精品解析：四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题

四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数 在处可导，且满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 2. 下列函数中，是奇函数且在区间 上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，项的系数是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 5. 为了贯彻落实教育部印发的《普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）》，同时完善学生的知识结构，提高学生的综合素质，培养高中生的人文精神、科学精神、创新意识和实践能力，西昌市某学校高二年级开设了3门社科类选修课和3门艺术类选修课，学生需从6门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有（ ）种． A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 6. 某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有（ ）种． A. 240 B. 300 C. 360 D. 480 7. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 8. 函数存在3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的有（ ） A. 二项式系数之和为128 B. 各项系数之和为128 C. 常数项为第四项 D. 的系数为60 10. 在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（ ） A. 若任意选科，则选法总数为12种 B. 若政治必选，则选法总数为3种 C. 若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D. 若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种 11. 若函数有两个极值，则（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若 是上的增函数，则 B. 当 时，函数 有两个极值 C. 当 时，函数 有两零点 D. 当时， 在点处的切线与 只有唯一个公共点 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A，B，C，D，现从中随机抽取两个小球，则小球未被抽中的概率为______. 14. 的展开式中的常数项为_______． 15. 已知定义在上的可导函数 ，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为______. 16. 定义函数．曲线在处的切线斜率为，则不等式的解集为______. 四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，18题—22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列函数的导数： （1）； （2）（为常数）； （3）． 18. 现有5名实习生通过了实习考核，将他们分配到4个岗位，每个人只能去一个岗位． （1）不同的分配方案共有多少种? （2）若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种? 19. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46； 条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512； 条件③：展开式中常数项为第4项． 问题：已知二项式，若______，求： （1）展开式中二项式系数最大的两项； （2）展开式中的第九项． 20. 已知函数 ． （1）求证： （2）设 ，若 在区间内恒成立，求k的最小值． 21. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性． 22. 已知函数， （1）求曲线过点的切线方程； （2）若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省凉山州西昌市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题 本试卷分为第I卷（选择题）和第I卷（非选择题）两部分，试题卷4页，答题卡2页.全卷满分为150分，考试时间120分钟. 答题前考生务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置；选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，其他试题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应题框内，不得超越题框区域.考试结束后将答题卡收回. 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设函数 在处可导，且满足，则（ ） A. 2 B. 1 C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】由导数的概念求解即可得. 【详解】. 故选：B. 2. 下列函数中，是奇函数且在区间 上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的判断即可排除ACD，再结合反比例函数的奇偶性和单调性即可判断B. 【详解】对A，函数定义域为，则其不具有奇偶性，故A错误； 对B，函数定义域为，关于原点对称，且， 则为奇函数，且根据反比例函数性质易知其在 上是增函数，故B正确； 对C，根据，根据指数函数图象知其不具有奇偶性，且在 上是减函数，故C错误； 对D，函数定义域为，且，则其为偶函数，故D错误. 故选：B. 3. 