精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学贤岭校区2023-2024学年高一下学期8月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2023-2024学年高一下期08月测试（一） 数学试题 一、单选题 1. 已知直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 2. 圆关于点中心对称的圆的方程为（ ） A B. C. D. 3. 已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，若，则（ ） A B. C. 或 D. 5. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ） A. θ B. C. D. 8. 平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线：与，则“”是“”的充分不必要条件 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 若函数在上单调递减，则 11. 直线l：，圆C：，下列结论正确的是（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. 圆C圆心坐标为（1，0） C. 当时，直线l与圆C相切 D. 当时，直线l与圆C相交 三、填空题 12. 下列说法正确的是______. ①直线恒过定点 ②直线在轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为 ④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 13. 已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是______．（填序号） ①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是． 14. 已知实数满足，则的取值范围是______． 四、解答题 15. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 16. 已知圆C过三点． （1）求圆C的方程； （2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 17. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在中，已知，若其欧拉线的方程为，求 （1）外心的坐标； （2）重心的坐标． 18. 已知两圆：和：．求： （1）取何值时两圆外切； （2）取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点、“切比雪夫距离”，例如：点，点，因为，所以点与点的“切比雪夫距离”为，记为． （1）已知点，B为x轴上一个动点， ①若，写出点B的坐标； ②直接写出的最小值 （2）求证：对任意三点A，B，C，都有； （3）定点，动点满足，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2023-2024学年高一下期08月测试（一） 数学试题 一、单选题 1. 已知直线与直线平行，则实数（ ） A. B. 1 C. 或1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线平行的充要条件列式运算即可求解. 【详解】已知直线与直线平行， 则当且仅当，解得或. 故选：C. 2. 圆关于点中心对称的圆的方程为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两圆关于中心对称，根据圆心关于对称与半径相等求解即可. 【详解】圆，圆心，半径为， 设关于对称的对称点为， 则，解得，则， 故所求圆的方程为. 故选：B. 3. 已知点和点，则以线段为直径的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求圆心与半径可得标准方程. 【详解】因为点和点为直径端点， 所以中点，即为圆心， 由， 则圆的半径， 故圆的标准方程为. 故选：C. 4. 已知，，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】都为平面内的点集，即两点集对应的几何图形无公共点，数形结合解决问题. 【详解】集合 表示平面内一条直线，但不包含点； 由，得， 不论取何值，直线恒过， 对于的每一个取值，集合 都表示平面内过定点的一条直线. 当时，集合表示的直线的方程为， 此时直线与直线重合，有无数个公共点，即，不满足题意； 当时，直线与直线不重合，相交于点， 又，即，满足题意. 故选：D. 5. 过定点的直线与过定点的直线交于点（与不重合），则面积的最大值为（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程可得定点A、B，并且可判断两直线垂直，然后利用基本不等式可得. 【详解】动直线化为，可知定点， 动直线化为，令， 解得，可知定点， 又， 所以直线与直线垂直，交点， . 则，当且仅当时，等号成立 即面积的最大值为. 故选：B. 6. 已知直线：与圆：有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径,然后利用点到直线的距离公式即可. 【详解】圆的圆心为,半径为，直线：， 直线与圆有公共点可以转化为圆心到直线的距离小于等于半径, 即，即， 故，即,解得. 设直线倾斜角为,则,所以. 因为，所以, 所以直线的倾斜角的取值范围是. 故选:C. 7. 过原点的直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线对称的直线的倾斜角不可能为（ ） A. θ B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用直线与直线对称，得到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 因为直线和直线关于直线对称， 所以直线和直线也关于直线对称 ， 所以或， 对于A，当时，，所以A正确， 对于B，当时，，所以B正确， 对于C，若，则不成立，且也不成立，所以C错误， 对于D，当时，，所以D正确. 故选：C 8. 平面几何中有定理：已知四边形的对角线与相交于点，且，过点分别作边，，，的垂线，垂足分别为，，，，则，，，在同一个圆上，记该圆为圆.若在此定理中，直线，，的方程分别为，，，点，则圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，，，的坐标，根据垂直关系联立方程组可分别求出，的坐标，根据，，三点在圆上，分别求线段，的垂直平分线所在直线方程，通过联立解方程组求解圆心的坐标，即可求解圆的方程. 【详解】 由得，由得， 由得， 因为，对角线与相交于点，所以， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以所在直线方程为， 与联立方程组解得， 因为，所以线段的垂直平分线方程为， 线段的垂直平分线方程为， 联立，解得，所以， 又， 所以圆的方程为. 故选：. 【点睛】方法点睛：求圆的方程的常用方法： （1）直接法：直接求出圆心坐标和圆的半径，写出方程； （2）待定系数法：根据已知条件设出方程，代入求解. 二、多选题 9. 下列命题中错误的是（ ） A. 若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数 B. 任何直线都存在斜率和倾斜角 C. 直线的一般式方程为 D. 任何一条直线至少要经过两个象限 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用直线倾斜角、斜率的意义判断AB；利用直线一般式方程的条件判断C；举例说明判断D. 