平面解析几何-2024届江苏省高三数学模拟题汇编

江苏地区一轮复习模拟题汇编：平面解析几何-2025年高考数学核心考点突破 一、单选题 1．（23-24·江苏南京·模拟）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 2．（23-24·江苏南京·二模）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24·江苏南京·三模）设圆：与圆：，点，分别是，上的动点，为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·江苏苏州·三模）已知过抛物线的焦点的直线与相交于两点，轴上一点满足，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．（23-24·江苏南京·一模）已知为椭圆的左焦点，都在此椭圆上，是菱形，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24·江苏南京·模拟）已知是圆上两点，且，直线上存在点使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24·江苏南京·二模）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 8．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24·江苏南京·二模）已知是坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点点在第一象限，且直线与的准线交于点，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．为钝角 10．（23-24·江苏扬州·模拟）已知圆，则（    ） A．圆与直线必有两个交点 B．圆上存在4个点到直线的距离都等于1 C．圆与圆恰有三条公切线，则 D．动点在直线上，过点向圆引两条切线，为切点，则四边形面积最小值为2 11．（23-24·江苏南京·模拟）如图，是椭圆与双曲线在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．若，则的最小值为2 D． 三、填空题 12．（23-24·江苏南京·模拟）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 13．（23-24高二下·上海·模拟）该椭圆的左右焦点为，点是上一点，满足，则的面积为 ． 14．（2025·江苏苏州·模拟预测）已知抛物线的焦点为，满足若过点的直线交于，则有．在上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为，则的轨迹方程为 ，试给出一圆，使得对上任意一点，过点作的两条切线分别交于不同于的点，则必为的切线： ． 四、解答题 15．（23-24·江苏无锡·模拟）已知圆C过三点． (1)求圆C的方程； (2)斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程． 16．（23-24·江苏南京·模拟预测）已知椭圆C：的离心率为，且过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，若，求的面积． 17．（2024·江苏·三模）已知为等轴双曲线上一点，且到的两条渐近线的距离之积等于. (1)求的方程； (2)设点在第一象限，且在渐近线的上方，分别为的左､右顶点，直线分别与轴交于点.过点作的两条切线，分别与轴交于点（在的上方），证明：. 18．（2024·江苏南京·二模）已知抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F，且．过F的直线1与抛物线C交于A，B两点，与E的两条渐近线交于P，Q两点(均位于y轴右侧). (1)求E的渐近线方程； (2)若实数满足，求的取值范围． 19．（23-24·江苏南京·模拟）如图在平面直角坐标系中，分别是双曲线的左右顶点，动点在双曲线的右支上且位于第一象限，直线和分别与轴交于点，当点坐标为时，直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在求出定点坐标，若不存在请说明理由； (3)求四边形的面积的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 2．C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 3．C 【分析】分析发现两圆心和的连线恰好垂直于直线，从而得出当与和共线时最小，从而得解. 【详解】 因为圆：的标准方程为； 圆：的标准方程为： 所以和的圆心坐标分别为、，半径，， 所以直线的斜率，而直线的斜率为1 所以直线与直线垂直，如图， 所以当与和共线时最小，此时， 又此时，， 所以最小值为. 故选：C 4．D 【分析】利用给定条件找到变量之间的关系，结合平面向量的坐标表示求解即可. 