第03讲 中心对称图形（3个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第03讲 中心对称图形 课程标准 学习目标 ①中心对称图形的定义 ②中心对称图形的性质 ③关于原点对称的点的坐标 1. 掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心对称图形。 2. 掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。 3. 掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟练的求值与作图。 知识点01 中心对称图形的定义 1. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 ，那么这个图形就叫做 ，这个点叫做中心对称图形的 。 【即学即练1】 1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】 2．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过 ，且被对称中心 。 性质2：对应线段的数量关系是 的，位置关系为 或 。 性质3：对应角 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 【即学即练1】 3．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 　 　． 【即学即练2】 4．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 【即学即练3】 5．如图．AF∥ED∥BC，AB∥EF∥DC，用一条直线平分图面积．简单描述作法． 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 。 即若点与点关于原点对称，则有 。 2. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 【即学即练1】 6．直角坐标系中，点A（﹣3，1）关于原点的对称点为A′，则点A′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（1，﹣3） 【即学即练2】 7．已知点P（﹣1，2）关于原点的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝　 　． 题型01 判断中心对称图形 【典例1】剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示的图案中，为中心对称图形的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式2】下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式3】国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（　　） A． 核安全 B．国土安全 C．生安全 D．军事安全 题型02 与中心对称图形有关的计算 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，直线l平分平行四边形ABCD的面积，交AD边于点M，交BC边于点N，当线段MN最短时，则AM的长为 　 　． 【变式1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是AD，BC上的动点，且经过M，N的直线把▱ABCD分成面积相等的两部分．BD＝8，E为OD的中点，连接ME，当线段MN最小时，ME的长为 　 　． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝6．OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（　　） A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5 【变式3】如图，平面直角坐标系中▱ABCD的顶点A在原点，C点坐标是（6，2），直线y＝mx﹣2m﹣1将▱ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式4】如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 　 　． 题型03 利用对称中心平分面积进行作图 【典例1】画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗？动手画一画． 【变式1】如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分． 【变式2】如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ． （1）图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？ （2）工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明． 【变式3】（1）能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有　 　条，它们的共同特点是　 　． （2）如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）． （3）自己设计一个图形A（由至少两个基本的中心对称图形B、C组成），并作出可以将图形A面积分成相等两部分的直线． 题型04 求关于原点对称的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）关于原点的对称点为A'，则点A'的坐标是（　　） A．（ 2，﹣1） B．（ 2，1 ） C．（﹣1，2 ） D．（﹣2，﹣1 ） 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1） 【变式2】平面直角坐标系内一点P（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（4，﹣2） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 【变式3】在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2） 【变式4】在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点关于原点中心对称后的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，﹣2） 题型04 根据关于原点对称的点的坐标特点求值 【典例1】在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【变式1】如果点A（a、b）在第三象限，则点B（﹣a+1，3b﹣5）关于原点的对称点是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】已知点A（2，m）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B（n，﹣1），则点C（m，n）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，2） D．