【详解】对于A，直线的倾斜角，则其斜率，A正确； 对于B，倾斜角为的直线不存在斜率，B错误； 对于C，直线的一般式方程为，，C错误； 对于D，当直线与轴或轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误. 故选：BCD 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 直线：与，则“”是“”的充分不必要条件 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 若函数在上单调递减，则 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项可用负数进行排除；B选项结合两直线平行关系求出a的值，注意验证重合的情况即可得答案；C选项只需确定直线过定点且弦与定点与圆心的连线垂直时，弦长最短即可得到答案；D选项先求，再结合正弦函数的单调区间构成不等式组，求解不等式组可得答案. 【详解】对于A，当时，无意义，故A错误； 对于B，因为，， 当时，有，解得或， 经检验当时，， 当时，，是重合的，故舍去， 因此“”是“”的充要条件，故B错误； 对于C，由题意知的圆心为，半径为5， 直线可转化为， 恒过定点，当弦与定点与圆心的连线垂直时，弦长最短， 如下图： 故最短弦长为，故C正确； 对于D，当时，， 又函数在上单调递减， 故，则， 对k赋值，结合可得，故D正确， 故选：CD. 11. 直线l：，圆C：，下列结论正确的是（ ） A. 直线l的倾斜角为 B. 圆C的圆心坐标为（1，0） C. 当时，直线l与圆C相切 D 当时，直线l与圆C相交 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线l斜率和倾斜角的关系，即可判断A选项；将圆心求出，即可判断B选项；利用点到直线的距离公式求出，即可得出直线l与圆的位置关系，即可判断C选项；利用点到直线的距离公式求出，即可表示出直线l与圆的位置关系，计算求参，即可判断D选项. 【详解】直线l：的斜率为1，所以直线l的倾斜角为，A选项错误； 而圆：，即，可知圆心，半径，B选项正确； 当时，直线l：， 设圆心到直线l的距离为，则， 所以直线与圆相切，故C正确； 对于D项，圆：，即，可知圆心，半径, 因为直线与圆C交于两点，所以圆心C到直线l的距离， 即，解得， 所以当时，直线l与圆C相交，故D项正确； 故选：BCD. 三、填空题 12. 下列说法正确的是______. ①直线恒过定点 ②直线在轴上的截距为1 ③直线的倾斜角为 ④已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为 【答案】①③ 【解析】 【分析】利用直线过定点判断①，利用截距的定义判断②，利用直线与斜率与倾斜角判断③，利用直线的截距式判断④，从而得解. 【详解】对于①，因为，所以，所以直线过定点，故①对； 对于②，令得，所以直线在轴上的截距为，故②错； 对于③，直线可变形为，设其倾斜角为，所以斜率， 因为，所以，故③对； 对于④，当直线的截距为0时，可设， 代入可得，解得，此时直线，即； 当直线的截距不为0时，因为直线在轴上的截距相等，可设， 代入得，解得，此时直线，即，故④错. 故答案：①③ 13. 已知圆关于直线对称，则下列结论正确的是______．（填序号） ①圆的圆心是；②圆的半径是2；③；④ab的取值范围是． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】根据圆的一般方程化为标准方程得出圆心和半径判断①②，再根据直线过圆心得出③，再结合换元应用二次函数值域判断④即可. 【详解】对于①②，将圆的方程化为标准方程可得，所以圆心为，半径为2，故①②正确； 对于③，由已知可得，直线经过圆心，所以，整理可得，故③正确； 对于④，由③知，所以，所以的取值范围是，故④正确． 故答案为：①②③④ 14. 已知实数满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件得到点在以为圆心，为半径的半圆上，而表示半圆上的点与点连线的斜率，根据图形，利用几何关系，即可求出结果. 【详解】由得到，所以是以为圆心，为半径的半圆，如图所示， 令，即， 由图知，当过点时，最小，将代入，得到， 当与半圆相切时，最大，由，得到，解得或（舍）， 所以的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题 15. 已知两条直线:和 （1）若，求实数a的值; （2）若，求与之间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直的充要条件列出方程解之即得； （2）根据两直线平行的充要条件列出不等式组解之即得 【小问1详解】 由可得，，解得. 此时，，有，故； 【小问2详解】 由可得，解得，. 此时即，，有， 与之间的距离. 16. 已知圆C过三点． （1）求圆C的方程； （2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； （2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解. 【小问1详解】 解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 17. 数学家欧拉在1765年发现，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线称为欧拉线，在中，已知，若其欧拉线的方程为，求 （1）外心的坐标； （2）重心的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出的垂直平分线方程为，联立与可求出外心坐标； （2）设，表达出重心坐标，代入欧拉线方程，再由得到另一方程，联立求出，从而得到重心坐标. 【小问1详解】 设的中点为， 则，故， 其中，根据垂直关系可得垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即， 外心在直线上， 故联立与，解得， 故外心的坐标为； 【小问2详解】 设，则重心坐标为， 因为重心在欧拉线上， 故，即①， 由得，②， 联立①②得或， 故或 因为，故与重合，不合要求，舍去， 所以满足要求，此时. 18. 已知两圆：和：．求： （1）取何值时两圆外切； （2）取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【小问1详解】 由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； 【小问2详解】 由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 19. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，例如：点，点，因为，所以点与点的“切比雪夫距离”为，记为． （1）已知点，B为x轴上的一个动点， ①若，写出点B的坐标； ②直接写出的最小值 （2）求证：对任意三点A，B，C，都有； （3）定点，动点满足，若动点P所在的曲线所围成图形的面积是36，求r的值． 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据切比雪夫距离定义写出答案即可； (2)设，，，根据切比雪夫距离定义结合三角不等式可证； (3)根据切比雪夫距离定义求出动点的轨迹方程，从而根据动点P所在的曲线所围成图形的面积是36可求r的值. 【小问1详解】 ①；②； 【小问2详解】 设，，， 则 ， 同理可得，， 所以； 故对任意三点A，B，C，都有. 【小问3详解】 设轨迹上动点，则， 等价于或， 所以点的轨迹是以为中心，边长为的正方形， 故点所在曲线所围成的图形的面积为，所以， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$