2024年九年级中考数学专项复习讲义11：三角形

专题11 三角形 考点解读 三角形的三边关系主要以选择题和填空题形式考查；三角形内角和定理及内外角关系主要以选择题和填空题考查；三角形中的特殊线段及其性质也主要以选择题和填空题考查为主． 在中考中，等腰三角形常以选择题和填空题的形式考查；也经常在解答题中结合二次函数考查；等边三角形常以选择题、填空题和解答题考查，经常与圆综合题作为考查．直角三角形在中考常结合勾股定理、面积法在选择题、填空题考查；锐角三角形函数常在选择题、填空题考查，并且结合实际问题考查． 考 向 目 录 考向1 三角形的三边关系 考向2 三角形的高、中线与角平分线 考向3 三角形内角和定理 考向4 三角形的面积 考向5 等腰三角形的性质和判定 考向6 等边三角形的性质和判定 考向7 直角三角形的性质与判定 考向8 最短路径问题 考向9 勾股定理 考向10 勾股定理的逆定理 01 三角形的三边关系 揭秘 母题 【母题1】下列长度的各组线段能组成一个三角形的是　　 A．，， B．，， C．，， D．，， 【母题2】下列每组数分别表示3根小木棒的长度（单位：，其中能搭成一个三角形的是　　 A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12 【母题3】若一个三角形的边长均为整数，且两边长分别为3和5，则第三边的长可以为 　　（写出一个即可）． 方法技巧 三角形三边之间关系的应用： ①在判断三条线段能否组成三角形时，若两条较短线段的长的和大于最长线段的长，则三条线段可以组成三角形；否则，不可以组成三角形． ②已知三角形的两边长，求第三边长的取值范围时，若三角形的已知两边长分别为，，则第三边长的取值范围是． 02 三角形的高、中线与角平分线 揭秘 母题 【母题1】如图，于点，已知是钝角，则　　 A．线段是的边上的高线 B．线段是的边上的高线 C．线段是的边上的高线 D．线段是的边上的高线 【母题2】请你量一量如图中边上的高的长度，下列最接近的是　　 A． B． C． D． 【母题3】如图，是的中线，，．若的周长为8，则的周长为 　　． 方法技巧 （1）由三角形的高与三角形一边的垂线都能得到直角，但本质不同，三角形的高是一条线段，而三角形一边的垂线是一条直线． （2）三角形的中线是一条线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形． （3）三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线． 03 三角形内角和定理 揭秘 母题 【母题1】如图，分别过的顶点，作．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【母题2】一副三角板按如图所示放置，点在上，点在上，若，则　　． 【母题3】在中，为边上的高，，，则是 　　度． 方法技巧 （1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考． （2）因为三角形内角和为，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角． 04 三角形的面积 揭秘 母题 【母题1】如图，在中，，，若，则的面积是　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，、、分别是三边上的点，其中，边上的高为6，且，则面积的最大值为　　 A．6 B．8 C．10 D．12 【母题3】如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 　　． 方法技巧 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 05 等腰三角形的性质和判定 揭秘 母题 【母题1】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数为 　　． 【母题2】若等腰三角形的周长是，一腰长为，则这个三角形的底边长是 　　． 【母题3】如图，是的角平分线，，交于点． （1）求证：． （2）当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 方法技巧 （1）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合． （2）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 06 等边三角形的性质和判定 揭秘 母题 【母题1】已知点是等边的边上的一点，若，则在以线段，，为边的三角形中，最小内角的大小为　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，直线，是等边三角形，顶点在直线上，直线交于点，交于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【母题3】如图，边长为2的等边的两个顶点、分别在两条射线、上滑动，若，则的最大值是 　 　． 方法技巧 判定等边三角形时常用的选择方法： 若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形； 若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形； 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 07 直角三角形的性质与判定 揭秘 母题 【母题1】如图，已知，于点，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，在中，，，线段的垂直平分线交于点，交于点，则　 　． 【母题3】如图，在中，，，线段的垂直平分线分别交、于点、，连接．若，则的长为 　 　． 方法技巧 三角形中若有两个角互余，即它们的和为，则另一个角一定为角，是直角，从而可确定这个三角形为直角三角形． 含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据． 08 最短路径问题 揭秘 母题 【母题1】如图，在中，，，，点是线段上一动点，点在线段上，当时，的最小值为　　 A． B． C． D． 【母题2】如图，是等边三角形，，是的中点，是边上的中线，是上的一个动点，连接，，则的最小值是 　 　． 方法技巧 通常利用轴对称变换将不在一条直线上的两条或多条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的选择． 09 勾股定理 揭秘 母题 方法技巧 （1）已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． （2）勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题． （3）利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形． 【母题1】如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是　　 A． B． C． D． 【母题2】我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为、，斜边长为，若，，则每个直角三角形的面积为 　　． 【母题3】一艘船由港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则，两港之间的距离为 　　． 10 勾股定理的逆定理 揭秘 母题 【母题1】《九章算术》是中国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数，，的计算公式：，，，其中，，是互质的奇数．下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是　　 A．