（1，1） 【变式3】已知点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称，则（　　） A．m＝0 B．n＝0 C．m+n＝0 D．m﹣n＝0 【变式4】若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　） A．m＞3 B．0＜m＜3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3 1．下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 3．已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（　　） A．平行四边形→菱形→正方形→矩形 B．平行四边形→正方形→菱形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形 5．平面直角坐标系xOy中，，，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块▱OABC空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：①经过BC边上一点P；②分成面积相等的两部分，则小路除了经过点P外，还经过（　　） A．点A B．OB的中点 C．OA的中点 D．AB边上的H点，且AH＝CP 7．七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线y＝kx将这七个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 8．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，600°） D．（3，﹣120°） 9．已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为60°，M，N是平行四边形边上的两点，且MN将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段MN的长度取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O，O1，A，A1，B，B1，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，…在x轴正半轴上，∠AOO1＝45°，OA＝1，AB＝2，BC＝3，OO1＝，AA1＝2，BB1＝3，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（　　） A．（15，2） B．（18，） C．（36，4） D．（72，8） 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 　 　，（填序号） ①等边三角形；②等腰直角三角形；③长方形；④正五边形；⑤圆；⑥平行四边形 12．在平面直角坐标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 　 　． 13．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴上，顶点A（4，0），顶点B（6，4），点P（4，m）在线段BC上，若直线l经过点P，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是 　 　． 14．如图，点O为菱形ABCD的对称中心，AB＝8，∠ABC＝60°，E、F分别是AB、AD上的点，连接OE、OF．若AE+AF＝8，则图中阴影部分的面积为 　 　． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝60°，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作DM⊥EF于点M，连接CM，则线段CM的最大值为 　 　． 16．（1）如图①，已知▱ABCD，点E是AD边上一定点，试在BC边上确定一点F，使得EF平分▱ABCD的面积，并直接写出AE与CF之间的数量关系； （2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，AE＝2．求EF的长度． 17．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 18．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积． 19．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　（2，4）　； （2）求用含k的代数式表示b； （3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 中心对称图形 课程标准 学习目标 ①中心对称图形的定义 ②中心对称图形的性质 ③关于原点对称的点的坐标 1. 掌握中心对称图形的定义并能够熟练的判定生活中的一些中心对称图形。 2. 掌握中心对称图形的性质，并能够熟练对其应用。 3. 掌握关于原点对称的点的坐标规律特点，能够通过规律特点熟练的求值与作图。 知识点01 中心对称图形的定义 1. 中心对称图形的定义： 一个图形绕某一点旋转 180° 后，如果旋转后的图形能够与旋转前 完全重合 ，那么这个图形就叫做 中心对称图形 ，这个点叫做中心对称图形的 对称中心 。 【即学即练1】 1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【即学即练2】 2．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【解答】解：由题可得，中心对称图形的有：线段、平行四边形、矩形、菱形共4个． 故选：C． 知识点02 中心对称图形的性质 1. 中心对称图形的性质： 性质1：对应点连线都经过 对称中心 ，且被对称中心 平分 。 性质2：对应线段的数量关系是 相等 的，位置关系为 平行 或 共线 。 性质3：对应角 相等 。 性质4：经过对称中心的直线把中心对称图形分成两个 全等 的图形。 特别提示：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的位置关系，而中心对称图形是指一个图形自身的形状特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同。 