2024年九年级中考数学专项复习10：几何图形

专题10 几何图形 考点解读 正方体的展开图是中考的热点．在中考中，直线与线段主要以选择题和填空题形式考查；角的识别，余角、补角的计算及角平分线主要在选择题中考查，难度一般不大；平行线常与角度结合考查，以选择题和填空题形式为主． 考 向 目 录 考向1 几何图形 考向2 立体图形的展开图 考向3 直线、射线、线段及性质 考向4 角的度量、换算、计算 考向5 余角和补角 考向6 方向角 01 几何图形 揭秘 母题 【母题1】下面几何体中，是圆柱的为　　 A． B． C． D． 【母题2】如图所示图形中为圆柱的是　　 A． B． C． D． 【母题3】如图，将矩形纸片绕边所在直线旋转一周，得到的立体图形是　　 A． B． C． D． 方法技巧 对于各种各样的物体，如果只研究它们的形状、大小和位置，而不涉及它们的其他性质，就得到各种几何图形，几何图形包括立体图形和平面图形． 02 立体图形的展开图 揭秘 母题 【母题1】下列图形中，是长方体表面展开图的是　　 A． B． C． D． 【母题2】将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不可能是它的表面展开图的是　　 A．B． C． D． 【母题3】如图，已知骰子相对两面的点数之和为7，下列图形为该骰子表面展开图的是 　　 A． B． C． D． 方法技巧 （1）正方体展开图，共11种图形． ①“141”型（6种） ②“231”型（3种） ③“222”型（1种） ④“33”型（1种） （2）不是所有的立体图形都可以展开为平面图形．如球的表面就不能展开为平面图形． （3）同一个立体图形，按不同方式展开，可以得到不同的展开图． （4）立体图形中相对的两个面在展开图中既没有公共边，也没有公共点． 03 直线、射线、线段及性质 揭秘 母题 【母题1】如图，从学校到书店有①、②、③、④四条路线，其中最短的路线是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【母题2】小光准备从地去往地，打开导航、显示两地距离为，但导航提供的三条可选路线长却分别为，，（如图）．能解释这一现象的数学知识是　　 A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．三角形两边之和大于第三边 D．两点确定一条直线 【母题3】如图，，两点的坐标分别为，，在轴上找一点，使线段的值最小，则点的坐标是 　 　． 方法技巧 1．直线、射线、线段的区别与联系 （1）区别 直线 射线 线段 端点 无端点 有一个端点 有两个端点 延伸 可以无限延伸 一端可以无限延伸 不可以延伸 度量 不可以度量 不可以度量 可以度量 （2）联系 都属于“线”，都是直的；射线和线段都是直线的一部分． 2．直线的性质：两点确定一条直线． 3．线段的性质：两点之间线段最短． 04 角的度量、换算、计算 揭秘 母题 【母题1】如图中用量角器测得的度数是　　 A． B． C． D． 【母题2】　　． 【母题3】如图摆放一副三角板，直角顶点重合，直角边所在直线分别重合，那么的大小为 　 　． 方法技巧 （1）度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． （2）具体换算可类比时钟上的时、分、秒来说明角的度量单位度、分、秒之间也是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60．同时，在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法． 05 余角和补角 揭秘 母题 【母题1】如图，，，则的大小为　　 A． B． C． D． 【母题2】若，则的余角的大小是　　 A． B． C． D． 【母题3】若，则的补角的度数为　　 A． B． C． D． 方法技巧 （1）余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说两个角互为余角，即其中一个角是另外一个角的余角． （2）余角的性质：同角（等角）的余角相等． （3）补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这个两个角互为补角，即其中一个角是另外一个角的补角． （4）补角的性质：同角（等角）的补角相等． 06 方向角 揭秘 母题 【母题1】淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的　　 A．南偏西方向 B．南偏东方向 C．北偏西方向 D．北偏东方向 【母题2】如图，某海域中有，，三个小岛，其中在的南偏西方向，在的南偏东方向，且，到的距离相等，则小岛相对于小岛的方向是　　 A．北偏东 B．北偏东 C．南偏西 D．南偏西 【母题3】如图，，表示以为起点的两条公路，其中公路的走向是南偏西，公路的走向是南偏东，则这两条公路的夹角　 　． 方法技巧 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角． （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 模拟 中考 一、选择题 1．如所示四个图形中，不能作为正方体的展开图的是　　 A． B． C． D． 2．如图，用一个垂直于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是　　 A． B． C． D． 3．将一个长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕，若，则等于　　 A． B． C． D． 4．如图所示，已知是直线上一点，，平分，则的度数是（ ） A． B． C． D． 5．某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是　　 A．圆柱 B．长方体 C．四棱锥 D．五棱锥 6．如图是一个粉笔盒的表面展开图，若字母表示粉笔盒的上盖，表示侧面，则底面在表面展开图中的位置是　　 A．① B．② C．③ D．④ 二、填空题 7．如图，将一块三角形木板截去一部分后，发现剩余木板的周长要比原三角形木板的周长大，能正确解释这一现象的数学知识是 　 　． 8．（2023•江南区校级三模）如图，将边长为的正方形纸片沿，，折叠，折成一个三棱锥，则折痕的长度为 　　． 三、解答题 9．如图，处在处的南偏西方向上，处在处的南偏东方向，处在处的北偏东方向，求的度数． 10．某风景区，，，四个景点在一条直线上，图中数据为各景点之间的距离（单位：千米）． （1）求景点，之间的距离．（用含的代数式表示） （2）若景点到景点的距离与景点到景点的距离相等，求景点，之间的距离． 专题10 几何图形 精选好题 一、选择题 1．