【详解】 设，，， 联立方程组得到，消可得， 解得，因为，所以， 而， 而， 解得，此时，， ，故D正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题考查解析几何，解题关键是合理利用给定条件消去变量，然后利用得平面向量的坐标表示结合韦达定理到所要求的定值即可． 5．B 【分析】设右焦点为，因为四边形是菱形，可得，，根据，，又，推得，计算得答案； 【详解】 设右焦点为，连接，因为四边形是菱形，则关于轴对称， 所以， 因为和是等边三角形， 所以，在中，， 所以，又， 所以，所以 故选：B. 6．A 【分析】根据题意分析可知：点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆，且直线与圆有交点，结合直线与圆的位置关系列式求解即可. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设中点为，则， 且，可得， 又因为，可知为边长为2的等边三角形， 则，可得， 可知点的轨迹是以原点为圆心，半径为的圆， 因为直线上存在点使得， 即直线与圆有交点， 可知圆心到直线的距离，解得：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：求圆的方程有两类方法： （1）几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的半径和圆心，得出圆的方程； （2）代数法，求圆的方程必须具备三个独立条件，利用“待定系数法”求出圆心和半径． 7．D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 8．C 【分析】使用题设条件得到的比值，然后引入参数并得到等量关系，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解. 【详解】连接，根据题意，三点共线，三点共线. 而，且由知， 故. 所以， 故可设，，. 由于， 故. 从而，，故，. 而，结合余弦定理得. 故，解得，所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究. 9．AD 【分析】根据直线过抛物线的焦点求出可判断A；设直线，与抛物线方程联立，利用可判断B；过作，由抛物线的定义可知，根据得直线的倾斜角可判断C；直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理代入的坐标表示，再利用向量的夹角公式可判断D. 【详解】对于A，由抛物线可得准线方程为， 又直线过抛物线的焦点， 则，所以，解得，故A正确； 对于B，由A选项可得，且焦点，当时，设直线， 设，，则，整理得，所以， 所以，故B错误； 对于C，过作，垂足为，由抛物线的定义可知， 若，则，则， 则直线的倾斜角为，则，故C错误； 对于D，由A选项可得，且焦点，因为直线 ，则，整理得 ，所以， 因为，所以 ， 所以，所以为钝角，故D正确. 故选：AD. 10．AC 【分析】根据直线切过定点切该定点在圆内可判断A；求出圆的圆心到直线的距离可判断B；将圆化成标准形式为，转化为两圆外切可判断C；由，且当最小时最小时可判断D. 【详解】对于A，将直线整理得，由， 知，所以直线过定点，因为， 所以该定点在圆内，故A正确； 对于B，圆的圆心到直线的距离为， 所以过圆心且与直线平行的直线与圆相交有两个点到直线的距离为1， 与直线平行且与圆相切，并且与直线在圆心同侧的直线到的距离为1， 所以只有三个点满足题意，故B错误； 对于C，将圆化成标准形式为， 因为两圆有三条公切线，所以两圆外切，所以， 解得，故C正确； 对于D，连接，因为为切点，所以， 所以，且当最小时，最小， 所以当与直线垂直时，，又因为半径为2， 所以， 所以，故D错误. 故选：AC. 11．ABD 【分析】选项A：利用双曲线和椭圆的定义求解即可.选项B：利用余弦定理结合离心率求解即可，选项C：利用余弦定理结合基本不等式求解即可，选项D：利用半角公式结合弦化切求解即可. 【详解】对于A，椭圆，双曲线， 由椭圆､双曲线的定义可知，，解得，故A正确； 对于B，令， 由余弦定理得， 当时，，即，因此，故B正确； 当时，，即，有， 而，则有，解得，故C错误； ， ，解得， 而，因此，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 13．9 【分析】解法一：由椭圆方程求出，设，然后由椭圆的定义结合已知条件列方程可求出，从而可求出的面积，解法二：利用焦点三角形的面积公式求解 【详解】解法一：由，得，则， 设，则由题意得 ， 由，得， 所以，得， 所以的面积为 解法二：由，得， 因为 所以由焦点三角形的面积公式得． 故答案为：9 14． （答出一种特殊情况即可） 【分析】（1）先确定的方程，然后利用等边三角形的性质计算轨迹方程； （2）先给出圆的方程，再计算验证即可. 【详解】 （1）设直线交的准线于点，据已知有，故. 而点都在线段外，故重合，从而在的准线上，所以的准线是. 这就得到，所以的方程是. 设上的三个不同点，，构成等边三角形，设该三角形的重心为，则. 