新课预习衔接：数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第二部分 典型例题 例题1：如图，数学实验室的窗户设计如图所示，如果每个符号代表一个数字，它们是837，571，206，439．求2018的图如何画？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图案和数据可知：837，439第2位都是3，观察图形可知，只有第2行和第4行是这两个数，第2行和第4行的末尾数字图形是7或者9，而571是其中一个数，第1行和第3行只有第一行的第2个图形是前面的那个7或9，所以第1行的数字是571，第2行是439，第3行是206，第4行是837，据此即可得出代表1995的符号． 【解答】解：由图案和提供的数据可知：837，439第2位都是3，所以只有第2行和第4行是这两个数，第2行和第4行的末尾数字图形是7或者9，而571是其中一个数，第1行和第3行只有第一行的第2个图形是前面的那个7或9，所以第1行的数字是571，第2行是439，第3行是206，第4行是837； 即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分别用符号： 2018是： 【点评】本题考查了用符号（窗户形状）代表阿拉伯数码，解题的关键是由相同的数字得出对应的图案，找到突破口． 例题2：观察如图，要想得到200个直角三角形，应画多少个正方形？ 【答案】见试题解答内容 【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点． 【解答】解：根据图中的数据可得：1个正方形有0个三角形，可以写成（1﹣1）×4个； 2个正方形有4个三角形，可以写成（2﹣1）×4个； 3个正方形有8个三角形，可以写成（3﹣1）×4个； 4个正方形有12个三角形，可以写成（4﹣1）×4个； 所以当正方形的个数为a时，三角形的个数可以写成：（a﹣1）×4个； 设需要画a个正方形才得到200个直角三角形，则根据（2）中的结论可得： （a﹣1）×4＝200， 解得a＝51， 答：如果要得到200个直角三角形，一共应画51个正方形． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力． 例题3：用小棒按下面的方式拼图形． （1）如果按下面的规律拼成5个这样的五边形，一共要用　21　根小棒． 五边形 个数 拼成的形状 小棒根数 1 5 2 9 3 13 4 17 （2）接着拼下去，一共用了57根小棒，你知道一共拼成了多少个五边形吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由图示可知，拼1个五边形，需要小棒根数：5根；拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）；拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）；……有摆n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）．根据规律计算即可． （2）由（1）的规律可知，当4n+1＝57时，n＝14． 【解答】（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根 拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根） 拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根） …… 有拼n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根） 当n＝5时，所需小棒根数： 4×5+1 ＝20+1 ＝21（根） 答：拼成5个这样的五边形，一共要用 21根小棒． （2）解：设一共拼成了x个五边形． 4x+1＝57 4x＝56 x＝14 答：一共拼成了14个五边形． 故答案为：21． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题． 例题4：根据已知条件填表． 小兰像下面这样摆正方形，摆1个用4根小棒，摆2个用8根小棒… 摆1个 摆2个 摆3个 … 摆10个 摆　25　个 4根 8根 　12　根 … 　40　根 100根 【答案】见试题解答内容 【分析】摆1个正方形需要4根；摆2个正方形需要4×2＝8根；摆3个正方形需要4×3＝12根…，摆n个正方形需要4×n＝4n根．据此解答即可． 【解答】解：4×3＝12（根） 4×10＝40（根） 4×25＝100（根） 摆1个 摆2个 摆3个 … 摆10个 摆 25个 4根 8根 12根 … 40根 100根 故答案为：25，12，40． 【点评】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键． 第三部分 高频真题 1．图中的涂色部分表示312．整个图形表示多少？ 2．小明用小棒搭房子．搭2间用9根，搭3间用13根．照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？ 3．观察如图，回答问题。 （1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？ （2）摆第n个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。 4．一张桌子可以坐6个人，两张桌子拼起来可以坐10个人，那么9张桌子像这样拼起来可以坐多少人？ 5．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：1+2＝3； 第2行：4+5+6＝7+8； 第3行：9+10+11+12＝13+14+15； 第4行：16+17+18+19+20＝21+22+23+24； 第n行：…… （1）观察每行的第1个数，我发现：第n行的第1个数正好是 　 　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　 　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 6．观察点阵图形，找出规律． （1）第8个图形中有多少个点？ （2）第n个图形中有多少个点？ 7．某校排练体操，一圈套一圈地围成若干圈，从外向内人数依次减少4．如果围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人，参加排练的有多少人？ 8．先观察、分析下面各组小正方体的摆放情况，再填写表格．（每个小正方体的棱长都是1cm） 层数 1 2 3 4 5 …… 小正方体的个数 1 3 6 10 …… 图形的表面积/cm2 6 14 24 36 …… 图形的体积/cm3 1 3 6 10 …… 9．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接． （1）若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐　 　人；若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐　 　人． （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 10．观察如图围棋的摆法再填一填 （1）在如图画出第5次的摆法 （2）摆第10次时，一共需要　 　枚棋子． （3）摆第8次时，黑棋子一共有　 　枚，白棋子一共有　 　枚． 11．自学下面这段材料，然后回答问题。 