4.2 一元二次不等式及其解法4.3 一元二次不等式的应用同步练习-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2　一元二次不等式及其解法 4.3　一元二次不等式的应用 一、必备知识基础练 1.[探究点一]不等式x-x2>0的解集是(　　) A.(0,1) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 2.[探究点一]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0},B={x|x∈N+,x≤5},则A∩B等于(　　) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} 3.[探究点二·2024江苏南京高一期末]若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式>0的解集为(　　) A.{x|x<-2或x>1} B.{x|1<x<2} C.{x|x<-1或x>2} D.{x|-1<x<2} 4.[探究点四]某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 5.[探究点三](多选题)已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>-2x的解集为(1,3),则(　　) A.a<0 B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3 C.b=-4a-2 D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=- 6.[探究点一]设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　　　　　.  7.[探究点三·2024吉林梅河口高一期末]若关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则实数m的取值范围是　　　　　.  8.[探究点三]解关于x的不等式:ax2+(2-4a)x-8>0. 9.[探究点三]已知函数y=x2-2x+a,且不等式y<0的解集为{x|-1<x<t}. (1)求实数a,t的值; (2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R. 二、关键能力提升练 10.(多选题)已知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4) C.a∈[-4,4] D.a∈{0} 11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} 12.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列结论正确的是(　　) A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2 C.|a|≥1 D.b≤1 13.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为　　　　　.  14.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系. (2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系. (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 三、学科素养创新练 15.在R上定义运算:ac　bd=ad-bc.若不等式x-1a+1　a-2x≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为　　　　　.  16.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R. (1)若5∈A,求实数k的取值范围. (2)求不等式的解集A. (3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由. 参考答案 1.A　一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|0<x<1}. 2.B　∵(2x+1)(x-3)<0,∴-<x<3.又x∈N+且x≤5,则x=1,2.故选B. 3.C　∵ax-b>0的解集为(1,+∞),∴a>0,ax-b>0可化为x>,=1,即a=b,>0可化为>0,∴a(x+1)(x-2)>0,∴x>2或x<-1.故选C. 4.C　设销售价定为每件x元,利润为y,则y=(x-8)[100-10(x-10)],依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320,即x2-28x+192<0,解得12<x<16,所以每件销售价应定为12元到16元之间. 5.ACD　由于y>-2x的解集为(1,3),即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3),则a<0,且1,3为方程ax2+(b+2)x+c=0的根.∴1+3=-,1×3=,∴b=-4a-2,c=3a,故A,C正确,B错误;对于D项,y+6a=0有两个相等的根,即ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根,∴Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,∵a<0,∴a=-,故D正确. 6.-1,　由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0. 解得-1<x<满足题意的x的取值范围是-1,. 7.[1,9)　关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,当m-1=0,即m=1时,不等式化为2>0,显然恒成立,符合题意;当m-1≠0,即m≠1时,则解得1<m<9.综上,实数m的取值范围是[1,9). 8.解 若a=0,不等式可化为2x-8>0, 所以x>4,不等式的解集为{x|x>4}. 若a≠0,不等式可化为(ax+2)(x-4)>0, 令(ax+2)(x-4)=0,得x=-,或x=4. 若a>0,则-<4, 所以不等式的解集为xx>4或x<-. 若a<0,当-<4,即a<-时,不等式的解集为x-<x<4; 当->4,即-<a<0时,不等式的解集为x4<x<-; 当-=4,即a=-时,不等式的解集为空集. 综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}; 当a>0时,不等式的解集为xx>4或x<-; 当a<-时,不等式的解集为x-<x<4; 当-<a<0时,不等式的解集为x4<x<-; 当a=-时,不等式的解集为空集. 9.解(1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1<x<t}, ∴-1+t=2,-1×t=a, 解得t=3,a=-3. (2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0, ∵其解集为R, 或c=3, 解得2<c≤3. 故实数c的取值范围为(2,3]. 10.AD　由题意知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0, ∴Δ=a2-16<0,∴-4<a<4,∴命题p成立的一个充分不必要条件是(-4,4)的真子集.故AD符合. 11.B　根据给出的定义,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).因为x☉(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,所以不等式的解集是{x|-2<x<1}. 12.D　由题意得又|x1|+|x2|≤2,不妨令x1=-1,x2=0,则a=1,b=0,则|a+2b|=1,A不成立;令x1=x2=-1,则a=2,b=1,则|a+2b|=4,B不成立;令x1=-1,x2=1,则a=0,b=-1,则|a|=0,C不成立;b=x1x2≤2≤2≤1,当且仅当x1=x2=1时,等号成立,D正确. 13.-　令y=x2+mx+m,若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立, 则有Δ=m2-4m≤0,或解得m∈-,+∞,实数m的最小值为- 14.解(1)根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 15　根据给出的定义,得x-1a+1　a-2x=x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立.因为x2-x-1=x-2--,所以-a2-a-2,解得-a,故a的最大值为 16.解 (1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1<k<4,所以k的取值范围是{k|1<k<4}. (2)当k=0时,不等式化为-4(x-4)>0, 所以x<4,A={x|x<4}; 当k>0时,不等式化为x-k-(x-4)>0, 令x-k-(x-4)=0,得x=k+,或x=4. 当k>0且k≠2时,k+>4, 所以A=xx<4,或x>k+; 当k=2时,k+=4,所以A={x|x≠4}; 当k<0时,不等式化为x-k-(x-4)<0,易知k+<0<4,所以A=xk+<x<4. 综上,当k>0且k≠2时,A=xx<4,或x>k+; 当k=2时,A={x|x≠4}; 当k=0时,A={x|x<4}; 当k<0时,A=xk+<x<4. (3)存在,当k=-2时A中整数个数最少. 由(2)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个; 当k<0时,A中整数的个数为有限个. 要使A中整数的个数最少,则k+取最大值. 因为k+-4,当且仅当k=-2时,等号成立, 所以当k=-2时,A中整数的个数最少. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$