【即学即练1】 3．如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，Q分别在边AD，BC上，且PQ经过点O，AB＝6，AP＝3，BC＝8，点E是边AB上一动点．则△EPQ周长的最小值为 　　． 【分析】作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，则PE+QE的最小值为P′Q，证明出△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，利用勾股定理求出P′Q和PQ即可． 【解答】解：如图，作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE， ∴P′E＝PE， ∴PE+QE的最小值为P′Q， ∴△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ， 作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H， ∵AP＝3， ∴P′A＝3＝FB， ∵点O是矩形ABCD的对称中心，PQ经过点O， ∴AP＝CQ＝3， ∵BC＝8， ∴BQ＝5， ∴FQ＝8， ∵P′F＝AB＝6， ∴P′Q＝10， ∵PH＝AB＝6，HQ＝5﹣3＝2， ∴， ∴△EPQ周长的最小值为． 故答案为：． 【即学即练2】 4．如图，点O是菱形ABCD的对称中心，连接OA、OB，OA＝4，OB＝6，EF为过点O的一条直线，点E、F分别在AD、BC上，则图中阴影部分的面积为（　　） A．24 B．16 C．18 D．12 【分析】先算出菱形的面积，再算出四边形ABFE的面积，因为阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，求得三角形ABO的面积，可得阴影部分的面积． 【解答】解：连接OC、OD， ， ∵点O是菱形ABCD的对称中心， ∴AC⊥BD，O是AC与BD的交点， ∴CO＝AO＝4，DO＝BO＝6， ∴AC＝8，BD＝12， ∵EF为过点O的一条直线， ∴四边形ABFE的面积＝四边形CDEF的面积＝菱形ABCD的面积， ∵菱形ABCD的面积＝×AC×BD＝48， ∴四边形ABFE的面积＝24， ∵阴影部分的面积＝四边形ABFE的面积﹣S△ABO，S△ABO＝×AO×BO＝12， ∴阴影部分的面积＝12， 故选：D． 【即学即练3】 5．如图．AF∥ED∥BC，AB∥EF∥DC，用一条直线平分图面积．简单描述作法． 【分析】根据平行四边形是中心对称图形进行作图即可． 【解答】解：延长DE交AB于G， 连接AE、FG交于点P，连接BD、CG交于点H， 作直线PH， 则直线PH即为所求． 知识点03 关于原点对称的点的坐标 1. 关于原点对称的点的坐标： 关于原点对称的两个点的坐标特点：横纵坐标均互为 相反数 。 即若点与点关于原点对称，则有 ， 。 2. 关于点对称的点坐标： 关于点对称的点的坐标可以利用中点坐标公式进行求解。 【即学即练1】 6．直角坐标系中，点A（﹣3，1）关于原点的对称点为A′，则点A′的坐标为（　　） A．（3，1） B．（3，﹣1） C．（﹣3，﹣1） D．（1，﹣3） 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）关于原点的对称点为A′，则点A′的坐标是（3，﹣1）． 故选：B． 【即学即练2】 7．已知点P（﹣1，2）关于原点的对称点为Q（a，b），则a﹣b＝　3　． 【分析】根据中心对称的性质，分别求得a和b的值，从而完成求解． 【解答】解：∵点P（﹣1，2）关于原点的对称点为Q（a，b）， ∴a＝﹣（﹣1）＝1，b＝﹣2， ∴a﹣b＝1﹣（﹣2）＝3， 故答案为：3． 题型01 判断中心对称图形 【典例1】剪纸文化是我国最古老的民间艺术之一．下列剪纸图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【解答】解：A、图形不是中心对称图形，不符合题意； B、图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、图形不是中心对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 【变式1】如图所示的图案中，为中心对称图形的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【解答】解：图形①②中不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 图形③④中能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：D． 【变式2】下列天气预报图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【变式3】国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（　　） A． 核安全 B．国土安全 C．生安全 D．军事安全 【分析】根据中心对称图形的定义解答即可． 【解答】解：由题意可知，选项C的图形能绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，所以选项A、B、D的图形不是中心对称图形． 故选：C． 题型02 与中心对称图形有关的计算 【典例1】如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，BC＝10，∠B＝60°，直线l平分平行四边形ABCD的面积，交AD边于点M，交BC边于点N，当线段MN最短时，则AM的长为 　3　． 【分析】当MN⊥BC时，MN最短，据此求解即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD，交于O，过O作线段MN，交AD于M，交BC于N， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∴∠CAD＝∠ACB， ∵∠AOM＝∠CON， ∴△AOM≌△CON（ASA）， ∴S△AOM＝S△CON， 同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD， ∴S△OMD＝S△ONB，S△AOB＝S△COD， ∴S△AOM+S△AOB+S△BON＝S△CON+S△COD+S△OMD， 即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分， 当MN⊥BC时，MN最短； 过A作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC， ∴MN＝AH， ∵AB＝8，∠ABC＝60°， ∴∠BAH＝30°， ∴， ∴当MN⊥BC时，线段MN的长度最短为， ∴平行四边形ABCD的面积为， ∴， ∴， 解得，AM＝3， 故答案为：3． 