我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多， 例如：2+2＝2×2。但是在分数中，这种现象却很普遍。 请观察下面的几个例子： 因为：4，4，所以。 因为：5，5，所以。 根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的 　 　相同，并且 　 　，那么这两个分数的和等于它们的积。 例如：　 　+　 　＝　 　×　 　。 12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。 （1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。 4＝1+3 9＝3+6 16＝6+10 　 　 （2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝　 　。 13．海豹是生活在海洋中的哺乳动物，它们一般靠肺呼吸，所以必须经常不断地浮到海面呼吸空气。一只海豹6时开始从海底经过9分钟慢慢浮到海面，然后浮出海面呼吸2分钟，最后再经过9分钟回到海底，这样有规律地进行这个过程。7时整海豹会在什么位置？（请你用喜欢的方式表示出你的思考过程和结果） 14．（如图所示）用小棒按下图摆六边形：摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，… ①像这样摆下去，摆m个六边形一共需要多少根小棒？（请用含有字母m的式子表示） ②当m＝10时，用第①题的式子计算摆10个六边形一共需要多少根小棒？ 15．把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要 　 　cm的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要 　 　cm的绳子。 16．丽丽和文文用同样长的小棒摆图形，他们各用了多少根小棒？ 17．按如图中的方式摆放三角形积木，如果最下层放21块，那么共需放几层？ 18．附加题． （1）m＝　 　． （2）用2016根火柴棒能搭成多少个六边形？ 19．（1）把3幅画像下面这样钉在墙上，一共要用多少个图钉？ （2）如果一共有5幅画，还是按照（1）的方法钉在墙上，一共要用多少个图钉？ 20．如图1，在长方形ABCD中，点E从点A开始，以每秒3厘米的速度沿长方形的边AB、BC、CD匀速移动。随着点E的移动，三角形ADE的面积会不断发生变化。它的面积变化情况如图2所示。 （1）点E从点A开始移动，　 　秒后到达点B。 （2）图2中3秒到8秒表示点E在长方形的边 　 　上移动。 （3）长方形ABCD的面积是多少？ 21．用绿、白两种颜色的小方块瓷砖400块贴成一正方向墙面，这个墙面最外层铺的是白色瓷砖．由外到内的第二层是绿色瓷砖，第三层是白色瓷砖，第四层又是绿色…，那么，这个墙面上绿色瓷砖共有多少块？ 22．五（1）班进行团体操表演，排成下面的队形．如果再增加一些人，但是保持点阵的规律不变，至少增加多少人？ 23．一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起。 （1）2张这样的桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？n张桌子呢？ （2）一家饭店有80张这样的长方形桌子，按照如图方式每4张拼成1张大桌子，则80张桌子可拼成20张大桌子，共可坐多少人？ 24．如图，同学们搬一套桌椅，1个同学可搬2把椅子，2个同学可抬1张桌子。 （1）搬一套桌椅要几人？ （2）一次搬3套桌椅需要多少人？ （3）25人同时搬，一次可以搬多少套桌椅？ 25．某地举行庆丰收长桌宴，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，参加宴会的共有402人，需要并多少张桌子？ 26．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行最多能坐6人，如图． （1）将下表填写完整． 拼成一行的方桌数 1 2 3 4 5 6 …… 最多能坐的人数 4 6 …… （2）10张方桌拼成一行最多能坐多少人？ （3）n（n≥1，且n为整数）张方桌拼成一行最多能坐多少人？（用含有n的式子表示） 27．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 28．一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人．像这样共几张桌子拼起来可以坐50人． 29．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光。如图表示前14秒灯光明暗变化的情况，第1、2秒是亮的，第3秒是暗的。 （1）几秒后亮灯的情况开始和前面重复？照明灯发光的规律是什么？ （2）第40秒照明灯是亮的还是暗的？ 30．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起． （1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子拼在一起可坐多少人？ （2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ （3）若在（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐多少人？ 31．如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。 （1）如果连续用“十字”分割4次，分成了 　 　个正方形。 （2）如果连续用“十字”分割n次，会分成 　 　个正方形。 （3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割 　 　次。 32．一张长方形餐桌可以坐6人，两张同样大小的餐桌拼在一起可以坐10人，像这样拼下去，6张这样的餐桌可以坐多少人？（先画示意图，再列式计算） 33．我们在初中的数学学习中将会经常用到后面的这个公式：a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b），这个公式我们称为平方差公式，请你利用这个公式，解决下面这个数学问题。如图所示，边长分别为1、2、3、4、…、2013、2014的正方形叠放在一起，则图中阴影部分的面积是多少？ 34．1张桌子坐8人，2张桌子并起来坐12人，3张桌子并起来坐16人… （1）照这样，15张桌子并起来可以坐多少人？ （2）如果一共有40人，需要并多少张桌子才能坐下？ 35．仔细观察如图与算式的规律，并填空。 （1）（n+1）2﹣n2＝　 　 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝　 　 36．如图，如果涂色的部分表示318，那么整个图形表示多少？ 37．用一根长96cm的绳子在地上摆正方形．当这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是多少厘米？顶点有几个？ 38．按下面的方式摆桌子和椅子，一张桌子可以坐4人，两张桌子可以坐6人…… （1）照这种方式摆下去，10张桌子可以坐多少人？ （2）n张桌子可以坐多少人？ （3）坐60人需要多少张桌子？ 39．如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 40．快乐提升： 如图，摆一个三角形用3根小棒，增加2根，可以摆出一个平行四边形，继续增加2根，摆出一个梯形，照这样摆下去，21根小棒能摆出一个什么样的图形？51根呢？ 41．小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，任一盒子中不止两颗珠子，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？ 42．已知摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根……按照这样的规律，摆15个三角形需要多少根小棒？用79根小棒可以摆多少个三角形？ 参考答案与试题解析 1．图中的涂色部分表示312．整个图形表示多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】在这里是把一个正方形的面积看作单位“1”，把它平均分成8份，每份是它的，其中1份涂色，表示，即这个正方形的表示312，根据分数除法的意义，用312除以8就是整个图形表示的数，或根据整数乘法的意义，用312乘8就是或个图形所表示的数． 【解答】解：3122496 或312×8＝2496 答：整个图形表示2496． 【点评】解答此题的关键是明白涂色部分占整个图形的． 2．小明用小棒搭房子．搭2间用9根，搭3间用13根．照这样计算，如果搭10间房子，需要用多少根小棒？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据搭成的房子间数，和所用小棒的根数，发现规律：搭n间房需要：[5+（n﹣1）×4]＝（4n+1）根小棒． 【解答】解：根据图示， 2间房：5+4＝9（根） 3间房：5+4+4＝13（根） …… 10间房：5+4×（10﹣1）＝41（根） 答：搭10间房子，需要用41根小棒． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 3．观察如图，回答问题。 （1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？ （2）摆第n个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。 【答案】（1）13，（2）2n+1。 【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3+2根小棒，第三个图形需3+2×2根小棒；第四个图形需3+2×3根小棒……（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。 【解答】解：（1）3+2×5 ＝3+10 ＝13（根） 答：第6个图形需要6根小棒。 （2）3+2×（n﹣1） ＝3+2n﹣2 ＝2n+1 答：摆第n个图形需要2n+1根小棒。 【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。 4．一张桌子可以坐6个人，两张桌子拼起来可以坐10个人，那么9张桌子像这样拼起来可以坐多少人？ 【答案】38。 【分析】由一张桌子坐6人，两张桌子坐10人，三张桌子坐14人，可以发现每多一张桌子多4个人，由此用字母表示这一规律，然后代值计算。 【解答】解：1张桌子可坐2×1+4＝6（人） 2张桌子拼在一起可坐2×4+2＝10（人） 3张桌子拼在一起可坐4×3+2＝14（人） … 所以五张桌子坐4×5+2＝22（人） … 那么n张桌子坐（4n+2）人 当n＝9时， 4×9+2 ＝36+2 ＝38（人） 答：这样共9张桌子拼起来可以坐38人。 【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律，利用规律解决问题。 5．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：1+2＝3； 第2行：4+5+6＝7+8； 第3行：9+10+11+12＝13+14+15； 第4行：16+17+18+19+20＝21+22+23+24； 第n行：…… （1）观察每行的第1个数，我发现：第n行的第1个数正好是 　行数的平方　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 【答案】（1）行数的平方； （2）25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35； （3）273。 【分析】（1）根据题意，找出每行的第1个数与行数之间的关系可知，第n行的第1个数正好是行数的平方； （2）根据第n行的第1个数正好是行数的平方可知，第5行的第1个数是25。看算式找规律可知，等式的左边加数的个数是n+1而且是数字依次加1，等式的右边加数的个数是n，数字依次加1。等式右边开始的数字是等式左边最后一个数字加1。 （3）根据等式的规律可知，第6行等式左边的数是36+37+38+39+40+41+42，据此解答。 【解答】解：（1）第n行的第1个数正好是行数的平方； （2）第5行的等式是：25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35； （3）6×6＝36 36+37+38+39+40+41+42 ＝36×7+（1+2+3+4+5+6） ＝252+7×6÷2 ＝252+21 ＝273 故答案为：行数的平方；25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35。 【点评】此题考查了算式的规律。要求学生熟练掌握并灵活运用。 6．观察点阵图形，找出规律． （1）第8个图形中有多少个点？ （2）第n个图形中有多少个点？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）观察图形可得：第一幅图中有1个点；第二幅图中有1+2＝3个点；第三幅图中有1+2+3＝6个点，可以写成（32+3）；第四幅图中有1+2+3+4＝10个点，可以写成（42+4）由此可得第8个图形中的点数为：1+2+3+…+8（82+8）＝36个点． （2）结合（1）分析发现规律：第n个图形中有1+2+3+…+n（n2+n）个点． 【解答】解：（1）根据题干分析可得： 第8个图形中的点数为： 1+2+3+…+8 （82+8） ＝36（个）． 答：第8个图形中有36个点． （2）结合（1）分析发现： 第n个图形中的点数为：1+2+3+…+n（n2+n） 答：第n个图形中有（n2+n）个点． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力．解决此类问题的关键是：根据题干中的图形找出事物排列的一般规律． 7．某校排练体操，一圈套一圈地围成若干圈，从外向内人数依次减少4．如果围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人，参加排练的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】无论是围成8圈 还是围成4圈，总人数是不变的．我们把围成8圈的每层从外到内依次叫做8、7、6、5、4、3、2、1层．围成4圈的从外到内，每层分别叫做D、C、B、A层．“围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人”即8层比D层少20人，因为每层人数依次减少4人，相对应的7层比C层少20人，6层比B层少20人，5层比A层少20人，可以看出8圈的最外边4层一共就比4圈的少了80人，这80人跑哪了？其实就是8圈的最内4层4、3、2、1层的总人数．由此解答． 【解答】解：先求围成8圈时最内4层的人数： 1层+2层+3层+4层＝80（人） 再求外4层的人数： 那么5层+6层+7层+8层＝80+16×4＝144（人） 求总人数： 80+144＝224（人） 答：参加排练的有224人． 