在的展开式中，项的系数是（ ） A. 20 B. 10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【详解】对有， 则， 即项的系数是. 故选：C. 4. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的运算法则计算出导函数后，计算可得，即可得. 【详解】，则，即， 故，则. 故选：A. 5. 为了贯彻落实教育部印发的《普通高中课程方案和语文等学科课程标准（2017年版2020年修订）》，同时完善学生的知识结构，提高学生的综合素质，培养高中生的人文精神、科学精神、创新意识和实践能力，西昌市某学校高二年级开设了3门社科类选修课和3门艺术类选修课，学生需从6门课中选修3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案有（ ）种． A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】可从社科类选修课选1门，艺术类选修课选2门或社科类选修课选2门，艺术类选修课选1门，借助组合数计算即可得. 【详解】，故不同的选课方案有种. 故选：D. 6. 某校高二年级组织学生去某旅游名胜区春游，包含小明在内的6位同学站成一排照相，小明不站在两端，则不同的排法有（ ）种． A. 240 B. 300 C. 360 D. 480 【答案】D 【解析】 【分析】先排小明，后排其他同学即可得. 【详解】小明先在中间4个位置选一个，然后再排其他5位同学， 共有. 故选：D. 7. 已知函数在上为减函数，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合函数单调性可得在上恒成立，计算即可得. 【详解】由题意可得在上恒成立， 则有在上恒成立，由在上单调递增， 则有，故. 故选：C. 8. 函数存在3个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的极值，再借助三次函数的性质列出不等式组求解即得. 【详解】函数，求导得， 当 时，，函数在R上单调递增，该函数最多一个零点； 当时，由，得或，由，得， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值， 当时，函数取得极小值， 函数存在3个零点，当且仅当，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列说法正确的有（ ） A. 二项式系数之和为128 B. 各项系数之和为128 C. 常数项为第四项 D. 的系数为60 【答案】CD 【解析】 【分析】由二项式系数之和为可得A；由赋值法令可得B；由二项式的展开式的通项公式计算可得C、D. 【详解】对有， 对A：二项式系数之和为，故A错误； 对B：令，可得，即各项系数之和为1，故B错误； 对C：令，则，故常数项为第四项，故C正确； 对D：，故的系数为60，故D正确. 故选：CD. 10. 在四川省新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、历史、政治、地理共六门，学生根据普通高等学校统一招生要求，必在物理、历史2门学科中选择1门，在化学、生物、政治、地理4门学科中选择2门作为选择性考试科目参加考试．则下列说法正确的是（ ） A. 若任意选科，则选法总数为12种 B. 若政治必选，则选法总数为3种 C. 若化学、地理至少选一门，则选法总数为10种 D. 若历史必选，生物、政治至多选一门，则选法总数为5种 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助组合数的定义，逐项计算即可得. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D正确. 故选：ACD. 11. 若函数有两个极值，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】借助导数计算，结合题意可得有两个变号正零点，设出两个零点，利用二次函数的性质与韦达定理计算即可得解. 【详解】，令，， 由函数有两个极值，则有两个变号正零点， 设这两个变号正零点分别为，且， 则，且有，，， 即可得，且. 故选：ACD. 12. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. 若 是上的增函数，则 B. 当 时，函数 有两个极值 C. 当 时，函数 有两零点 D. 当时， 在点处的切线与 只有唯一个公共点 【答案】AB 【解析】 【分析】对A：借助导数，令导函数大于等于零恒成立即可得；对B：借助导数研究函数的单调性即可得；对C：举出反例即可得；对D：计算出 在点处的切线方程后，联立 ，解出方程即可得. 【详解】对A：，由 是上的增函数， 则有恒成立，即，解得，故A正确； 对B：由，则当 时，， 故 有两个不等实根，设这两个根分别为且， 则当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 故函数 有两个极值，故B正确； 对C：令， 对，有，若，则， 此时有两个非零不等实根，即有三个零点，故C错误； 对D：当时，，则， ，由，则 在点处的切线为， 令，即有，解得或， 故 在点处的切线与 有两个公共点，故D错误. 故选：AB. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 三、填空题，本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 一个不透明盒子中有4个质地均匀，大小形状相同的小球，分别为A，B，C，D，现从中随机抽取两个小球，则小球未被抽中的概率为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据古典概型列出所有情况和满足题意的情况即可. 【详解】列举以下所有情况，样本空间为：，共6种， 其中不含的有，，共3种，则根据古典概型知： 小球未被抽中的概率为. 故答案为：. 14. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】写出展开式的通项，在令即可. 【详解】，令，得， 所以常数项为. 故答案为： 15. 