【变式1】如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，M，N分别是AD，BC上的动点，且经过M，N的直线把▱ABCD分成面积相等的两部分．BD＝8，E为OD的中点，连接ME，当线段MN最小时，ME的长为 　2　． 【分析】利用平行四边形对角线互相平分得，根据经过M，N的直线把▱ABCD分成面积相等的两部分，得MN经过对称中心O点；当线段MN最小时，MN⊥AD，结合E为OD的中点，得． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵经过M，N的直线把▱ABCD分成面积相等的两部分， ∴MN经过对称中心O点， 当线段MN最小时，MN⊥AD， ∴△MOD此时是直角三角形， ∵E为OD的中点， ∴， 故答案为：2． 【变式2】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，OA＝6．OC＝8．若直线y＝2x+b把矩形面积两等分，则b的值等于（　　） A．5 B．2 C．﹣2 D．﹣5 【分析】当直线经过AC的中点时，直线把矩形的面积等分，求出AC的中点，代入直线的解析式求出b即可． 【解答】解：∵OA＝6．OC＝8， ∴A（0，6），C（8，0）， ∴AC中点的坐标为（4，3）， 把（4，3）代入y＝2x+b得， 2×4+b＝3， 解得b＝﹣5． 故选：D． 【变式3】如图，平面直角坐标系中▱ABCD的顶点A在原点，C点坐标是（6，2），直线y＝mx﹣2m﹣1将▱ABCD分成面积相等的两部分，则m的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，根据两对对应角相等的两三角形相似，可得△AME∽△ACF，由M为AC的中点得到相似三角形的相似比为1：2，可得E为AF的中点，由C的坐标得到AF与CF的长，又ME为三角形ACF的中位线，根据中位线定理得到ME为CF的一半，求出ME的长，由AE为AF的一半，求出AE的长，确定出M的坐标，把M的坐标代入直线方程中，得到关于a的方程，求出方程的解即可得到m的值． 【解答】解：连接AC、BD，AC与BD相交于点M，过点M作ME⊥x轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F， ∵C（6，2）， ∴AF＝6，CF＝2， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AM＝CM，即＝， ∵ME⊥x轴，CF⊥x轴， ∴∠MEA＝∠CFA＝90°， ∴ME∥CF， ∴∠AME＝∠ACF，∠AEM＝∠AFC， ∴△AME∽△ACF， ∴，即E为AF的中点， ∴ME为△AFC的中位线， ∴AE＝AF＝3，ME＝CF＝1， ∴M（3，1）， ∵直线y＝mx﹣2m﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分， ∴直线y＝mx﹣2m﹣1经过点M， 将M（3，1）代入y＝mx﹣2m﹣1得：m＝2． 故选：B． 【变式4】如图，正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O，其边长分别是3和2，则图中阴影部分的面积是 　1.25　． 【分析】连接AF，BG，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【解答】解：连接AF，BG， ∵正方形的边长分别为3和2， ∴面积分别为9和4， ∵正方形ABCD和正方形EFGH的对称中心都是点O， ∴． 故答案为：1.25． 题型03 利用对称中心平分面积进行作图 【典例1】画一条直线，你能将下面的图形分割成面积相等的两部分吗？动手画一画． 【分析】把所给图形分为两个规则图形即矩形，找到两个规则图形对角线的交点，过交点画直线即可． 【解答】解：如图所示： 【变式1】如图在平行四边形的纸片上有一个圆洞，请画一条直线把纸片分成分成面积相等的两部分． 【分析】由于平行四边形和圆都是中心对称图形，于是连接平行四边形的对角线的交点和圆心的直线可把纸片分成分成面积相等的两部分． 【解答】解：如图，直线l为所作． 【变式2】如图所示，图①中过圆心的一条直线将圆分成Ⅰ，Ⅱ两部分，图②中过平行四边形的中心（对角线交点）任作两条直线形成阴影部分Ⅰ，Ⅱ． （1）图①②中的Ⅰ，Ⅱ两部分的面积均相等吗？ （2）工人师傅需把图③所示的一块木板分成面积相等的两部分，你认为应该怎样分？请画出示意图，并作简要说明． 【分析】（1）圆是中心对称图形，根据圆的性质，过圆心的直线可将圆分成面积相等的两部分，平行四边形为中心对称图形，过对称中心的直线可将平行四边形分成面积相等的两部分，据此就能得出结论； （2）根据（1）中的结论可知，过中心对称图形的对称中心的直线可将此图形分成面积相等的两部分，将原图形进行分割或补全，将其变成两个中心对称图形．本题中可将木板分成左右两个矩形，连接两个矩形的对称中心即可，注意答案不唯一． 【解答】解：（1）图①②中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等． 理由：∵圆是轴对称图形， ∴过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分， ∴图①中的Ⅰ、Ⅱ两部分的面积相等． 图②： ∵过平行四边形中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分， ∴Ⅰ+B＝A+Ⅱ，Ⅰ+A＝B+Ⅱ， 两式相加即可得到面积Ⅰ与面积Ⅱ相等． （2） 答案不唯一，如图③，将木板分成左右两个矩形，过两个矩形的对称中心的直线，把此图形分成面积相等的两部分． 理由：过矩形对称中心的直线可将矩形分成面积相等的两部分． 【变式3】（1）能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有　无数　条，它们的共同特点是　均经过两条对角线的交点　． （2）如图，已知：AB∥CD∥FE，AF∥BC∥DE、求作一条直线，将这个图形分成面积相等的两部分、要求：对分法的合理性进行说明，并在图中作出分法的示意图（保留作图痕迹）． （3）自己设计一个图形A（由至少两个基本的中心对称图形B、C组成），并作出可以将图形A面积分成相等两部分的直线． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知能把平行四边形分成面积相等的两部分的直线有无数条，它们的共同特点是均经过两条对角线的交点． （2）延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，P、Q分别为四边形ABMF、四边形CDEM的对称中心，直线PQ即为所求． （3）根据题意先作出图形，分别找到两个图形的对称中心，连接即可． 【解答】解：（1）无数．均经过两条对角线的交点． （2）延长BC交EF于点M，连接AM、BF交于点P，连接CE、DM交于点Q，过P、Q的直线将这个图形分成面积相等的两部分，因为PQ既将平行四边形ABMF的面积平分，又将平行四边形CDEM的面积平分，所以直线PQ即为所求． （3）如图所示： 题型04 求关于原点对称的点的坐标 【典例1】在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）关于原点的对称点为A'，则点A'的坐标是（　　） A．