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4． 8．先观察、分析下面各组小正方体的摆放情况，再填写表格．（每个小正方体的棱长都是1cm） 层数 1 2 3 4 5 …… 小正方体的个数 1 3 6 10 …… 图形的表面积/cm2 6 14 24 36 …… 图形的体积/cm3 1 3 6 10 …… 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）从上往下数出小正方体的个数，相加即可求解； （2）观察发现，每个小正方体的面积都是1×1＝1平方厘米， 第1个图形时，表面积是6×1个面的面积； 第2个图形时，小正方体有6×（1+2）＝3个，而图形中的表面积＝6×3﹣4×1＝14个面的面积； 第3个图形时，小正方体有6×（1+2+3）个，而图形中的表面积＝6×6﹣4×（1+2）＝24个面的面积； 第4个图形时，小正方体有6×（1+2+3+4）个，而图形中的表面积＝6×10﹣4×（1+2+3）＝36个面的面积； 第5个图形时，小正方体有6×（1+2+3+4+5）个，而图形中的表面积＝6×15﹣4×（1+2+3+4）＝50个面的面积； （3）从上往下数出小正方体的个数，相加即可求解，观察发现，第5个图形时，体积＝1+2+3+4+5＝15个小正方体的体积． 【解答】解： 层数 1 2 3 4 5 …… 小正方体的个数 1 3 6 10 15 …… 图形的表面积/cm2 6 14 24 36 50 …… 图形的体积/cm3 1 3 6 10 15 …… 【点评】本题主要考查不规则立体图形的表面积，找出规律是解答本题的关键． 9．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接． （1）若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐　18　人；若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐　34　人． （2）若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形发现：一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，多一个长方形餐桌，多用4个人，则第n张餐桌，需要可坐（2+4n）人． 【解答】解：根据分析可得， 第n张餐桌，需要可坐（2+4n）人． （1）2+4×4＝18（人） 2+4×8＝34（人） 答：若把4张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐 18人．若把8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐34人． （2）2+4n＝90 4n＝88 n＝22 答：若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要22张． 故答案为：18，34． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 10．观察如图围棋的摆法再填一填 （1）在如图画出第5次的摆法 （2）摆第10次时，一共需要　100　枚棋子． （3）摆第8次时，黑棋子一共有　36　枚，白棋子一共有　28　枚． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据图示，发现这组图形的规律：第1次白棋子枚数：1枚，第2次白棋子1枚，黑棋子3枚，一共：1+3＝4（枚）；第3次白棋子1+5＝6（枚），黑棋子3枚，一共：1+3+5＝9（枚）；第4 次白棋子1+5＝6（枚），黑棋子3+7＝10（枚），一共：1+3+5+7＝16（枚）．根据规律摆棋子即可． （2）第10次棋子个数即前10个奇数的和，根据求和公式S＝n（n+1）÷2计算即可． （3）第8次黑棋子的个数即为：3+7+11+15＝36（枚）；白棋子的枚数：1+5+9+13＝28（枚）． 【解答】解：（1）第五次摆法如图： （2）1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 ＝（1+19）×10÷2 ＝20×10÷2 ＝100（枚） 答：摆第10次时，一共需要 100枚棋子． （3）3+7+11+15＝36（枚） 1+5+9+13＝28（枚） 答：摆第8次时，黑棋子一共有 36枚，白棋子一共有 28枚． 故答案为：100；36；28． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图形的规律，并运用规律做题． 11．自学下面这段材料，然后回答问题。 我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多， 例如：2+2＝2×2。但是在分数中，这种现象却很普遍。 请观察下面的几个例子： 因为：4，4，所以。 因为：5，5，所以。 根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的 　分子　相同，并且 　两个分母的和等于分子　，那么这两个分数的和等于它们的积。 例如：　　+　　＝　　×　　。 【答案】分子；两个分母的和等于分子；；；；。 【分析】（1）根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个分数的和等于它们的积。 （2）根据找出的规律，写出符合规律的算式即可。 【解答】解：（1）根据以上结果，我们发现了这样一个规律，两个分数，如果分子相同，并且两个分母的和等于分子，那么这两个分数的和等于它们的积。 （2）根据规律写出算式为：。 故答案为：分子；两个分母的和等于分子；；；；。 【点评】解决本题的关键是根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个数的和等于它们的积，再利用规律写算式即可。 12．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10、……这样的数称为“三角形数”，把1、4、9、16、……这样的数称为“正方形数”。从图中可以发现：任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个“三角形数”之和。 （1）根据前面三组图的规律，画出第四组图形。 4＝1+3 9＝3+6 16＝6+10 　25＝10+15　 （2）把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝　45+55　。 【答案】（1）如图： 25＝10+15； （2）45+55。 【分析】题目中“三角形数”的规律为1、3、6、10、15、21…… “正方形数”的规律为1、4、9、16、25…… 规律：n2＝（1+2+3+……+n﹣1）+（1+2+3+……+n）；据此解答即可。 【解答】解：（1）如图： 25＝10+15 （2）100＝102＝（1+2+3+……+9）+（1+2+3+……+9+10） 第二个“三角形数”：1+2+3+……+10 ＝（1+10）×10÷2 ＝55 第一个“三角形数”：100﹣55＝45 则把“正方形数”100写成两个相邻的“三角形数”之和是：100＝45+55。 故答案为：25＝10+15，45+55。 【点评】本题考查了数形结合问题。发现“正方形数”和“三角形数”的关系是解题的关键。 13．海豹是生活在海洋中的哺乳动物，它们一般靠肺呼吸，所以必须经常不断地浮到海面呼吸空气。一只海豹6时开始从海底经过9分钟慢慢浮到海面，然后浮出海面呼吸2分钟，最后再经过9分钟回到海底，这样有规律地进行这个过程。