如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是　　 A．三角形 B．正方形 C．六边形 D．七边形 2．如图，巡逻艇在处发现北偏东方向的处有一艘海盗船，巡逻艇与海盗船同时同速出发，在处相遇，所走路线与垂直，则在的　　 A．南偏东方向 B．南偏东方向 C．北偏东方向 D．北偏西方向 3．如图为一无盖长方体盒子的展开图（重叠部分不计），可知该无盖长方体的容积为　　 A．4 B．6 C．12 D．8 4．下列图形中，不是正方体表面展开图的是　　 A．B． C． D． 5．如图，在一个正方体纸盒上切一刀，切面与棱的交点分别为，，，切掉角后，将纸盒剪开展成平面，则展开图不可能是　　 A． B． C． D． 6．如图1，图2所示，把一副三角板先后放在上，则的度数可能　　 A． B． C． D． 7．如图的正方体纸盒，只有三个面上印有图案，下面四个平面图形中，经过折叠能围成此正方体纸盒的是　　 A． B． C． D． 8．如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因，应该是　　 A．过一点有无数条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 9．如图所示，利用工具测量角，则的度数为　　 A． B． C． D． 10．如图，点为直线上一点，平分，平分，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 11．如图，与相交于点，是的平分线，且恰好平分，则下列结论中正确的个数有　　 ①②③④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．已知是内的一条射线，下列所给的条件中，不能判断是的平分线的是　　 A． B． C． D． 二、填空题 13．　　． 14．如图，已知点是直线上一点，，平分，则的度数为 　　． 15．如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于点，则　　． 16．若一个角的补角等于它的余角4倍，则这个角的度数是　　度． 17．如图所示，用量角器度量，可以读出的度数为 　　． 18．如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 　　． 19．钟表上的时间为9时30分，则时针与分针的夹角度数为　 　． 20．计算：　　． 21．如图，、、、依次是直线上的四个点，且线段，则线段　　． 22．已知一条直线上有，，三点，线段的中点为，，线段的中点为，，则线段的长为　　． 三、解答题 23．如图，，平分，平分，． （1）求的度数； （2）求与的度数． 24．已知为直线上的一点，是直角，平分． （1）如图1，若，则　　； （2）如图1，若，则　　； （3）若，则　　度；与的数量关系为　　． （4）当绕点逆时针旋转到如图2的位置时，（3）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． 25．一个无盖的长方体盒子的展开图如图所示． （1）该盒子的底面的长为　　（用含的式子表示）． （2）若①，②，③，④四个面上分别标有整式，，，4，且该盒子的相对两个面上的整式的和相等，求的值． （3）请在图中补充一个长方形，使该展开图折叠成长方体盒子后有盖． 26．【问题提出】在由个小正方形（边长为组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与，有何关系？ 【问题探究】 为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法． 探究一： 当，互质，除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表： 矩形横长 2 3 3 5 4 5 矩形纵长 1 1 2 2 3 3 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数 2 3 4 6 6 观察上表数据，表中的　　． 结论：当，互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数与，之间的关系式是 　　． 探究二：当，不互质时，不妨设，，，为正整数，且，互质），观察图2并完成下表： 2 3 3 5 2 3 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 3 3 矩形一条对角线所穿过的小正方形个数 4 6 8 6 观察上表数据．表中的　　，　　． 结论：当，不互质时，若，，，为正整数，且，互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数与，，之间的关系式是 　　． 【模型应用】 一个由边长为1的小正方形组的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形的个数是 　　个． 【模型拓展】 如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点，的直接穿过的小正方体的个数是 　　个． 27．如图几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律． （1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 　　个；第2个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 　　个；第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有 　　个． （2）求出第10个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数． （3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和． 28．【读一读】 欧拉，是世界著名的数学家、自然科学家，他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献．他对多面体做过研究，发现多面体的顶点数、棱数、面数之间存在一定的数量关系，并研究出了著名的欧拉公式． （1）【数一数】观察下列多面体，并把表格补充完整： 名称 三棱锥 三棱柱 正方体 八面体 图形 顶点数 4 　　 8 6 棱数 6 9 12 　　 面数 　　 5 6 8 （2）【想一想】分析表中的数据，你能发现，，之间有什么关系吗？请用一个等式表示出它们之间的数量关系：　　 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$