（ 2，﹣1） B．（ 2，1 ） C．（﹣1，2 ） D．（﹣2，﹣1 ） 【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数解答． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）关于原点的对称点为A'，则点A'的坐标是（ 2，﹣1）． 故选：A． 【变式1】在平面直角坐标系中，点A（﹣3，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（　　） A．（﹣3，1） B．（﹣3，﹣1） C．（3，1） D．（3，﹣1） 【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标． 【解答】解：∵点A坐标为（﹣3，1）， ∴点B的坐标为（3，﹣1）． 故选：D． 【变式2】平面直角坐标系内一点P（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是（　　） A．（4，﹣2） B．（2，4） C．（﹣2，﹣4） D．（2，﹣4） 【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），据此求解即可． 【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣2，4）关于原点对称点的点的坐标是（2，﹣4）． 故选：D． 【变式3】在平面直角坐标系中，点A与点B关于原点对称，点A坐标为（﹣2，3），则点B坐标为（　　） A．（﹣2，﹣3） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣3，2） 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接写出答案． 【解答】解：∵点A的坐标是（﹣2，3），点B与点A关于原点对称， ∴点B的坐标是（2，﹣3）， 故选：B． 【变式4】在平面直角坐标系中，将点P（3，2）向右平移2个单位长度，所得到的点关于原点中心对称后的点的坐标为（　　） A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（5，2） D．（﹣5，﹣2） 【分析】根据点的坐标平移规律“左减右加，下减上加”，可知横坐标应变为5，而纵坐标不变，再利用关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数可得答案． 【解答】解：将点P（3，2）向右平移2个单位长度后的坐标为：（5，2）， ∴（5，2）关于原点中心对称后的点的坐标为（﹣5，﹣2）； 故选：D． 题型04 根据关于原点对称的点的坐标特点求值 【典例1】在直角坐标系中，点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称，则a﹣b的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P'（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点A（1，a）和点B（b，﹣5）关于原点成中心对称， ∴a＝5，b＝﹣1， ∴a﹣b＝5+1＝6． 故选：D． 【变式1】如果点A（a、b）在第三象限，则点B（﹣a+1，3b﹣5）关于原点的对称点是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】此题首先明确两个点关于原点对称，则横、纵坐标都是互为相反数；然后能够根据点所在的位置判断点的坐标符号，根据坐标符号得到字母的取值范围． 【解答】解：∵点B（﹣a+1，3b﹣5）关于原点的对称点是（a﹣1，5﹣3b）． 又∵点A在第三象限即a＜0，b＜0． ∴a﹣1＜0，5﹣3b＞0， ∴（a﹣1，5﹣3b）是第二象限的点． 故选：B． 【变式2】已知点A（2，m）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B（n，﹣1），则点C（m，n）关于原点对称的点的坐标为（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（2，1） C．（﹣2，2） D．（1，1） 【分析】先根据平移法则求出m和n的值，再根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【解答】解：∵点A（2，m）向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点B（n，﹣1）， ∴2﹣3＝n，m+1＝﹣1， ∴m＝﹣2，n＝﹣1， ∴点C（﹣2，﹣1）关于原点对称的点的坐标为（2，1）． 故选：B． 【变式3】已知点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称，则（　　） A．m＝0 B．n＝0 C．m+n＝0 D．m﹣n＝0 【分析】根据关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数求解即可． 【解答】解：∵点A（m，n）与点B（n，m）关于原点对称， ∴m＝﹣n， ∴m+n＝0． 故选：C． 【变式4】若点P（﹣m，m﹣3）关于原点对称的点在第二象限，则m的取值范围为（　　） A．m＞3 B．0＜m＜3 C．m＜0 D．m＜0或m＞3 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出对应点，进而利用第二象限点的坐标特点得出答案． 【解答】解：点P（﹣m，m﹣3）关于原点的对称点为（m，3﹣m）， ∵（m，3﹣m）在第二象限， ∴， 解得m＜0， 故选：C． 1．下列中国品牌新能源车的车标中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【解答】解：A．该图不是中心对称图形，故不符合题意； B．该图是中心对称图形，故符合题意； C．该图不是中心对称图形，故不符合题意； D．该图不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 2．点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b），则a+b的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．5 【分析】关于原点对称的点，横纵坐标都为相反数． 【解答】解：∵点P（a，﹣3）关于原点对称的点是P′（2，b）， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴a+b＝1， 故选：A． 3．