7时整海豹会在什么位置？（请你用喜欢的方式表示出你的思考过程和结果） 【答案】海底。 【分析】根据题意，6时到7时是1小时，为60分钟；海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟），据此计算解答即可。 【解答】解：6时到7时是1小时，为60分钟； 海豹完成一次从海底到海面再回到海底的过程是需要9+2+9＝20（分钟）； 60÷20＝3（次）， 即60分钟的时间，海豹正好可以完成3次海底到海面再回到海底的过程；7时整，海豹刚好回到海底。 故答案为：海底。 【点评】本题考查规律探究问题，根据整个过程所用时间计算即可。 14．（如图所示）用小棒按下图摆六边形：摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，… ①像这样摆下去，摆m个六边形一共需要多少根小棒？（请用含有字母m的式子表示） ②当m＝10时，用第①题的式子计算摆10个六边形一共需要多少根小棒？ 【答案】①（5m+1）根； ②51根。 【分析】①摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，……，摆m个六边形需要小棒：（5m+1）根。 ②把m＝10时，代入①中的公式，计算即可。 【解答】解：①摆1个六边形需要5+1＝6根小棒 摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒 摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒 …… 摆m个六边形需要小棒：（5m+1）根 答：摆m个六边形一共需要（5m+1）根小棒。 ②当m＝10时， 5×10+1 ＝50+1 ＝51（根） 答：摆10个六边形一共需要51根小棒。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 15．把一些同样大小的圆柱形物体分别捆成如图（从底面方向看）的形状，图中每个圆的直径都为3厘米。 （1）像这样继续捆下去，第④组至少需要 　57.42　cm的绳子。请说明理由。 （2）按照这样的方法继续捆下去，捆n组至少需要 　（9.42+12n）　cm的绳子。 【答案】57.42，（9.42+12n）。 【分析】（1）通过观察可以发现：第①组绳子的长度等于一个圆的周长加4条直径的长度；第②组绳子长度等于一个圆的周长加8条直径的长度；第③组绳子长度等于一个圆的周长加12条直径的长度；第④组绳子长度等于一个圆的周长加16条直径的长度。 （2）第n组绳子长度等于一个圆的周长加4n条直径的长度。 【解答】解：（1）3×3.14+3×16 ＝9.42+48 ＝57.42（厘米） 答：第4组至少需要57.42厘米。 （2）3×3.14+3×4n ＝9.42+12n 答：捆n组至少需要（9.42+12n）cm的绳子。 故答案为：57.42，（9.42+12n）。 【点评】解答此题的关键是弄清每一组中的绳子长度是由一个圆的周长加几个直径组成。直径的数量结合图形数一数可得出。 16．丽丽和文文用同样长的小棒摆图形，他们各用了多少根小棒？ 【答案】丽丽用了12根小棒，文文用了9根小棒。 【分析】通过观察图片可知，丽丽用小棒拼成了三个正方形，文文拼成了三个三角形，通过观察图形有几条边，依次来计算小棒的个数。 【解答】解：丽丽：3×4＝12（根） 文文：3×3＝9（根） 答：丽丽用了12根小棒，文文用了9根小棒。 【点评】本题通过观察图片，寻找数与形结合的规律。 17．按如图中的方式摆放三角形积木，如果最下层放21块，那么共需放几层？ 【答案】11. 【分析】根据图示可知：1层最下层有1块；2层最下层有3块；3层最下层有5块；……最下层有21块，层数为：（21+1）÷2＝11（层）。据此解答。 【解答】解：根据分析，最下层放21块，层数为： （21+1）÷2 ＝22÷2 ＝11（层） 答：一共需要放11层. 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力. 18．附加题． （1）m＝　5n+1　． （2）用2016根火柴棒能搭成多少个六边形？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据图示中的规律：摆1个六边形用火柴棒：5×1+1＝6（根）；摆2个六边形用火柴棒：5×2+1＝11（根）；摆3个六边形用火柴棒：5×3+1＝16（根）；……摆m个六边形需要（5n+1）根火柴棒；（2）设2016根火柴能搭n个六边形，5n+1＝2016，n＝403． 【解答】解：（1）根据图示中的规律： 摆1个六边形用火柴棒： 5×1+1 ＝5+1 ＝6（根） 摆2个六边形用火柴棒： 5×2+1 ＝10+1 ＝11（根） 摆3个六边形用火柴棒： 5×3+1 ＝15+1 ＝16（根） …… 摆m个六边形需要（5n+1）根火柴棒． （2）设2016根火柴能搭n个六边形， 5n+1＝2016 5n＝2015 n＝403 答：用2016根火柴棒能搭成403个六边形． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 19．（1）把3幅画像下面这样钉在墙上，一共要用多少个图钉？ （2）如果一共有5幅画，还是按照（1）的方法钉在墙上，一共要用多少个图钉？ 【答案】8，12。 【分析】（1）钉第一幅图用4个，钉第二幅图用2个，钉第三幅图用2个，把它们的个数相加即可； （2）由（1）知，钉第一幅图用4个，钉剩下的4幅图都是用2个，由此可解。 【解答】解：（1）4+2×2 ＝4+4 ＝8（个） 答：一共要用8个图钉。 （2）4+2×4 ＝4+8 ＝12（个） 答：一共要用12个图钉。 【点评】本题考查了数与形结合的规律，结合图找出规律是解答此类题的关键。 20．如图1，在长方形ABCD中，点E从点A开始，以每秒3厘米的速度沿长方形的边AB、BC、CD匀速移动。随着点E的移动，三角形ADE的面积会不断发生变化。它的面积变化情况如图2所示。 （1）点E从点A开始移动，　3　秒后到达点B。 （2）图2中3秒到8秒表示点E在长方形的边 　BC　上移动。 （3）长方形ABCD的面积是多少？ 【答案】3；BC；135平方厘米。 【分析】（1）通过观察统计图可知，点E从点A开始，3秒钟后到达点B。 （2）统计图中3秒到8秒表示点E在长方形边BC上移动。 （3）根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）点E从点A开始，3秒钟后到达点B。 （2）统计图中3秒到8秒表示点E在长方形边BC上移动。 8﹣3＝5（秒） （3×5）×（3×3） ＝15×9 ＝135（平方厘米） 答：长方形ABCD的面积是135平方厘米。 故答案为：3；BC。 【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 21．用绿、白两种颜色的小方块瓷砖400块贴成一正方向墙面，这个墙面最外层铺的是白色瓷砖．由外到内的第二层是绿色瓷砖，第三层是白色瓷砖，第四层又是绿色…，那么，这个墙面上绿色瓷砖共有多少块？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为正方形墙共用100块小方砖网贴成，设每块小方砖为1个面积单位，则正方形墙的面积为100个面积单位，边长为20个长度单位，每块小方砖的边长为1个长度单位．由题意可知，由外到内，最外层（白方砖）的边长为20个长度单位，第二层（绿方砖）边长为18个长度单位，第三层（白方砖）边长为16个长度单位，第四层（绿方砖）边长为14个长度单位……由此可知，由外到里，绿色方砖的边长分别为18、14、10、6、2．由此即可计算出绿方砖的块数． 