3，4，5 B．5，12，13 C．6，8，10 D．7，24，25 【母题2】如图，在正方形方格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，点，，，，均在小正方形方格的顶点上，线段，交于点，若，则等于 　　 A． B． C． D． 【母题3】勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数，，，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则　　（用含的式子表示）． 方法技巧 （1）勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等． （2）勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是． （3）勾股数：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数． 注意三个数必须是正整数． 模拟 中考 一、选择题 1．点在的平分线上，点到边的距离等于3，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，平分，平分，点是、的垂直平分线的交点，连接、，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 3．如图，，的垂直平分线交于，连接，若，则　　 A． B． C． D． 4．如图，，将一块三角板按如图所示方式摆放，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 5．如图，玩具车从点出发，向西走了米，到达点，然后顺时针旋转，前进米，到达点，再顺时针旋转，前进米，到达点，点刚好在点的正北方向，则、、之间的关系为　　 A． B． C． D． 二、填空题 6．点，，，，是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则　　． 三、解答题（共3小题） 7．如图，为等边三角形，交于点，交于点． （1）求证：是等边三角形． （2）求证：． 8．如图，在等边中，点在边上，过点作交于点，过点作，交的延长线于点． （1）求的度数； （2）求证：． 9．如图，在中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点出发，沿方向运动，速度为每秒；点从点出发，沿方向运动，速度为每秒；两点同时开始运动，设运动时间为秒． （1）①斜边上的高为 　 　； ②当时，的长为 　 　； （2）当点在边上运动时，出发几秒钟后，是等腰三角形？ （3）当点在边上运动时，直接写出所有能使成为等腰三角形的的值． 专题11 三角形 精选好题 一、选择题 1．下列图形中，是直角三角形的是　　 A． B． C． D． 2．在学完八上《三角形》一章后，某班组织了一次数学活动课，老师让同学们自己谈谈对三角形相关知识的理解．小峰说：“存在这样的三角形，它的三条高之比可以为，，，”老师说有一个三角形是不存在的，你认为不存在的三角形是　　 A． B． C． D． 3．在中，是的中线．看到图形，甲、乙、丙、丁四名同学给出四个不同的结论，其中正确的是　　 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．如图，中，，，点是边上的中点，连接，若的周长为20，则的周长是　　 A．16 B．18 C．20 D．22 5．下列各图中，正确画出边上的高的是　　 A． B． C． D． 6．如图，在点，，，中选一个点；与点，为顶点构成一个三角形，其面积等于的面积，这个点为　　 A．点 B．点 C．点 D．点 7．在中，与边上的中线长分别为，，则的面积不可能为　　 A． B． C． D． 8．如图，，分别为的中线和高线，的面积为5，，则的长为 　　 A．5 B．3 C．4 D．6 9．若一个三角形的两边长分别为，，则它的第三边的长可能是　　 A． B． C． D． 10．如图，在中，，，，点是的重心，则等于 　　 A． B． C． D．4 11．将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中，，在直线上，点恰好落在边上，，，．则的度数为　　 A． B． C． D． 12．如图，在中，以点为圆心，为半径画弧交于点，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接，．设，，则的度数为　　 A． B． C． D． 二、填空题 13．如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做半高三角形．已知直角三角形是半高三角形，且斜边，则它的周长等于 　　． 14．在中，，、分别为边上的高和中线，若，则的度数为 　　． 15．如图，为边边上一点，过点作．若，，则　　． 16．将一副三角板如图所示放置，使点在上，，则的度数为 　　． 17．将一副直角三角板按如图所示位置摆放，点在直角边上，点在直角边上，若，则　　 18．如图，把沿平行于的直线折叠，使点落在边上的点处，若，则的度数为 　　． 19．魏朝时期，刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理．如图，四边形、四边形和四边形都是正方形，交于，若，，则的长为 　　． 20．如图，，线段的两个端点分别在射线、上滑动，且，以为直角边在点的异侧作，且，，问滑动过程中的最大值为 　　． 21．如图，直线，的直角顶点在直线上，若，则的度数为 　　． 22．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点、、都在格点上，则的度数为 　　． 23．如图，长方体的长、宽、高分别是，，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 　　． 24．云顶滑雪公园是北京2022年冬奥会7个雪上竞赛场馆中唯一利用现有雪场改造而成的，如图左右两幅图分别是公园内云顶滑雪场型池的实景图和示意图，该场地可以看作是从一个长方体中挖去了半个圆柱而成，它的横截面图中半圆的半径为，其边缘，点在上，，一名滑雪爱好者从点滑到点，他滑行的最短路线长为 　　． 三、解答题 25．如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点，若，． （1）求证：为的角平分线； （2）求的长． 26．如图，在中，，是边上的中点，连结，平分交于点． （1）过点作交于点，求证：． （2）若，求的度数． 27．如图，在中，，为延长线上一点，且交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）若，，为中点，求的长． 28．已知，如图，是正三角形，，，分别是各边上的一点，且．请你说明是正三角形． 29．如图，为等边三角形，过点作于点，过作，且，连接， （1）求证：为等边三角形； （2）请连接，若，求的长． 30．如图，，，于． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 31．已知，如图，在中，，平分交于，过作交于． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 32．如图，一棵高的大树倒在了高的墙上，大树的顶端正好落在墙的最高处，如果随着大树的顶端沿着墙面向下滑动，请回答下列各题． （1）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了，那么大树的另一端点是否也向左滑动了？说明理由； （2）如果大树的顶端沿着墙面向下滑动了，那么大树的另一端点是否也向左滑动了？说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$