已知点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，且与第二象限内的点Q关于原点对称，则点P的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，3） 【分析】设点P（a，b），由点P与第二象限内的点Q关于原点对称可得点P在第四象限，进而得到a＞0，b＜0；再由点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3可得|a|＝3，|b|＝2，再求解即可． 【解答】解：设点P（a，b）， ∵点P与第二象限内的点Q关于原点对称， ∴点P在第四象限， ∴a＞0，b＜0， ∵点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3， ∴|a|＝3，|b|＝2， ∴a＝3，b＝﹣2， ∴点P的坐标为（3，﹣2）， 故选：A． 4．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（　　） A．平行四边形→菱形→正方形→矩形 B．平行四边形→正方形→菱形→矩形 C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形 D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形 【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形BEDF形状的变化情况． 【解答】解：连接BD． ∵点O为矩形ABCD的对称中心， ∴BD经过点O，OD＝OB， ∵AD∥BC， ∴∠FDO＝∠EBO， 在△DFO和△BEO中， ， ∴△DFO≌△BEO（ASA）， ∴DF＝BE， ∵DF∥BE， ∴四边形BEDF是平行四边形， 观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：C． 5．平面直角坐标系xOy中，，，则坐标原点O关于直线AB对称的点O的坐标为（　　） A． B． C． D． 【分析】设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求出直线AB的解析式，再由坐标原点O关于直线AB对称的点为O′，可得出直线OO′的解析式，求出直线AB与直线OO′的交点坐标，再利用中点坐标公式即可得出点O′的坐标． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵A（，0），， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x+， ∵坐标原点O关于直线AB对称的点为O′， ∴直线OO′的解析式为y＝x， ∴， 解得， ∴直线AB与直线OO′的交点坐标为（，）， 设点O′（a，b），则＝，＝， ∴a＝，b＝， ∴O′（，）． 故选：D． 6．为更好地开展劳动教育课程，学校计划将一块▱OABC空地（如图）修建一条笔直的小路（小路宽度忽略不计）．有两个要求：①经过BC边上一点P；②分成面积相等的两部分，则小路除了经过点P外，还经过（　　） A．点A B．OB的中点 C．OA的中点 D．AB边上的H点，且AH＝CP 【分析】根据平行四边形的中心对称性即可解决问题． 【解答】解：因为四边形OABC是平行四边形，且平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为其对称中心， 所以经过平行四边形对角线交点的任一直线将平行四边形的面积平分． 又因为平行四边形的对角线互相平分， 所以经过OB的中点的直线将平行四边形OABC空地的面积平分． 故选：B． 7．七个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，直线y＝kx将这七个正方形分成面积相等的两部分，则k的值为（　　） A．1 B． C． D． 【分析】设中间三个正方形组成的四边形为矩形ABCD，连接AC，BD，相交于点M，则直线y＝kx经过点M，由图可得点M的坐标，代入y＝kx可得k的值． 【解答】解：设中间三个正方形组成的四边形为矩形ABCD，连接AC，BD，相交于点M， ∴点M的坐标为（，）． ∵直线y＝kx将这七个正方形分成面积相等的两部分， ∴直线y＝kx经过点M（，）． 将M（，）代入y＝kx， 得k＝， 解得k＝． 故选：D． 8．在平面内由极点、极轴和极径组成的坐标系叫做极坐标系．如图，在平面上取定一点O称为极点；从点O出发引一条射线Ox称为极轴；线段OP的长度称为极径，点P的极坐标就可以用线段OP的长度以及从Ox转动到OP的角度（规定逆时针方向转动角度为正）来确定，即P（3，60°）或P（3，﹣300°）或P（3，420°）等，则点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标表示不正确的是（　　） A．Q（3，240°） B．Q（3，﹣450°） C．Q（3，600°） D．（3，﹣120°） 【分析】根据极坐标的定义以及中心对称的性质判断出点Q的坐标，可得结论． 【解答】解：点P关于点O成中心对称的点Q的极坐标Q（3，240°）或（3，600°）或（3，﹣120°）． 故选：B． 9．已知平行四边形的一组邻边长为2和3，且有一个内角为60°，M，N是平行四边形边上的两点，且MN将此平行四边形分成面积相等的两部分，则线段MN的长度取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知，MN经过平行四边形的对角线的交点．设此平行四边形为四边形ABCD，其中AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°．则当MN垂直BC时，线段MN的长度最短，当线段MN与线段BD重合时，线段MN的长度最长．利用平行四边形的性质、特殊角的三角函数、勾股定理分别计算线段MN的长度的最小值与最大值，即可得出答案． 【解答】解：设此平行四边形为四边形ABCD，其中AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°．连接AC，BD相交于点O． ∵MN将此平行四边形分成面积相等的两部分， ∴MN过点O． 由题意知，当MN垂直BC时，线段MN的长度最短，当线段MN与线段BD重合时，线段MN的长度最长． 过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD＝AB＝2，AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DCE＝∠ABC＝60°． ∴DE＝CD•sin60°＝2×＝，CE＝CD•cos60°＝＝1， ∴BE＝BC+CE＝4， ∴BD＝＝＝， 即线段MN的长度的最大值为． 当MN垂直BC时， ∵AD∥BC， ∴MN⊥AD， ∴∠DMN＝∠MNE＝90°， ∵DE⊥BC， ∴∠DEN＝90°， ∴四边形DENM为矩形， ∴MN＝DE＝， 即线段MN的长度的最小值为． ∴线段MN的长度取值范围是≤MN≤． 故选：C． 10．如图，在平面直角坐标系中，点O，O1，A，A1，B，B1，C，…都是平行四边形的顶点，点A，B，C，…在x轴正半轴上，∠AOO1＝45°，OA＝1，AB＝2，BC＝3，OO1＝，AA1＝2，BB1＝3，…．