所以的坐标分别是. 故，. 得， . 两式分别相加，相减，得，. 故可得方程组. 展开即得. 将第一式减去第二式的倍，得，从而. 再由第二式得，两式作差即有. 所以，即. 所以或. 若，则由知，所以重合，这不可能. 故一定有，即. 另一方面，若，则取方程的一根后，根据上面类似的计算知. 取的坐标为，则等边三角形的顶点在上，且中心为. 综上，上的等边三角形的中心的轨迹方程为. （2）我们设圆的方程为. 则对上的点，设过该点的与圆相切，则根据距离公式有. 从而，即. 设满足条件的分别为，则，. 同时，该直线与的另一个交点满足，从而由韦达定理知. 设，，则，. 而直线的方程为，即，从而圆心到直线的距离. 而，故， 所以，得. 且 . 故，得. 从而， 这就得到. 所以直线到圆的距离恰等于其半径，故是其切线. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对抛物线方程的使用和计算. 15．(1) (2)或 【分析】（1）根据圆过点，得到圆心在上，设圆心坐标，再由圆心到圆上的点的距离相等求解； （2）设直线l的方程为：，根据为等腰直角三角形，由圆心到直线的距离求解. 【详解】（1）解：因为圆过点，故圆心在上， 设圆心坐标， 则，解得． 故其半径． 故圆的方程为：； （2）设直线l的方程为：， 因为为等腰直角三角形， ∴圆心到直线的距离，即， 解得或－8，所以l：或． 16．(1) (2) 【分析】（1）由离心率的值及椭圆过的点的坐标，可得，的值，即求出椭圆的方程； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由，可得参数的值，求出点到直线的距离及弦长的值，进而求出的面积． 【详解】（1）由题意可得，解得，， 所以椭圆的方程为：； （2）由（1）可得右焦点， 当直线的斜率为0时，则直线的方程为， 因为，可得，， 所以，，，显然与，与已知条件矛盾， 所以直线的斜率不为0， 由于，故设直线的方程为，且， 设，， 联立，整理可得：， 可得①,② 因为，即,,， 可得，即，③ 将③代入①，可得，， 再代入②可得：，可得， 点到直线的距离， 弦长， 所以 由于，且，所以． ，    17．(1) (2)证明见详解 【分析】（1）设，根据等轴双曲线概念得，利用点到直线的距离公式即可求解. （2）设，再由坐标得到直线的方程，继而可得坐标，设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得坐标，继而可得，即，即，即可求证. 【详解】（1）设， 为等轴双曲线上一点， ， 双曲线渐近线为， ， ， 的方程为. （2）设， 直线方程为，直线的方程为， ， 设过且与双曲线相切的直线为， 联立， 得， ， 即， 设直线的斜率分别为，则， 方程， ， 同理方程， ， ， ， ， ， ， . 【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的相切关系，解题关键是直线与双曲线的相切关系.本题中设过且与双曲线相切的直线为，联立双曲线与直线方程，由及韦达定理可得，则，又，得，即，即，即可求证. 18．(1) (2) 【分析】（1）由两曲线有公共的焦点F，且，得，，可求渐近线方程； （2）通过设直线方程，联立方程组，借助韦达定理，表示出和，由求的取值范围． 【详解】（1）抛物线与双曲线（，）有公共的焦点F， 设双曲线E的焦距为，则有， 又，则. 由，得， 所以E的渐近线的方程为 （2）设，， 1与E的两条近线交于P，Q两点均位于y轴右侧，有， 由，解得，， . 设， 由，消去得， 则有， ， 由，， 有，即， 由，有，所以.    【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19．(1) (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】(1)直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直，可得到与的关系，又因为当点坐标为在双曲线上，代入可解得； (2)设出点坐标，假设存在定点定点且坐标为，算出直线方程，直线方程，解出点坐标，根据为直径的圆过点，所以，代入化简即可求解； (3) 四边形的面积等于三角形与面积之和，且两个三角形全等，化为求两个三角形面积和，代入化简，根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限，即可求得. 【详解】（1）因为当点坐标为时， 直线刚好与双曲线的一条渐近线垂直， ，又因为渐近线斜率为， 所以 又因为在双曲线上，代入解之可得， 所以双曲线为； （2）因为双曲线为，所以，设, 所以，因为点在双曲线的右支上且位于第一象限， 直线和分别与轴交于点， 直线方程为，直线方程为， 令可得点坐标，所以， 假设存在定点，使得以为直径的圆过点，所以， 即， 所以不存在定点满足. （3）， 根据动点在双曲线得右支上且位于第一象限， 所以，则，， 所以 . 所以四边形的面积的取值范围为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$