4.5.1 函数的零点与方程的解 课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册 ㅤ

4.5.1 函数的零点与方程的解 苏轼的《题西林壁》写到： “横看成岭侧成峰， 远近高低各不同； 不识庐山真面目， 只缘身在此山中。” 从诗中你读到了什么？ 情景引入： （一）二次函数的零点 复习回顾： （二）二次函数的零点的等价转化 方程f(x)=0有实解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点 思考： 方程lnx+2x-6=0有几个实数解？ 这个方程你会解吗？ 不会解怎么办？ 方程解法时间图·中国 公元50--100年 一次方程、二次方程 和三次方程根 7世纪·隋唐·王孝通 三次方程正根数值解法 11世纪·北宋·贾宪 三次或三次以上方程 13世纪·南宋 秦九韶 任意次代数方程正根解法 一般地，我们把使函数 的值为0的实数 称为函数 的 . 零点 ——函数的零点： 一、零点的概念： 零点不是点！！！ 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象 与x轴有公共点 方程f(x)=0有实数解 二、函数的零点的等价转换： 你能类比二次函数的零点的等价关系找出一般函数的零点的等价关系吗？ 探究：由二次函数 的图像可知在区间[2，4]上有零点，这时图象与x轴有什么关系？ 在区间[-2,0]上是否也有这种关系？ 你认为如何用函数f（x）的取值规律来刻画这种关系？ ——函数零点存在定理： 观察下面一组图象思考：函数 y=f(x)在区间[a, b]上满足什么条件一定存在零点？ 探究 函数零点存在定理： 三、零点存在定理： 若函数 在区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，且 ，函数 在区间 内有零点. a b O x y a b O x y a b O x y 定理巩固 练习：判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例 （1）已知函数 在区间 上连续,且 ，则函数在区间 内有且仅有一个零点.（ ） （2）已知函数 在区间 上连续,且 ，则函数在区间 内没有零点.（ ） （3）已知函数 在区间 上连续,且函数在区间 内有零点，则 . （ ） （4）已知函数 在区间 满足 ，则函数在区间 内有零点.（ ） 函数零点存在定理的三个注意点： 1 函数是连续的。 2 至少存在一个零点，不排除更多。 3 在零点存在性定理的条件下，如果函数具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b) 上存在唯一零点。 加强版零点存在性定理 若函数 在区间 上的图象是一条连续不间断的曲线，且 ， 在 上是单调函数，则函数 在区间 内有且仅有一个零点. 零点存在性定理的应用 例.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间 方法一： 作出x、f(x)的对应值表和图象； [n，n+1](n∈Z)． x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972 由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， ∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点． 由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点． 零点存在性定理的应用 方法二: 即求方程lnx+2x−6=0的根的个数，即求lnx=6−2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数的交点个数.如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点. $$