按照此规律依次排列，则第8个平行四边形的对称中心的坐标是（　　） A．（15，2） B．（18，） C．（36，4） D．（72，8） 【分析】过O1作O1M⊥x轴于点M，根据∠AOO1＝45°，OO1＝，求出OM＝O1M＝1，根据OA＝1，可得点M与点A重合，即O1A⊥OA，确定出第1个平行四边形的对称中心坐标，同理归纳总结得到第n个平行四边形的对称中心坐标，即可确定出第8个平行四边形对称中心的坐标． 【解答】解：过O1作O1M⊥x轴于点M， ∵∠AOO1＝45°，OO1＝， ∴OM＝O1M＝1， ∵OA＝1， ∴点M与点A重合， ∴O1A⊥OA， ∴O1A的中点为第1个平行四边形的对称中心，其坐标为（1，）； 同理可得：A1B⊥AB，OB＝OA+AB＝1+2＝3，A1B＝AB＝2， ∴A1B的中点为第2个平行四边形的对称中心，其坐标为（1+2，1）； 同理可得：第3个平行四边形的对称中心坐标为（1+2+3，）； ...， 第n个平行四边形的对称中心坐标为（1+2+3+...+n，）， 则第8个平行四边形的对称中心坐标为（1+2+3+4+5+6+7+8，），即（36，4）． 故选：C． 11．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是 　③⑤　，（填序号） ①等边三角形 ②等腰直角三角形 ③长方形 ④正五边形 ⑤圆 ⑥平行四边形 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：等边三角形，等腰直角三角形，正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形； 平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形； 长方形、圆既是轴对称图形又是中心对称图形． 故答案为：③⑤． 12．在平面直角坐标系中，若点A（3，2）与点B（m，﹣2）关于原点对称，则m的值是 　﹣3　． 【分析】直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y），进而得出答案． 【解答】解：∵点（3，2）与点（m，﹣2）关于原点对称， ∴m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 13．如图，在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴上，顶点A（4，0），顶点B（6，4），点P（4，m）在线段BC上，若直线l经过点P，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式是 　y＝2x﹣4　． 【分析】先求出点P（4，4），点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B，则点O（0，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点C（2，4），连接AC、BO，相交于点M，由中点坐标公式求出点M的坐标为（3，2），利用待定系数法求出直线PM的解析式即可． 【解答】解：∵在直角坐标系中，平行四边形OABC的边OA在x轴上， ∴OA∥BC，BA∥CO， ∵顶点A（4，0），顶点B（6，4），点P（4，m）在线段BC上， ∴点P（4，4），点A向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点B， ∴点O（0，0）向上平移4个单位，向右平移2个单位得到点C（2，4）， 连接AC、BO，相交于点M，如图， 则OM＝BM，AM＝CM， 则点M的坐标为（3，2）， ∵直线l经过点P，且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分， ∴图象过点M和点P， 设直线PM即直线l的函数解析式是y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线l的函数解析式是y＝2x﹣4． 故答案为：y＝2x﹣4． 14．如图，点O为菱形ABCD的对称中心，AB＝8，∠ABC＝60°，E、F分别是AB、AD上的点，连接OE、OF．若AE+AF＝8，则图中阴影部分的面积为 　　． 【分析】连接OA、OB，由题意可知，BE＝AF，进而得到S△BOE＝S△AOF，则S阴影＝S△AOB，由菱形的性质可知，∠ABO＝30°，OA⊥OB，再利用锐角三角函数，求出OA、OB，即可得出阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接OA、OB， ∵AB＝AE+BE＝8，AE+AF＝8， ∴BE＝AF， ∵点O为菱形ABCD的对称中心， ∴点O到AB和AD的距离相等， ∴S△BOE＝S△AOF， ∴S阴影＝S△AOE+S△AOF＝S△AOE+S△BOE＝S△AOB， ∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°，OA⊥OB， ∴，， ∴， 即图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 15．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠ADC＝60°，E，F分别为菱形边上的动点，过点E，F的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点D作DM⊥EF于点M，连接CM，则线段CM的最大值为 　　． 【分析】连接BD交AC于点O．取OD的中点T，连接TM，TC，由菱形的性质可得AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，得出△ABC，△ADC都是等边三角形，从而得出AC＝AB＝6，OA＝OC＝3，再由勾股定理求得，，得出， 最后得出，即可求解． 【解答】解：如图，连接BD交AC于点O．取OD的中点T，连接TM，TC， ∵直线EF将菱形分成面积相等的两部分， ∴直线EF经过点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ADC＝∠ABC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∴△ABC，△ADC都是等边三角形， ∴AC＝AB＝6，OA＝OC＝3， ， ∵， ∴， ∵D M⊥E F， ∴∠DMO＝90°， ∵O T＝T D， ∴， ∴， ∴CM的最大值为． 故答案为：． 16．（1）如图①，已知▱ABCD，点E是AD边上一定点，试在BC边上确定一点F，使得EF平分▱ABCD的面积，并直接写出AE与CF之间的数量关系； （2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，AE＝2．求EF的长度． 