2024年九年级中考数学专项复习讲义12：三角形全等与相似

专题12 三角形全等与相似 考点解读 三角形是初中几何图形中内容最多的一块知识，也是学好平面几何的必要基础，贯穿初二到到初三的几何知识，其中的几何证明题及线段长度和角度的计算对很多学生是难点． 在中考中，相似三角形在中考主要以选择题、填空题和解答题的简单类型为主；常考的几种相似模型经常以解答题形式，结合二次函数、圆等知识综合考查．全等三角形是中考的热点，以解答题形式考查居多． 考 向 目 录 考向1 相似三角形的判定 考向2 相似三角形的性质 考向3 相似三角形的判定与性质综合 考向4 相似三角形应用举例 考向5 位似 考向6 全等三角形的性质 考向7 全等三角形的判定 考向8 全等三角形的性质与判定综合 考向9 角的平分线的性质 01 相似三角形的判定 揭秘 母题 【母题1】如图，在中，点在边上，点在边上，请添加一个条件 　 　，使． 【母题2】在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 　　 ． 【母题3】如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点，求证：． 方法技巧 1．相似三角形的判定定理： （1）判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． （2）判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． （3）判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． （4）判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． 2．判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定定理1； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定定理1]或再找夹边成比例[用判定定理2]； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 3．直角三角形相似的判定方法：如果两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，那么这两个直角三角形相似． 02 相似三角形的性质 揭秘 母题 【母题1】如图，已知，，若的长度为6，则的长度为　　 A．4 B．9 C．12 D．13.5 【母题2】若，，，则　　 A． B． C． D． 【母题3】已知，，若，则　　 A．4 B．6 C．8 D．16 方法技巧 （1）相似三角形具备相似多边形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例． （2）相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比． （3）相似三角形周长的比等于相似比． （4）相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 03 相似三角形的判定与性质综合 揭秘 母题 【母题1】如图，，，点是线段上的一点，且．已知，，． （1）证明：． （2）求线段的长． 【母题2】在中，，是斜边上的高． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【母题3】如图，和均是等腰直角三角形，； （1）当时，求； （2）求证：； （3）求证：． 方法技巧 在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件． 04 相似三角形应用举例 揭秘 母题 【母题1】如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为　 　 A． B． C． D． 【母题2】如图，用一个卡钳测量某个零件的内孔直径，量得长度为，则等于 　　 ． 【母题3】拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底在同一水平地面上的、两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即，从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即，从处观察点，、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 方法技巧 解相似三角形应用题的两个原则： （1）核心是构造相似三角形，在构造的三角形中，被测物体的高度或宽度一般是其中的一边． （2）构造三角形的方法多种多样，只需把握住所构造的三角形除被测量的边以外，其余的对应边易测这一原则． 05 位似 揭秘 母题 【母题1】在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为　 　 A． B． C． D． 【母题2】如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，，，现以原点为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形△，则顶点的坐标是　　 A． B． C． D． 【母题3】如图、在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出与关于轴对称的△； （2）以原点为位似中心，在第三象限内画一个△，使它与的相似比为，并写出点的坐标． 方法技巧 （1）位似图形的对应角相等，对应边成比例；位似图形的对应点的连线相交于一点，即经过位似中心；位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上；位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比． （2）用在对应点所在直线上截取的方法画位似图形时，关键是准确地按比例画出各线段的长，只有这样画出的图形才准确． （3）位似、平移、轴对称、旋转都是图形变化的基本形式，它们的本质区别在于：平移、轴对称、旋转三种图形变化都是全等变化，而位似变化是相似（扩大、缩小或不变）变化． 06 全等三角形的性质 揭秘 母题 【母题1】如图，，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，点，，在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接．设，，，给出下面三个结论： ①； ②； ③． 上述结论中，所有正确结论的序号是　　 A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【母题3】如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为 　 　． 方法技巧 （1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等． （2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题． 07 全等三角形的判定 揭秘 母题 【母题1】如图，与相交于点，，只添加一个条件，能判定的是　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，是的中点，，．求证：． 【母题3】已知：如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件： ①；②；③；④． （1）请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）． （2）在（1）的条件下，求证：． 方法技巧 （1）不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等． （2）有三个角对应相等的两个三角形不一定全等． 08 全等三角形的性质与判定综合 揭秘 母题 【母题1】如图，在中，，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与，分别交于点，，连接，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【母题2】如图，，，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【母题3】如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，且，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 方法技巧 判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等． 