【解答】解：由外到内绿方砖是第二层、第四层、第站层……（偶数层） 第二层边长为18个长度单位，方砖块数为：18×2+（18﹣2）×2＝36+32＝68（块） 第四屋边长为14个长度单位，方砖块数为14×2+（14﹣2）×2＝28+24＝52（块） 第六层边长为10个长度单位，方砖块数为10×2+（10﹣2）×2＝20+16＝36（块） 第八层边长为6个长度单位，方砖块数为6×2+（6﹣2）×2＝12+8＝20（块） 第十层（也是最内层）边长是2个长度单位，方砖块数为2×2+（2﹣2）×2＝4+0＝4（块） 68+52+36+20+4＝180（块） 答：这个墙面上绿色瓷砖共有180块． 【点评】此题可通过画图找出每层绿色方砖与层数之间的关系，求出每层绿色方砖的块数，进而求出一共用绿色方砖的块数． 22．五（1）班进行团体操表演，排成下面的队形．如果再增加一些人，但是保持点阵的规律不变，至少增加多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图形可知，这个点阵是个正方形的，每天边上都是3人，若再增加一些人，但是保持点阵的规律不变，则每条边上至少是4人，由此时人数减去原来的人数即可解答问题． 【解答】解：根据题干分析可得：4×4﹣3×3 ＝16﹣9 ＝7（人） 答：至少增加7人． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 23．一张长方形桌子可坐6人，按如图方式将桌子拼在一起。 （1）2张这样的桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子呢？n张桌子呢？ （2）一家饭店有80张这样的长方形桌子，按照如图方式每4张拼成1张大桌子，则80张桌子可拼成20张大桌子，共可坐多少人？ 【答案】（1）8人，10人，（2n+4）人； （2）240人。 【分析】（1）1张长方形桌子可坐6人，2张长方形桌子可坐（6+2）人，3张长方形桌子可坐（6+2+2）人，n张长方形桌子可坐[6+2×（n﹣1）]人，由此解答本题； （2）先计算1张大桌子可坐多少人，然后计算20张大桌子，共可坐多少人。 【解答】解：（1）2张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2＝8（人） 3张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2+2＝10（人） n张这样的桌子拼在一起可坐人数：6+2×（n﹣1） ＝6+2n﹣2 ＝（2n+4）人 答：2张这样的桌子拼在一起可坐8人，3张桌子可坐10人，n张桌子可坐（2n+4）人。 （2）1张大桌子可坐人数：2×4+4 ＝8+4 ＝12（人） 12×20＝240（人） 答：共可坐240人。 【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 24．如图，同学们搬一套桌椅，1个同学可搬2把椅子，2个同学可抬1张桌子。 （1）搬一套桌椅要几人？ （2）一次搬3套桌椅需要多少人？ （3）25人同时搬，一次可以搬多少套桌椅？ 【答案】（1）3人；（2）9人；（3）8套。 【分析】（1）利用搬一张桌子的人数和一把椅子的人数相加即可； （2）利用一套桌椅的人数乘套数即可； （3）利用总人数除以每套桌椅需要的人数即可。 【解答】解：（1）2+1＝3（人） 答：搬一套桌椅要3人。 （2）3×3＝9（人） 答：搬3套桌椅需要9人。 （3）25÷（2+1） ＝25÷3 ＝8（套）……1（人） 答：25人同时搬，一次可以搬8套桌椅。 【点评】本题考查了乘除法的应用。 25．某地举行庆丰收长桌宴，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，参加宴会的共有402人，需要并多少张桌子？ 【答案】100张。 【分析】根据题意发现：一张桌子坐6人，每多1张桌子就多坐4人，则拼n张桌子，能坐（4n+2）个人；据此逆推即可。 【解答】解：（402﹣2）÷4 ＝400÷4 ＝100（张） 答：需要并100张桌子。 【点评】本题考查了图形的变化类题目，认真观察、分析和归纳总结是解决此题的关键。 26．学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行最多能坐6人，如图． （1）将下表填写完整． 拼成一行的方桌数 1 2 3 4 5 6 …… 最多能坐的人数 4 6 …… （2）10张方桌拼成一行最多能坐多少人？ （3）n（n≥1，且n为整数）张方桌拼成一行最多能坐多少人？（用含有n的式子表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据题意一张方桌坐4人，每多一张方桌就多两个人，2张方桌拼成一行最多能坐6人，即6＝2×2+2，据此解答即可即可； （2）结合（1）即可得10张方桌拼成一行最多能坐的人数； （3）结合（1）和（2）即可得n张方桌坐的人数． 【解答】解：（1）根据分析可知： 3张方桌拼成一行最多能坐2×3+2＝8（人）， 4张方桌拼成一行最多能坐2×4+2＝10（人）， 5张方桌拼成一行最多能坐2×5+2＝12（人）， 6张方桌拼成一行最多能坐2×6+2＝14（人）， … 所以可以将下表填写完整． 拼成一行的方桌数 1 2 3 4 5 6 …… 最多能坐的人数 4 6 8 10 12 14 …… （2）根据（1）中表格数据可知： 10×2+2＝22（人） 答：10张方桌拼成一行最多能坐22人． （3）根据（1）、（2）可知： n（n≥1，且n为整数）张方桌拼成一行最多能坐（2n+2）人． 故答案为：8，10，12，14． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，根据题意，分析规律，准确列出代数式． 27．一张桌子坐4人，两张桌子并起来坐6人，三张桌子并起来坐8人，…照这样计算，10张桌子并成一排可坐多少人？如果一共有26人，需要并多少张桌子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题． 【解答】解：（1）n＝1时，可坐4人，可以写成2×1+2 n＝2时，可坐6人，可以写成2×2+2 n＝3时，可坐8人，可以写成2×3＝2 … 所以当n＝10时，可坐2×10+2＝22人 答：10张桌子并成一排可坐22人． （2）2n+2＝26 2n＝24 n＝12 答：如果有26人，需要12张桌子． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 28．一张桌子可以坐6人，两张桌子拼起来可以坐10人，三张桌子拼起来可以坐14人．像这样共几张桌子拼起来可以坐50人． 【答案】见试题解答内容 【分析】由一张桌子坐6人，两张桌子坐10人，三张桌子坐14人，可以发现每多一张桌子多4个人，由此用字母表示这一规律，然后代值计算． 【解答】解：1张桌子可坐2×1+4＝6人， 2张桌子拼在一起可坐2×4+2＝10人， 3张桌子拼在一起可坐4×3+2＝14人， … 所以五张桌子坐4×5+2＝22人， … 那么n张桌子坐（4n+2）人． 当共有50人时， 4n+2＝50 4n＝48 n＝12 答：这样共12张桌子拼起来可以坐50人． 【点评】此题考查图形的变化规律，找出规律，利用规律解决问题． 29．海边灯塔上的一盏照明灯以固定的规律发出亮光。如图表示前14秒灯光明暗变化的情况，第1、2秒是亮的，第3秒是暗的。 （1）几秒后亮灯的情况开始和前面重复？照明灯发光的规律是什么？ （2）第40秒照明灯是亮的还是暗的？ 【答案】第6秒后亮灯的情况开始和前面重复；规律都是2亮、1暗、1亮、2暗；第40秒是暗的。 