已知定义在上的可导函数 ，满足在上恒成立，且，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，由题意可得在上单调递增，不等式可转化为，结合函数单调性计算即可得. 【详解】令，则有， 由在上恒成立，故 在上恒成立， 即函数在上单调递增， 由，则， 即不等式可转化为， 结合函数单调性可得，即不等式的解集为. 故答案为：. 16. 定义函数．曲线在处的切线斜率为，则不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助导数的几何意义结合等比数列求和公式可用表示，再解出相应不等式即可得. 【详解】， 则 ，即， 令，即，由，则， 由，故，即，即不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共70分.17题10分，18题—22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 求下列函数的导数： （1）； （2）（为常数）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可； （2）根据导数除法和导数减法法则即可； （3）根据导数乘法法则即可. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 18. 现有5名实习生通过了实习考核，将他们分配到4个岗位，每个人只能去一个岗位． （1）不同的分配方案共有多少种? （2）若每个岗位至少分配一名实习生，则不同的分配方案有多少种? 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助分步乘法计数原理计算即可得； （2）先分组后分配即可得. 【小问1详解】 5名实习生都有4种选择，，故不同的分配方案共有种； 【小问2详解】 先将5名实习生分成4组，共有种分法， 再将4组实习生分配到4个岗位，共有种分法， 故共有种不同的分配方案. 19. 在下列三个条件中任选一个条件，补充在问题中的横线上，并解答． 条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46； 条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512； 条件③：展开式中常数项为第4项． 问题：已知二项式，若______，求： （1）展开式中二项式系数最大的两项； （2）展开式中的第九项． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用二项式系数的性质或利用二项式的展开式的通项公式可求出，再结合二项式系数的性质即可得其最大的项； （2）借助二项式的展开式的通项公式计算即可得. 【小问1详解】 对有， 若选条件①：展开式中前三项的二项式系数之和为46， 则有，即， 整理得，由，故， 则展开式中二项式系数最大的两项为： ，； 若选条件②：展开式中所有项的二项式系数之和为512； 则有，解得， 则展开式中二项式系数最大的两项为： ，； 若选条件③：展开式中常数项为第4项， 则有，解得， 则展开式中二项式系数最大的两项为： ，； 【小问2详解】 由（1）知，，故对有， 则. 20. 已知函数 ． （1）求证： （2）设 ，若 在区间内恒成立，求k的最小值． 【答案】（1） 函数 ．所以 ， 令 ， 可得 ，令 ，可得， 当时，，函数是增函数， 当时，，函数是减函数， 所以时，函数取得最大值： ， 所以 ，即 ． （2）1 【解析】 【分析】（1）构造函数 ，利用函数的导数，通过函数的最值判断证明即可． （2）设 ，利用函数的导数，在区间求解函数的最值，推出k的最小值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，若 在区间内恒成立， 即：，令， 可得， 当时， ，函数是增函数，当时， ，函数是减函数，所以时，函数取得最大值： ， 可得 ，k的最小值为1． 21. 已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）讨论的单调性． 【答案】（1）当时，取得极大值3，当时，取得极小值 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）求出，根据的正负即可求出函数的极值； （2）求出，令 ，得出或，分类讨论的取值范围即可． 【小问1详解】 当时，， 则， 令 ，得或， 当 时，， 单调递增， 当 时，， 单调递减， 当 时，， 单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 【小问2详解】 ， 令 ，则或， 当 时， ，，，， 则 在和上单调递增，在上单调递减； 当时， ，，，， 则 在和 上单调递增，在上单调递减； 当时，，，则 在上单调递增； 综上所述， 当 时， 在和上单调递增，在上单调递减； 当时， 在和 上单调递增，在上单调递减； 当时， 在上单调递增． 22. 已知函数， （1）求曲线过点的切线方程； （2）若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出切点，借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得当 时，，再借助导数计算出在 上的最大值后，分 及讨论函数的最大值即可得. 【小问1详解】 ，设切点为，则有， 即有，则有，解得， 则，，即， 整理得； 【小问2详解】 由题意可得，当 时，， 令，，， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故； 由，， 则， ①当 时，有，令，则， 当时， ，当时， ， 故在上单调递增，在上单调递减， 此时， 则有，解得，即； ②当时，令，有，， 若，即时，恒成立，则在上单调递增， 此时无最大值，且时，，故舍去； 若，即时，当时， ， 当时， ，故在上单调递增， 在上单调递减，此时无最大值，故舍去； 若，即时，当时， ， 当时， ，故在上单调递增， 在上单调递减，此时无最大值，同理舍去； 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助题意得到当 时，，从而可分别计算在 上的最大值与函数在 上的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $