1.2集合之间的关系同步分层作业-2024-2025学年高一上学期高教版(2021)中职数学基础模块上册

1.2 集合之间的关系 ※知识梳理 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中________________都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作______(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A是集合B的真子集，记作________(或B⫌A)． (3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B． (4)空集是__________的子集，是____________的真子集． (5)集合的反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A． (6)集合的传递性：若A⊆B，B⊆C，则A_____C；若A⫋B，B⫋C，则A_____C． (7)若集合A中有n个元素，则其子集个数为___________个，真子集个数为___________个，非空子集个数为___________个，非空真子集个数为___________个． ※知识过关 1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列可以作为A的子集的是（　　） A．1，2 B．{1，2，4} C．{1，4} D．{1，2} 2．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，5}，则（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．以上都不正确 3．下列集合中表示同一集合的是（　　） A．M＝{3，4}，N＝{4，3} B．M＝{（3，4）}，N＝{（4，3）} C．M＝{（x，y）|x+y＝4}，N＝{y|x+y＝4} D．M＝{4，3}，N＝{（4，3）} 4．下列能正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 5．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则下列表示正确的是（　　） A．B⊆A B．A⊆B C．A＝B D．B∈A 6．下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{0} B．{x|x2+1＝0} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞1} 7．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．无法判断 8．集合M＝{x∈N|0＜x＜3}的子集的个数是（　　） A．16 B．8 C．7 D．4 9．已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，这样的集合M有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 10．已知集合A＝{1，2a}，B＝{1，2，4}，若A⊆B，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 11．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 12．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（　　） A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 二．填空题（共3小题） 13．已知集合A＝{1，2}，B＝{1，3，a}，若A⊆B，则a＝　 　． 14．选择适当的符号（“∈”“∉”“⫋”“⫌”“⊆”“⊇”）填空： （1）0 　 　∅，{0} 　 　∅，∅　 　{x|x2﹣x+1＝0}， {2} 　 　{x|x2﹣3x+2＝0}，{} 　 　{x|x2﹣3x+4＝0}； （2）设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边形组成的集合，则A 　 　B，B 　 　C； （3）若集合A⊆B，B⊆C，则A 　 　C． 15．设A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　 　． 三．解答题（共5小题） 16．已知A＝{x|x2﹣4x+3＝0} （1）用列举法表示集合A； （2）写出集合A的所有子集． 17．已知A＝{a，b，c}，则求： （1）集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系； （2）请写出集合A的所有非空真子集． 18．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|a﹣1≤x≤a+3}． （1）当a＝1时，求A∪B； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． ※能力提升 19．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0，x∈R}，B＝{x|ax﹣1＝0，x∈R}． （1）若，试判断集合A与B的关系； （2）若B⫋A，求a的值组成的集合C． 20．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}． （1）当m＝2时，求集合A∩B； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合之间的关系-参考答案 ※知识梳理 (1)任何一个元素，A⊆B． (2)x∉，A⫋B． (3)B⊆A． (4)任何集合，任何非空集合． (5)A⊆A． (6)⊆，⫋． (7)，，，． ※知识过关 1．已知集合A＝{1，2，3}，则下列可以作为A的子集的是（　　） A．1，2 B．{1，2，4} C．{1，4} D．{1，2} 【分析】根据子集的定义，即可找出集合A的子集． 