【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交BC于点F，过点A作AH⊥BC，垂足为H，根据EF平分▱ABCD的面积，由梯形的面积公式得到，得到AE+BF＝CF+DE，根据平行四边形的性质，证明△DOE≌△BOF，得到DE＝BF，进而得到AE＝CF； （2）在（1）图基础上，过点E作EG⊥BC，垂足为G，证明四边形AHGE是矩形，得到HG＝AE＝2，AH＝EG，根据含30度角的直角三角形的特征，求出，进而求出GF＝1，再利用勾股定理求出，推出，利用勾股定理即可求出EF的长． 【解答】解：（1）连接AC，BD交于点O，连接EO并延长交BC于点F，过点A作AH⊥BC，垂足为H， ∵EF平分▱ABCD的面积， ∴， ∴AE+BF＝CF+DE， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，OB＝OD， ∴∠CBD＝∠ADB， 在△DOE和△BOF中， ， ∴△DOE≌△BOF（ASA）， ∴DE＝BF， ∴AD﹣DE＝BC﹣BF，即AE＝CF； （2）在（1）图基础上，过点E作EG⊥BC，垂足为G， 由（1）知DE＝BF，AE＝CF， ∵AE＝2，AD＝BC＝8， ∴DE＝BF＝AD﹣AE＝6，AE＝CF＝2， ∵AH⊥BC，EG⊥BC， ∴AH∥EG， ∵AE∥HG， ∴四边形AHGE是平行四边形， ∵∠AHG＝∠EGH＝90°， ∴四边形AHGE是矩形， ∴HG＝AE＝2，AH＝EG， ∵∠B＝60°，∠BHA＝90°，AB＝6， ∴∠BAH＝30°， ∴， ∴GF＝BF﹣BH﹣HG＝1， ∴， ∴， ∴． 17．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． （1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）； （2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分； （3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分割）． 【分析】（1）根据知识背景即可求解； （2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可； （3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可． 【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC； （2）如图所示： （3）如图所示： 故答案为：＝． 18．已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称． （1）求点A、B、C、D的坐标； （2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积． 【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标； （2）把这些点按A﹣D﹣B﹣C﹣A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可． 【解答】解：（1）∵点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称， ∴2b+1＝﹣1，3a﹣1＝2， 解得a＝1，b＝﹣1， ∴点A（﹣1，2），B（﹣1，﹣2），C（3，﹣1）， ∵点C（a+2，b）与点D关于原点对称， ∴点D（﹣3，1）； （2）如图所示： 四边形ADBC的面积为：． 19．如图，△AOB绕点O旋转180°得到△COD，点A的对应点为点C，分别延长OB，OD至点E，F，且BE＝DF，连结AF，FC，CE，EA． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形． （2）若OE＝CE，∠EAC＝45°，，求四边形AFCE的周长． 【分析】（1）利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”进行证明即可． （2）过点E作AC的垂线，根据平行四边的性质结合勾股定理即可解决问题． 【解答】证明：（1）∵△COD由△AOB绕点O旋转180°得到， ∴AO＝CO，DO＝BO，且A，O，C三点在一条直线上，B，O，D三点在一条直线上． ∵BE＝DF， ∴OB+BE＝OD+DF， 即OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形． 解：（2）过点E作AC的垂线，垂足为M， ∵OE＝CE， ∴OM＝CM． 又∵OA＝OC， ∴AM＝3CM． ∵∠EAC＝45°，且EM⊥AC， ∴ME＝AM＝3CM． 又∵OE＝， ∴CE＝OE＝． 在Rt△MCE中， MC2+ME2＝EC2， ∴MC2+（3MC）2＝（）2， 解得MC＝1， ∴AM＝ME＝3， ∴AE＝＝3， ∴FC＝AE＝3． 又∵AF＝EC＝， ∴四边形AFCE的周长为：6+2． 20．如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为（﹣2，3）、（4，1），以OA、OC为邻边作平行四边形OABC，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B． （1）点B的坐标为 　（2，4）　； （2）求用含k的代数式表示b； （3）当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，求k的值． （4）直接写出一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围． 【分析】（1）由平移的性质得B点坐标； （2）把B点坐标代入解析式便可得出答案； （3）一次函数图象再过原点，则可把平行四边形的面积等分，把原点和B点坐标代入一次函数的解析式便可求得k； （4）求出一次函数图象经过A点的k值，和一次函数图象经过C点的k值，再根据一次函数的性质便得结果． 【解答】解：（1）∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥OC，AB＝OC， ∴AB可由OC平移得到， ∵A（﹣2，3）、C（4，1）、O（0，0）， ∴B（4﹣2，1+3）， 即B（2，4）， 故答案为：（2，4）； （2）把B（2，4）代入y＝kx+b，得2k+b＝4， ∴b＝4﹣2k； （3）∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）的图象过点B， ∴当一次函数y＝kx+b的图象将OABC分成面积相等的两部分时，则图象必过点O（0，0）， ∴， 解得k＝2； （4）当直线y＝kx+b经过A点时，得， 解得k＝， 当直线y＝kx+b经过C点时，得， 解得k＝﹣， 根据一次函数的性质知，当k＞或k＜﹣时，一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点， ∴一次函数y＝kx+b的图象与OABC的边只有两个公共点时k的取值范围是：k＞或k＜﹣． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$