09 角的平分线的性质 揭秘 母题 【母题1】如图，，平分，交于点，，垂足为．若，则的长为　　 A．2 B． C．4 D． 【母题2】在中，，平分，，，　　． 【母题3】如图，已知是的角平分线，，分别是和的高，，，则点到直线的距离为 　　． 方法技巧 考查角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等在角平分线上是解题的关键． 1．当题目中出现角内的一点到角两边的距离相等时，可以考虑应用角的平分线的判定方法证明两个角相等． 2．角的平分线的性质和判定恰好是条件和结论互换，即点在角平分线上的一点到角两边的距离相等． 3．证明角平分线的方法：只需从要证的线上的某一点向角的两边作垂线段，再证明垂线段相等即可．这样把证“某线是角的平分线”的问题转化为证“垂线段相等”的问题，体现了转化思想． 模拟 中考 一、选择题 1．如图，在由4个相同的小正方形拼成的网格中，　　 A． B． C． D． 2．如图是由4个全等的大正方形和5个全等的小正方形组成的图形．若要求线段的长度，只需要知道顶点与正方形某个顶点之间的距离即可，这个点是　　 A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，于点，于点，．要根据证明，则还需要添加的条件是　　 A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是　　 A．平分 B． C． D． 5．如图，点是矩形的边上一点，射线交的延长线于点，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，与位似，点为位似中心，若，的周长为4，则的周长为 　　． 三、解答题 7．如图，点、、、在同一直线上，、相交于点，，垂足为，，垂足为，且，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 8．已知：如图，点为线段上一点，，，．求证：． 9．如图①是一个平分角的仪器，其中，．如图②，将仪器放置在上，使点与顶点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点．是 的平分线吗？请给出判断并说明理由． 10．如图，在矩形中，点是边的中点，于点． （1）求证：． （2）已知，，求的长． 专题12 三角形全等与相似 精选好题 一、选择题 1．如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分交于，于，若，则的周长是　　 A． B． C． D． 3．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点．其中一把直尺边缘恰好和射线重合，而另一把直尺的下边缘与射线重合，上边缘与射线交于点，联结．若，则的大小为　　 A． B． C． D． 4．如图，已知，添加下列条件后，仍无法判定的是　　 A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，位于第二象限，点的坐标是，先将绕点顺时针旋转90度得到△，再以原点为位似中心作△的位似图形△，若△与△的相似比为，则点的对应点的坐标是　　 A． B． C．或 D．或 6．如图，小明设计的用激光笔测量城墙高度的示意图，在点处水平放置一面平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到城墙的顶端处，已知，，米，米，米，那么该城墙的高度为　　 A．6 B．8 C．10 D．18 7．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是　　． A． B．6 C． D．8 8．如图，为等边三角形，在，边上分别任取一点，，使得，连接、相交于点．现有如下两个结论：①；②若，则；下列判断正确的是　　 A．①对，②对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①错，②错 9．如图，已知是的中点，，，，那么下列结论中错误的是　　 A． B． C． D． 10．如图，在中，，，平分，点是的中点，若，则的长为　　 A．7 B．8 C．9 D．10 11．如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，已知，则下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的是　　 A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①② 二、填空题 12．如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则　　． 13．如图，树在路灯的照射下形成投影，已知路灯高，树影，树与路灯的水平距离，则树的高度长是 　　米． 14．如图，将纸片按如图所示的方式折叠，使点落在边上，记为点，折痕为，已知，，，若以，，为顶点的三角形与相似，那么的长度是 　 　． 15．如图，在等边中．是上任意一点，连接，于点，于点，平分，于点．若，则的长为 　　． 16．已知，在中，，平分．点、分别在边、上，，当，时，则与的面积之和为 　　． 17．如图，在中，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动如果点、分别从点、同时出发问经过　　秒时，与相似． 18．如图，在中，，，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是13，则的值是 　　 ． 19．如图，三角形中，，垂足分别为、，、交于点，请你填加一个适当的条件　 　，使． 三、解答题 20．如图，在中，，恰好是的角平分线． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21．如图，等边三角形的边长为3，点为上的一点，点为上的一点，连接、，． （1）求证：； （2）若，求的长． 22．如图，矩形中，为上一点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23．太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原的标志性建筑之一，某校社会实践小组为了测量舍利塔的高度，在地面上的处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，舍利塔的塔尖点正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点，标杆的顶端点，舍利塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算舍利塔的高度． 24．如图，为测量学校围墙外直立电线杆的高度，小亮在操场上点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合：小亮又在点处直立高的竹竿，然后退到点处，此时恰好看到竹竿顶端与电线杆顶端重合．小亮的眼睛离地面高度，量得，，，求电线杆的高度． 25．如图，已知，，，且、、三点共线， （1）证明：； （2）证明：． 26．如图，，，，求证． 27．如图，要测量河两岸相对的两点，的距离，可以在的垂线上取两点，，使，再定出的垂线，使，，在一条直线上，这时测得的的长就是的长，为什么？ 28．如图，直线，交于点，点是平分线的一点，点，分别是射线，上的点，且． （1）求证：； （2）点在线段上，点在线段延长线上，连接，，若，依题意补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 29．如图所示，在中，于，于，与交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 30．如图，在中，，，点在线段上运动（点不与点、重合），连接，作，交线段于点． （1）当时，　　，　　； （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$