【解答】解：∵1，2∈A， 根据子集的定义可知，{1，2}是A的子集． 故选：D． 【点评】本题考查列举法的定义，以及子集的定义，属于基础题． 2．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，5}，则（　　） A．A＝B B．A⊆B C．B⊆A D．以上都不正确 【分析】根据集合的包含关系判断即可． 【解答】解：集合A＝{1，3，5}，B＝{1，5}，A≠B，选项A错误； B⊆A，则B错误，C正确． 故选：C． 【点评】本题考查集合间的关系，属于基础题． 3．下列集合中表示同一集合的是（　　） A．M＝{3，4}，N＝{4，3} B．M＝{（3，4）}，N＝{（4，3）} C．M＝{（x，y）|x+y＝4}，N＝{y|x+y＝4} D．M＝{4，3}，N＝{（4，3）} 【分析】由已知结合集合元素的特征及集合相等的定义检验各选项即可判断． 【解答】解：A：根据集合元素的无序性可知M＝N； B：因为{3，4}与（4，3）表示不同的点的坐标，故M≠N； C：M＝{（x，y）|x+y＝4}与N＝{y|x+y＝4}的元素不同，不是同一集合； D：M＝{4，3}与N＝{（4，3）}的元素不同，不是同一集合． 故选：A． 【点评】本题主要考查了集合相等条件的应用，属于基础题． 4．下列能正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+2x＝0}关系的是（　　） A． B． C． D． 【分析】求出集合N＝{x|x2+2x＝0}＝{0，﹣2}，再由A∩B＝{0}，能求出结果． 【解答】解：集合M＝{﹣1，0，1}，N＝{x|x2+2x＝0}＝{0，﹣2}， ∴A∩B＝{0}， ∴正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+2x＝0}关系的是A． 故选：A． 【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、韦恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则下列表示正确的是（　　） A．B⊆A B．A⊆B C．A＝B D．B∈A 【分析】由已知结合集合的包含关系即可判断． 【解答】解：因为A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}， 所以B⊆A． 故选：A． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题． 6．下列四个集合中，是空集的是（　　） A．{0} B．{x|x2+1＝0} C．{x∈N|x2﹣1＝0} D．{x|x＞1} 【分析】根据空集的概念进行判断． 【解答】解：A选项，集合{0}中显然有元素0，不是空集，A错误； B选项，x2+1＝0在R上无解，故{x|x2+1＝0}＝∅，B正确； C选项，{x∈N|x2﹣1＝0}＝{1}，C错误； D选项，{x|x＞1}≠∅，D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了空集的概念，是基础题． 7．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}，则（　　） A．A⊆B B．B⊆A C．A＝B D．无法判断 【分析】根据集合包含关系的定义交集定义判断． 【解答】解：因为集合A＝{x|x＝3k，k∈N}，B＝{x|x＝6z，z∈N}， 则集合A中的元素x是3的倍数，且为0和正整数， 集合B中的元素x必是6的倍数，且为0和正整数， 所以B⊆A． 故选：B． 【点评】本题考查了集合的包含关系，涉及到元素与集合的关系，属基础题． 8．集合M＝{x∈N|0＜x＜3}的子集的个数是（　　） A．16 B．8 C．7 D．4 【分析】根据子集的定义即可得． 【解答】解：M＝{x∈N|0＜x＜3}＝{1，2}，集合M中有2个元素，则集合M的子集个数是22＝4． 故选：D． 【点评】本题考查子集的定义，属于基础题． 9．已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，这样的集合M有（　　）个． A．7 B．8 C．9 D．10 【分析】由题意知集合M中的元素必有1，2，另外可从3，4，5中取，必须注意符号“⊆”的含义． 【解答】解：由题意知集合M中的元素1，2必取，另外可从3，4，5中取， 取0个，取1个，取2个，取三个，故有+++＝8（个）． 故选：B． 【点评】本题主要考查了元素与集合关系的判断，同时考查了分类讨论的思想，是个基础题． 10．已知集合A＝{1，2a}，B＝{1，2，4}，若A⊆B，则a的值为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．1或2 【分析】根据A⊆B，可得2a＝2或2a＝4，从而可求解． 【解答】解：由A⊆B得2a＝2或2a＝4，即a＝1或a＝2， 当a＝1时，A＝{1，2}； 当a＝2时，A＝{4，1}，都符合题意，故D正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题． 11．已知集合A＝{x|x2﹣1＝0}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}，若A⊆B，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】根据集合的包含关系求解． 【解答】解：集合A＝{x|x2﹣1＝0}＝{﹣1，1}，集合B＝{a+1，a﹣1，3}， 若A⊆B，则a＝0． 故选：B． 【点评】本题考查集合间关系的应用，属于基础题． 12．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若B⊆A，则a＝（　　） A．1 B．﹣1或2 C．2 D．﹣1 【分析】依题意可得a+2＝3或a+2＝a2，求出a，再代入检验即可． 【解答】解：因为合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}且B⊆A， 所以a+2＝3或a+2＝a2， 解得a＝1或a＝﹣1或a＝2， 当a＝±1时a2＝1，集合A不满足元素的互异性，故a≠±1， 当a＝2时A＝{1，3，4}，B＝{1，4}符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查集合的包含关系，属于基础题． 