【分析】（1）因为照明灯的变化规律是：2亮、1暗、1亮、2暗，所以第6秒后亮灯的情况开始和前面重复； （2）根据5秒一个循环，即可求出第40秒照明灯是亮的还是暗的； 【解答】解：（1）第6秒后亮灯的情况开始和前面重复，都是2亮、1暗、1亮、2暗； （2）40÷6＝6（组）......4（秒），所以与第4盏灯一样，是暗的； 故答案为：第6秒后亮灯的情况开始和前面重复；规律都是2亮、1暗、1亮、2暗；第40秒是暗的。 【点评】本题考查了数与形结合的规律，本题关键是对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解。 30．一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起． （1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子拼在一起可坐多少人？ （2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ （3）若在（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐多少人？ 【答案】（1）8，10；（2）112；（3）100． 【分析】（1）根据图示2张桌子拼一起，可以坐：6+2＝8（人），3张桌子拼一起，可以坐：6+2+2＝10（人）． （2）先根据（1）的规律，计算5张桌子拼一起，可以坐的人数：6+2+2+2+2＝14（人），再计算40张桌子可以拼成几个大桌子，然后乘14，计算可坐人数． （3）根据规律计算8张桌子拼一起，可以坐的人数：6+2+2+2+……+2＝6+2×（8﹣1）＝20（人），然后计算40张桌子可以拼成几个大桌子，乘20就是一共可坐的人数． 【解答】解：（1）6+2＝8（人） 6+2+2＝10（人） 答：2张桌子拼在一起可坐8人；3张桌子拼在一起可坐10人． （2）6+2+2+2+2＝14（人） 8×14＝112（人） 答：共可坐112人． （3）6+2+2+2+2+2+2+2 ＝6+2×（8﹣1） ＝6+14 ＝20（人） 40÷8×20 5×20 ＝100（人） 答：改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐100人． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 31．如图所示，用“十字”分割正方形。分割一次，分成了4个正方形，分割两次，分成了7个正方形。 （1）如果连续用“十字”分割4次，分成了 　13　个正方形。 （2）如果连续用“十字”分割n次，会分成 　（3n+1）　个正方形。 （3）如果分成346个正方形。需要用“十字”分割 　115　次。 【答案】（1）13；（2）（3n+1）；（3）115。 【分析】分割1次，分成了4个正方形，分割2次，分成了（4+3）个正方形，分割3次，分成了（4+3+3）个正方形，分割n次，分成了[4+3×（n﹣1）]个正方形，结合题意去解答即可。 【解答】解：（1）分割3次，分成的正方形的个数：4+3×（4﹣1） ＝4+9 ＝13（个） （2）分割n次，分成的正方形个数：4+3×（n﹣1） ＝4+3n﹣3 ＝（3n+1）个 （3）3n+1＝346，则n＝115，所以需要分割115次。 故答案为：（1）13；（2）（3n+1）；（3）115。 【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 32．一张长方形餐桌可以坐6人，两张同样大小的餐桌拼在一起可以坐10人，像这样拼下去，6张这样的餐桌可以坐多少人？（先画示意图，再列式计算） 【答案】；26。 【分析】根据题意可知：一张长方形餐桌可以坐6人；2张长方形餐桌拼一起可以坐6+4＝10（人）；3张长方形餐桌拼一起可以坐6+4+4＝14（人）；……；n张餐桌拼一起可坐：6+4（n﹣1）＝（4n+2）人。据此作图并解答即可。 【解答】解：如图： 一张长方形餐桌可以坐6人 2张长方形餐桌拼一起可以坐6+4＝10（人） 3张长方形餐桌拼一起可以坐6+4+4＝14（人） …… n张餐桌拼一起可坐：6+4（n﹣1）＝（4n+2）人 …… 6张桌子可坐人数： 4×6+2 ＝24+2 ＝26（人） 答：6张这样的餐桌可以坐26人。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 33．我们在初中的数学学习中将会经常用到后面的这个公式：a2﹣b2＝（a+b）×（a﹣b），这个公式我们称为平方差公式，请你利用这个公式，解决下面这个数学问题。如图所示，边长分别为1、2、3、4、…、2013、2014的正方形叠放在一起，则图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】2029105。 【分析】根据所给图示可知，该阴影部分的面积为：（20142﹣20132）+（20122﹣20112）+……+（42﹣32）+（22﹣12）。利用平方差公式计算即可。 【解答】解：（20142﹣20132）+（20122﹣20112）+……+（42﹣32）+（22﹣12） ＝（2014+2013）（2014﹣2013）+（2012+2011）（2012﹣2011）+……+（4+3）（4﹣3）+（2+1）（2﹣1） ＝2014+2013+2012+2011+……+4+3+2+1 ＝1007×2015 ＝2029105 答：阴影部分的面积是2029105。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和应用公式解决问题的能力。 34．1张桌子坐8人，2张桌子并起来坐12人，3张桌子并起来坐16人… （1）照这样，15张桌子并起来可以坐多少人？ （2）如果一共有40人，需要并多少张桌子才能坐下？ 【答案】（1）64；（2）9． 【分析】根据图示，1张桌子可坐：8，2张桌子并起来可坐：8+4＝12（人）；3张桌子并起来可坐：8+4+4＝16（人）；……；n张桌子并起来可坐：8+4（n﹣1）＝（4n+4）人． （1）15张桌子并起来，可坐人数：4×15+4＝64（人）． （2）4n+4＝40，则n＝9． 【解答】解：1张桌子可坐：8人 2张桌子并起来可坐：8+4＝12（人） 3张桌子并起来可坐：8+4+4＝16（人） …… n张桌子并起来可坐：8+4（n﹣1）＝（4n+4）人 （1）15张桌子并起来，可坐人数： 4×15+4 ＝60+4 ＝64（人） 答：15张桌子并起来可以坐64人． （2）4n+4＝40 4n＝36 n＝9 答：一共有40人，需要并9张桌子才能坐下． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 35．仔细观察如图与算式的规律，并填空。 （1）（n+1）2﹣n2＝　2n+1　 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝　45　 【答案】2n+1；45。 【分析】根据仔细观察如图与算式的规律，可知（n+1）2﹣n2＝2n+1；利用发现的规律，102﹣92+82﹣72+62﹣52＝（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52），然后结合规律解答即可。 【解答】解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1。 （2）利用发现的规律计算： 102﹣92+82﹣72+62﹣52 ＝（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52） ＝10+9+8+7+6+5 ＝45 答：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1。 