精品解析：辽宁省沈阳市第十二中学、南昌初级中学等校2022-2023学年九年级上学期期中数学试题

2022-2023学年度上学期九年期中测试数学试卷 注意事项： 1．考生务必将学校、班级、姓名写在答题卡相应位置上． 2．考生应把试题答案写在答题卡上对应题目处；写在试卷上无效． 3．选择题，需用2B铅笔涂黑在答题卡对应的选项中． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其前面的字母符号填涂在答题卡的指定位置上． 1. 若一元二次方程有一个根为1，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 4. 两个相似三角形面积之比为，其中较小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ） A. 16 B. 8 C. 2 D. 1 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是菱形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 当时， D. 当时，随着的增大而增大 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 8. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 9. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ） A. 22 B. 24 C. 48 D. 44 10. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（ ） A. 2 B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共100分） 二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则__________． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为________． 13. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个． 14. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为______m． 15. 如图，菱形ABCD中，，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF度数为_____度. 16. 如图，矩形中，，点E是BC的中点，点F在上，，P是矩形边上一动点．若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，的长为__________． 三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17. 解方程： 18 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：求代数式的最小值．解答过程如下： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最小值，1 （1）仿照上述方法，求代数式的最小值； （2）有最______（直接填“大”或“小”）值，是_______（直接填空）． 19. “垃圾分类”进校园，某中学要求将垃圾按A、B、C、D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到如图所示的垃圾桶．请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同一类的概率． 四、（每小题8分，共16分） 20. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米． （1）在计算过程中C、D之间的距离应是______米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 21. 如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为． （1）填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； （2）当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？ 五、（本题10分） 22. 如图，矩形中，，E为边上一动点（不与端点重合），连接并延长，交延长线于点F，延长至点G，使，分别连接，． （1）当时 ①求证：； ②直接写出此时四边形是哪种特殊的四边形； （2）在点E运动过程中，若和相似，直接写出此时线段的长． 六、（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，， （1）求k的值； （2）直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值． 七、（本题12分） 24. 已知，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针旋转，得到△（点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）当旋转到图①位置时，求的值； （2）当点在射线上时，如图②所示，直接写出线段的长； （3）设直线，与直线相交于点， ①当点与点重合时，直接写出线段的长； ②当时，直接写出线段的长． 八、（本题12分） 25. 如图①，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，与交于点E．点F是点A右侧x轴上一动点，过点F作轴，交于点M，交于点N，设点F得横坐标为a． （1）求点E的坐标； （2）当时，求a的值； （3）如图②，点P在线段MN上，点Q在线段上，，点G在线段上，连接、，且． ①直接写出点G的坐标（用含a的代数式表示） ②若点E关于x轴的对称点为点K，连接、，当，且时，直接写出点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022-2023学年度上学期九年期中测试数学试卷 注意事项： 1．考生务必将学校、班级、姓名写在答题卡相应位置上． 2．考生应把试题答案写在答题卡上对应题目处；写在试卷上无效． 3．选择题，需用2B铅笔涂黑在答题卡对应的选项中． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本题10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将其前面的字母符号填涂在答题卡的指定位置上． 1. 若一元二次方程有一个根为1，则下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入方程即可得出答案． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，熟记一元二次方程的根的定义（使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根）是解题关键． 