ＝90°－∠AOM. 因为∠AOC＝∠BOD＝2∠AOM， 所以∠DON＝180°－∠CON－2∠BOD ＝180°－(90°－3∠AOM)－4∠AOM＝90°－∠AOM. 所以∠AON＝∠DON. $$