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝45。 故答案为：2n+1；45。 【点评】本题考查了算式的规律，首先仔细观察如图与算式，找出规律，然后结合题意分析解答即可。 36．如图，如果涂色的部分表示318，那么整个图形表示多少？ 【答案】1908。 【分析】此图可看成被平均分成的6份，然后涂色的部分为其中的1份，因此用涂色部分表示的数乘6即可，依此解答。 【解答】解： 3×2＝6 318×6＝1908 答：整个图形表示1908。 【点评】明确阴影部分面积与整个图形面积之间的关系是解决本题关键。 37．用一根长96cm的绳子在地上摆正方形．当这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是多少厘米？顶点有几个？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示，发现这组图形的规律：第一个图形：正方形个数：1个，顶点个数：4个，边长：96÷4＝24（厘米）；第二个图形：正方形个数：2个，顶点个数：4+3＝7（个），边长：96÷（4×2）＝12（厘米）；第三个图形，正方形个数：3个，顶点个数：4+3+3＝10（个），边长：96÷（4×3）＝8（厘米）；……第n个图形正方形个数：n个，顶点个数：4+3（n﹣1）＝（3n+1）个，边长：（96÷4n）厘米．据此解答． 【解答】解：第一个图形：正方形个数：1个，顶点个数：4个，边长：96÷4＝24（厘米） 第二个图形：正方形个数：2个，顶点个数：4+3＝7（个），边长：96÷（4×2）＝12（厘米） 第三个图形，正方形个数：3个，顶点个数：4+3+3＝10（个），边长：96÷（4×3）＝8（厘米） …… 第n个图形正方形个数：n个，顶点个数：4+3（n﹣1）＝（3n+1）个，边长：（96÷4n）厘米 由规律可知： 第48个图形的正方形个数为48个， 顶点个数为： 3×48+1 ＝144+1 ＝145（个） 边长： 96÷（4×48） ＝96÷192 ＝0.5（厘米） 答：这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是0.5厘米，顶点有145个． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形，发现其规律，并运用规律做题． 38．按下面的方式摆桌子和椅子，一张桌子可以坐4人，两张桌子可以坐6人…… （1）照这种方式摆下去，10张桌子可以坐多少人？ （2）n张桌子可以坐多少人？ （3）坐60人需要多少张桌子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察摆放的桌子，不难发现：在1张桌子坐4人的基础上，多1张桌子，多2人．由此规律即可解决问题． 【解答】解：（1）n＝1时，可坐4人，可以写成2×1+2； n＝2时，可坐6人，可以写成2×2+2； n＝3时，可坐8人，可以写成2×3+2； …； 所以当n＝10时，可坐2×10+2＝22（人） 答：10张桌子可以坐22人； （2）根据（1）发现规律： n张桌子可坐（2n+2）人． 答：n张桌子可以坐（2n+2）人； （3）2n+2＝60 n＝29（张）， 答：坐60人需要29张桌子． 【点评】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 39．如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 【答案】（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置； （2）不存在。 【分析】（1）当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置，由此解答本题； （2）依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，由此解答本题。 【解答】解：（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置。 （2）不存在这样的数，依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，数不到7。 【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 40．快乐提升： 如图，摆一个三角形用3根小棒，增加2根，可以摆出一个平行四边形，继续增加2根，摆出一个梯形，照这样摆下去，21根小棒能摆出一个什么样的图形？51根呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示可知：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒：3+2＝5（根）；摆3个三角形需要小棒：3+2+2＝7（根）；……摆n个三角形需要小棒：3+2（n﹣1）＝（2n﹣1）根．根据规律计算21、51根小棒可以摆几个三角形，进而判断其形状． 【解答】解：摆1个三角形需要小棒：3根 摆2个三角形需要小棒：3+2＝5（根） 摆3个三角形需要小棒：3+2+2＝7（根） …… 摆n个三角形需要小棒：3+2（n﹣1）＝（2n﹣1）根 由图形可以知道：奇数个（1除外）三角形可以摆成梯形，偶数个三角形可以摆成平行四边形． 21根小棒摆三角形的个数： 2n﹣1＝21 2n＝22 n＝11 11为奇数 51根小棒摆成三角形的个数： 2m﹣1＝51 2m＝52 m＝26 26为偶数 答：21根小棒可以摆成梯形；51根小棒可以摆成平行四边形． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现其规律，并运用规律做题． 41．小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，任一盒子中不止两颗珠子，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】15个盒子中的珠子从左到右是一个项数为15的等差数列，其中第8个盒子中的珠子数为中间项，根据等差数列的意义，与中间项相邻的左、右两项之和等于中间项，与中间项相隔1项的左、右两项之和也等于中间项……因此，这15项之和就是等于中间项乘中间项数． 【解答】解：24×15＝360（颗） 答：这15个盒子中一共有360颗珠子． 【点评】解答此题的关键是明白：与中间项相邻的左、右两项之和等于中间项，与中间项相隔1项的左、右两项之和也等于中间项…… 42．已知摆1个三角形需要3根小棒，摆2个三角形需要5根小棒，摆3个三角形需要7根……按照这样的规律，摆15个三角形需要多少根小棒？用79根小棒可以摆多少个三角形？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意得到摆1个三角形所需火柴棍的根数是3，2个三角形所需火柴棍的根数是5＝3+2×1，3个三角形所需火柴棍的根数是7＝3+2×2，…，于是得到摆15个三角形所需火柴棍的根数＝3+2×14＝31，进而可得摆n个三角形所需火柴棍的根数是3+2（n﹣1）＝2n+1，n为正整数，据此解答． 【解答】解：（1）3+2×14 ＝3+28 ＝31（根）； （2）由分析可知： 摆n个三角形所需火柴棍的根数是（2n+1），n为正整数， 2n+1＝79 2n＝78 n＝39 答：摆15个三角形需要31根小棒；用79根小棒可以摆39个三角形． 【点评】本题考查了数与形结合的规律，解决本题先由已知条件找到一般规律，再根据规律求解． 学科网（北京）股份有限公司 $$