2. 在下列几何体中，主视图、左视图与俯视图都是相同的圆，该几何体是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．根据概念判断即可． 【详解】解：A、球的主视图、左视图、俯视图都是圆形；故本选项正确； B、圆柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是圆形；故本选项错误； C、六棱柱的主视图是长方形、左视图是长方形、俯视图是正六边形；故本选项错误； D、圆锥的主视图是三角形、左视图三角形、俯视图是圆形；故本选项错误； 故选A． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用直接开平方法，求出一元二次方程x2-4=0的根是多少即可． 【详解】解：∵x2-4=0， ∴x2=4， ∴x=±=±2， ∴一元二次方程x2-4=0的根是x=±2． 故选B． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握直接开方法解方程． 4. 两个相似三角形的面积之比为，其中较小三角形的周长为4，则另一个三角形的周长为（ ） A. 16 B. 8 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，小、大三角形的相似比为，设另一个三角形的周长为x， 则4：x=1：2， 解得：x=8 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 四个角都相等的四边形是菱形 B. 四条边都相等的四边形是正方形 C. 平行四边形、菱形、矩形都既是轴对称图形，又是中心对称图形 D. 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质一一判断即可 【详解】解：A、若四个角都相等，则这四个角都为直角，有三个角是直角的四边形是矩形，故A选项为假命题，不符合题意； B、四条边都相等的四边形是菱形，故B选项为假命题，不符合题意； C、平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形，菱形和矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项为假命题，不符合题意； D、顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形，故D选项为真命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的真假判断以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定和性质等知识，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象经过点 B. 图象在第一、三象限 C. 当时， D. 当时，随着的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的性质，当时，函数图象在第一、三象限，在每个象限内，的值随的值的增大而减小．根据反比例函数的性质，逐一判断后即可求解． 【详解】解：A、，，图象经过点，结论正确，本选项不符合题意； B、，图象在第一、三象限，结论正确，本选项不符合题意； C、，图象在第一象限内随的增大而减小， 当时，，结论正确，本选项不符合题意； D、应为当时，随着的增大而减小，原结论错误，本选项符合题意． 故选：D． 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），则下列结论中正确的是（　　） A. AB2＝AP2+BP2 B. BP2＝AP•BA C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义分别进行判断． 【详解】解：P为AB的黄金分割点（AP＞PB）可得AP2＝AB•PB或． 故选：D． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ACAB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个． 8. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源．木杆 两端的坐标分别为、 ．则木杆 在轴上的投影长为（　　） A. 3 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、中心投影；利用中心投影，延长、分别交轴于，作轴于，交于，如图，证明，然后利用相似比可求出的长． 【详解】解：延长 分别交x轴于 ，作 轴于，交于，如图 ∵ ． ∴，，， ∵ ， ∴， ∴，即 ∴， 故选：C． 9. 在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB＝5，AC＝6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为（ ） A. 22 B. 24 C. 48 D. 44 【答案】B 【解析】 【分析】先判断出四边形ACED是平行四边形，从而得出DE的长度，根据菱形的性质求出BD的长度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，计算出面积即可． 【详解】解： 菱形ABCD， 在Rt△BCO中， 即可得BD=8， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴AC=DE=6， BE=BC+CE=10， ∴△BDE是直角三角形， ∴S△BDE=DE•BD=24． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理的逆定理及三角形的面积，平行四边形的判定与性质，求出BD的长度，判断△BDE是直角三角形，是解答本题的关键． 10. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：连接AF，根据折叠的性知AF=CF，AC⊥EF，OA=OC，由AD=2，CD=4，根据勾股定理可求得AC=，所以OC=，然后根据矩形的性质可得△COF∽△CDA，因此根据相似的性质可得，代入数值可得，可求得OF=，所以EF=2OF=． 故选B． 【点睛】本题考查折叠变换，勾股定理，相似三角形的性质及判定的应用，掌握性质定理正确推理论证是解题关键． 第Ⅱ卷 非选择题（共100分） 二、填空题（本题6小题，每小题3分，共18分） 11. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质，把a，b换元成，再代入所求式子中求解是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴， 故答案为：． 12. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论． 【详解】∵关于x方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：． 故答案：． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 13. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同．每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.7附近，则袋子中红球约有___个． 【答案】7． 【解析】 【分析】根据口袋中有3个白球和若干个红球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可． 【详解】设袋中红球有x个， 根据题意，得：， 解得：x＝7， 经检验：x＝7是分式方程的解， 所以袋中红球有7个， 故答案为7． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，解题关键在于利用红球在总数中所占比例进行求解. 14. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为______m． 【答案】200 【解析】 【分析】根据AB∥CD，得出△OAB∽△OCD，得出，即，求出OF即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴，即， ∴． 故答案为：200． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 15. 如图，菱形ABCD中，，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连接FC，则∠ACF的度数为_____度. 【答案】15． 【解析】 【分析】利用菱形的性质得出∠DCB的度数，再利用等腰三角形的性质得出∠DCF的度数，进而得出答案： 【详解】解：∵菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF=DC， ∴∠BCD=60°，，∠DFC=∠DCF. ∵DF⊥AB于点E，∴∠FDC=90°. ∴∠DFC=∠DCF=45°. ∵菱形ABCD中，∠DCA=∠ACB， ∴∠DCA=∠ACB=30°. ∴∠ACF的度数为：45°-30°=15°． 故答案为： 16. 如图，矩形中，，点E是BC的中点，点F在上，，P是矩形边上一动点．若点P从点F出发，沿的路线运动，当时，的长为__________． 【答案】4或或8 【解析】 【分析】如图，连接，取DF的中点O，连接．以O为圆心画交于．只要证明，即可推出，，解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点O，连接． ∵四边形是矩形， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． ∵O是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴是梯形的中位线， ∴． 以O为圆心的长度为半径，画交于，则经过点A、点D和点F． ∵ ∴， ∴． ∴， ∴， 故答案为：4或或8． 【点睛】本题考查矩形的性质、锐角三角函数、圆周角定理的推论、梯形中位线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 三、解答题（第17小题6分，第18、19小题各8分，共22分） 17. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】原方程移项后运用因式分解法求解即可． 【详解】解： ， 或 ， 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活运用因式分解法是解答本题的关键 18. 我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用． 例如：求代数式的最小值．解答过程如下： 解： ∵ ∴ ∴当时，有最小值，是1 （1）仿照上述方法，求代数式的最小值； （2）有最______（直接填“大”或“小”）值，_______（直接填空）． 【答案】（1）3 （2）大；15 【解析】 【分析】（1）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； （2）利用配方法把原式变形，根据偶次方的非负性解答即可； 【小问1详解】 ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值是3． 【小问2详解】 , ， ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，代数式的最小值是15． 故答案为：大，15． 【点睛】本题主要考查了配方法，非负数的性质，掌握配方法的一般步骤和偶次方的非负性是解题的关键． 19. “垃圾分类”进校园，某中学要求将垃圾按A、B、C、D四类分别装袋投放．其中A类指有害垃圾，B类指厨余垃圾，C类指可回收垃圾，D类指其他垃圾．小明和小亮各有一袋垃圾，需投放到如图所示的垃圾桶．请用列表或画树状图的方法，求小明与小亮投放的垃圾是同一类的概率． 【答案】 【解析】 【分析】列出所有可能出现的结果，确定符合条件的结果，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：所有可能出现的结果列表如下： 小亮 小明 A B C D A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D） 共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，其中他们投放的垃圾是同一类的结果有4种， ∴P（他们投放的垃圾是同一类）＝＝． 【点睛】本题主要考查了列表法（树状图）求概率，掌握概率公式是解题的关键． 四、（每小题8分，共16分） 20. 某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，如图，他们在旗杆底部所在的平地上放置一个平面镜E来测量学校旗杆的高度，镜子中心E与旗杆的距离米，当镜子中心E与测量者的距离米时，测量者刚好从镜子中看到旗杆顶部的端点A．已知测量者的身高为1.6米，测量者的眼睛距地面的高度为1.5米． （1）在计算过程中C、D之间的距离应是______米； （2）根据以上测量结果，求出学校旗杆的高度． 【答案】（1）1.5 （2）15米 【解析】 【分析】（1）根据测量者的眼睛距地面的高度为1.5米，即可得出C、D之间的距离； （2）证明，根据三角形相似的性质，求出学校旗杆的高度即可． 【小问1详解】 解：∵测量者的眼睛距地面的高度为1.5米， ∴C、D之间的距离为1.5米． 故答案为：1.5． 【小问2详解】 解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度为15米． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，证明． 21. 如图，借助一面墙（最长可利用）围成一个矩形花园，在墙上要预留宽的入口（如图中所示），入口不用砌墙，假设有砌长墙的材料且恰好用完，设的长为． （1）填空：砌段墙时，需______长的砌墙材料（用含x的代数式表示）； （2）当矩形花园的面积为时，墙的长为多少米？ 