二．填空题（共3小题） 13．已知集合A＝{1，2}，B＝{1，3，a}，若A⊆B，则a＝　2　． 【分析】由已知结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：因为集合A＝{1，2}，B＝{1，3，a}， 若A⊆B，则a＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题． 14．选择适当的符号（“∈”“∉”“⫋”“⫌”“⊆”“⊇”）填空： （1）0 　∉　∅，{0} 　⫌　∅，∅　＝　{x|x2﹣x+1＝0}，{2} 　⫋　{x|x2﹣3x+2＝0}，{} 　＝　{x|x2﹣3x+4＝0}； （2）设A是全体正方形组成的集合，B是全体矩形组成的集合，C是全体平行四边形组成的集合，则A 　⫋　B，B 　⫋　C； （3）若集合A⊆B，B⊆C，则A 　⊆　C． 【分析】（1）根据空集的定义，集合相等的定义，真子集的定义即可填上各个空； （2）根据平行四边形包含矩形，矩形包含正方形即可填上各个空； （3）根据子集的定义可得出A与C的关系． 【解答】解：（1）空集没有元素，∴0∉∅， 空集是任何非空集合的真子集，∴{0}⫌∅， 方程x2﹣x+1＝0无解，∴∅＝{x|x2﹣x+1＝0}， {x|x2﹣3x+2＝0}＝{1，2}，∴{2}⫋{x|x2﹣3x+2＝0}， ； （2）平行四边形包含矩形，矩形包含正方形， ∴A⫋B，B⫋C； （3）∵A⊆B，B⊆C，∴A⊆C． 故答案为：（1）∉，⫌，＝，⫋，＝；（2）⫋，⫋；（3）⊆． 【点评】本题考查了空集的定义，真子集和子集的定义，集合相等的定义，考查了计算能力，属于基础题． 15．设A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是 　（1，+∞）　． 【分析】由集合的包含关系的定义即可求解． 【解答】解：由题意，A＝{x|﹣1≤x≤1}，B＝{x|x＜a}， 由A⊆B，可得a＞1， 故实数a的取值范围是（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）． 【点评】本题考查集合的包含关系，属基础题． 三．解答题（共5小题） 16．已知A＝{x|x2﹣4x+3＝0} （1）用列举法表示集合A； （2）写出集合A的所有子集． 【分析】（1）解方程，即可用列举法表示集合A； （2）子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集，列举出来即可． 【解答】解：（1）A＝{1，3}； （2）A的所有子集为：∅，{1}，{3}，{1，3}． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法和集合的子集，子集要谨防丢失空集等错误，属于基础题． 17．已知A＝{a，b，c}，则求： （1）集合A的子集的个数，并判断∅与集合A的关系； （2）请写出集合A的所有非空真子集． 【分析】（1）由含有n个元素的集合的子集个数公式求得集合A的子集的个数，再由空集与真子集的概念判断∅与集合A的关系； （2）直接写出集合A的所有非空真子集． 【解答】解：（1）∵A＝{a，b，c}，∴集合A的子集的个数为23＝8个，∅⫋A； （2）集合A的所有非空真子集有：{a}，{b}，{c}，{ab}，{ac}，{bc}． 【点评】本题考查集合间的关系，考查子集与真子集的概念，是基础题． 18．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|a﹣1≤x≤a+3}． （1）当a＝1时，求A∪B； （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． 【分析】（1）先求出集合B，再利用集合的并集运算求解； （2）由B⊆A列出不等式组，求出a的取值范围即可． 【解答】解：（1）当a＝1时，B＝{x|0≤x≤4}， ∴A∪B＝{x|﹣2≤x≤4}； （2）若B⊆A，显然B≠∅， ∴， 解得﹣1≤a≤0， 即实数a的取值范围[﹣1，0]． 【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题． ※能力提升 19．设集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0，x∈R}，B＝{x|ax﹣1＝0，x∈R}． （1）若，试判断集合A与B的关系； （2）若B⫋A，求a的值组成的集合C． 【分析】（1）先求出集合A，B，进而判断集合A与B的关系； （2）分a＝0和a≠0两种情况讨论，结合B⫋A求出a的值即可． 【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣5x+6＝0，x∈R}＝{2，3}， 当a＝时，B＝{x|ax﹣1＝0，x∈R}＝{x|﹣1＝0}＝{2}， ∴B⊆A； （2）①当a＝0时，B＝∅，符合题意， ②当a≠0时，B＝{x|ax﹣1＝0，x∈R}＝{}， 若B⫋A，则＝2或＝3， 解得a＝或a＝， ∴集合C＝{0，，}． 【点评】本题主要考查了集合的包含关系，属于基础题． 20．已知集合A＝{x|﹣3≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤3m﹣1}． （1）当m＝2时，求集合A∩B； （2）若B⊆A，求实数m的取值范围． 【分析】（1）先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解； （2）结合集合的包含关系即可求解． 【解答】解：（1）因为A＝{x|﹣3≤x≤5}， 当m＝2时，B＝{x|3≤x≤5}． 集合A∩B＝{x|3≤x≤5}． （2）若B⊆A， 当B＝∅时，m+1＞3m﹣1，即m＜1， 当B≠∅时，，解得1≤m≤2， 故实数m的取值范围为{m|m≤2}． 【点评】本题主要考查了集合的交集运算及集合包含关系的应用，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$