【答案】（1） （2）米 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）根据题意：砌段墙用料为米． （2）设矩形花园的长为米，则其段墙用料为米，依题意列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意：的长为，因为入口不用砌墙，所以砌段墙用料为米， ∴段墙用料为 故答案为：． 【小问2详解】 由题意：， ， ，， ∵墙最长可利用， ∴， 答：面积为时，墙的长为米． 五、（本题10分） 22. 如图，矩形中，，E为边上一动点（不与端点重合），连接并延长，交的延长线于点F，延长至点G，使，分别连接，． （1）当时 ①求证：； ②直接写出此时四边形是哪种特殊的四边形； （2）在点E运动过程中，若和相似，直接写出此时线段的长． 【答案】（1）①见解析；②菱形 （2）或或 【解析】 【分析】（1）①证明，可得结论；②先证明，再结合，得四边形为平行四边形，由，根据菱形的判定得四边形为菱形； （2）分当，时两种情况讨论，分别利用相似三角形的性质列式，求出此时便可． 【小问1详解】 ①证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴； ②解：四边形为菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：当时， ，即， ∴， 当时， ，即， ∴或， 综上，或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质，菱形的判定，关键是综合应用这些知识解题． 六、（本题10分） 23. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点O在坐标原点，顶点A在y轴上，顶点C在x轴上，反比例函数的图象过边上一点E，与边交于点D，，， （1）求k的值； （2）直线过点D及线段的中点F，点P是直线上一动点，当的值最小时，直接写出这个最小值． 【答案】（1）48 （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是正方形，得到，，在中，由勾股定理求出，则，得到，由待定系数法求得答案； （2）先求出点D坐标为，再求出直线的解析式和直线的解析式，得到，延长交y轴于点G，证明，则，连接交于点P，则,且P、C、G三点共线，此时，根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求，求出即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴或（不符合题意舍去）， ∴， ∴， 将代入得， ∴； 【小问2详解】 解：由 （1）得到反比例函数解析式为， 设D点坐标为，代入得到，， 解得，即点D的坐标为， ∴， 延长交y轴于点G， ∵线段的中点F，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴点D与点G关于直线轴对称， 连接交于点P，连接，则,且P、C、G三点共线，此时， 根据两点之间线段最短，此时取得最小值，最小值是的长度，即点P满足要求， ∵， ∴点， ∵， ∴点， 此时, 即的最小值为． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数和一次函数解析式、相似三角形的判定和性质，勾股定理、轴对称最短路径问题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 七、（本题12分） 24. 已知，在矩形中，，，连接，将绕点顺时针旋转，得到△（点的对应点为，点的对应点为，连接，． （1）当旋转到图①位置时，求的值； （2）当点在射线上时，如图②所示，直接写出线段的长； （3）设直线，与直线相交于点， ①当点与点重合时，直接写出线段的长； ②当时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）由旋转可得△△，再由相似的性质可得； （2）过点作交于，过点作交于点，证明△△，求出，再证明四边形是矩形，再分别求出，，在△中，用勾股定理求出； （3）①先证明点是的中点，求出的长，再由，求出； ②由题意可知、是等边三角形，再证明、、、四点共圆，连接，可得，即可知是的中点，过点作交延长线于点，在中，设，则，，在中，由勾股定理，求出，则，即可求；当点在的下方时，同理可得． 【小问1详解】 由旋转可知，，， △△， ， ，， ， ； 【小问2详解】 过点作交于，过点作交于点， 由旋转可知，△， ，，， ， ，， ， △△， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在△中，； 【小问3详解】 ①由旋转可知，，， 点与点重合， 是的中点，， ， ， ， ， ， ； ②，， 是等边三角形， ， ， ， ， 、、、四点共圆， 连接， ， 是圆的直径， ， ，， ， ， 是等边三角形， 是的中点， ， ， 过点作交延长线于点， 在中，， 设，则，， 在中，，即， 解得或（舍， ， ； 当点在的下方时，同理可得； 综上所述：的长为或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握图形旋转的性质，等边三角形的性质，四点共圆的判定及性质，三角形三角形的判定及性质，勾股定理的应用是解题的关键． 八、（本题12分） 25. 如图①，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，与交于点E．点F是点A右侧x轴上一动点，过点F作轴，交于点M，交于点N，设点F得横坐标为a． （1）求点E的坐标； （2）当时，求a的值； （3）如图②，点P在线段MN上，点Q在线段上，，点G在线段上，连接、，且． ①直接写出点G的坐标（用含a的代数式表示） ②若点E关于x轴的对称点为点K，连接、，当，且时，直接写出点M的坐标． 【答案】（1） （2）5 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）联立方程组，方程组的解即为E点坐标； （2）过E点作轴交于T点，交直线于点S，根据平行线的性质可得，再求a的值即可； （3）①在直线上截取，连接，可得是等腰直角三角形，根据已知条件证明，得到，又由，可知G点是的中点，根据中点坐标公式求出G点坐标即可； ②根据点的坐标求出，再由已知得到，从而求出点，用待定系数法分别求出直线、直线的解析式，由可得方程，求出a的值即可求M点坐标． 【小问1详解】 解：联立方程组， 解得， ； 【小问2详解】 过E点作轴交于T点，交直线于点S， 轴， ， ， 解得； 【小问3详解】 ① 在直线上截取，连接， 中，令，则， ， 令，则， ， 中，令，则， ， 令，则， ， ， ， 轴， ， ∵是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， G点是的中点， ，， ； ② ，点E关于x轴对称点为点K， ， 中，令，则， ， 令，则， ， 中，令，则， ， 令，则， ， ， ，， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 设直线的解析式为， ， 解得， ， ， 即， 解得， ． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，平行线的性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$