不等式 高考真题变式题训练讲义-2025届高三数学一轮复习

高考数学真题及变式题3 等式与不等式 考情分析： 不等式性质与基本不等式的求解、证明以及应用是高考的常考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值。 但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识板块，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度多为中档，但其中在解析几何中利用基本不等式求解范围问题，或解决导数应用问题时利用不等式进行求解，则难度偏高。 必备知识： (一)等式与不等式性质 1．等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． (二)基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值：已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 提示：利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．(一正二定三等) (三)一元二次不等式及可化为一元二次不等式的不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)不含参数的一元二次不等式： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(或常用：穿根法) (2)含参数的一元二次不等式： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)分式不等式： ①比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②右边不为零的分式不等式，先移项再通分(不要去分母！)，转化为右边为零，然后再用上述方法求解． (2)简单的高次不等式：一般采用“穿针引线法”(即穿根法)，步骤如下： ①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R， 对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 题型一 不等式性质 【变式题 基础】 1.若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 2.设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.（2023·海南海口·海南中学校考二模）设，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 5.（河北省保定市2022期末）已知，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【变式题 巩固】 1.已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则 A． B． C． D． 2.已知，且，则 A． B． C． D． 3.若，，则 A． B． C． D． 题型二 解不等式 【真题在线】 【2024上海卷T3】已知则不等式的解集为 ． 【变式题 基础】 1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 2.设，使不等式成立的的取值范围为 . 3.不等式的解集为 ．（用区间表示） 4.（2023·山东·校联考模拟预测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（2023·河南·校联考模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为 ，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 6.（2023下·河南·高一联考）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7.（2022下·浙江湖州·高一联考）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 8.分式不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 9.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式题 巩固】 1.已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2.已知集合，则 A． B． C． D． 3.不等式的解集为 . 【变式题 提高】 1.已知函数关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 2.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6.（2023·福建·厦门一中模拟）“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（2023·辽宁鞍山）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8.（2023·河南·长葛市统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（2022·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若存在实数，使成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三 基本不等式 【真题在线】 【2024北京卷T9】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【2021天津T9】若，则的最小值为____________． 【2022新高考2卷T12】(多选题)若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式题 基础】 1.（2023·北京东城·统考一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 2.（2023上·山东·统考期中）函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 3.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 4.已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 5.（2023海南省联考）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 6.（2023内蒙古通辽）已知，若 ，则 的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 7（2023·河南·联考）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 8.若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 9.（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10.已知，若，则的最小值为 . 11.已知正实数，且，则的最小值为 . 【变式题 巩固】 1.（2023下·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 3.已知，且，则的最小值为_________． 4.已知，且，则的最小值为 ． 5.若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6.若直线过点，则的最小值等于 A．2 B．3 C．4 D．5 7.已知，则的最小值是_______． 8.设，则的最小值为 ． 9.若，且，则的最大值为________. 10.（2023河南高三校联考）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 11.已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 12.下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，，，则的最小值为5 C．若，，，则xy的最小值为1 D．若，，，则的最小值为 13.（2023广东中山高三校考）设正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【变式题 提高】 1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 2.（2023·山东菏泽·统考一模）设实数满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4.若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 5.(多选题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A． B． C． D． 6.如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A．16 B．18 C．25 D． 7.（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数满足，，则当取得最小值时， ． 8.（2020全国3卷T23）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． (1)证明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考数学真题及变式题3 等式与不等式 考情分析： 不等式性质与基本不等式的求解、证明以及应用是高考的常考内容，对不等式的考查一般以选择题、填空题为主，一般会结合条件等式考查拼凑思想来使用基本不等式求最值。 但不等式的相关知识往往可以渗透到高考的各个知识板块，作为解题工具与函数、向量、解析几何、数列等知识相结合，在知识的交汇处命题，难度多为中档，但其中在解析几何中利用基本不等式求解范围问题，或解决导数应用问题时利用不等式进行求解，则难度偏高。 必备知识： (一)等式与不等式性质 1．等式的基本性质 (1)如果a＝b，那么b＝a； (2)如果a＝b，b＝c，那么a＝c； (3)如果a＝b，那么a±c＝b±c； (4)如果a＝b，那么ac＝bc； (5)如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． (二)基本不等式 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 2．基本不等式与最值：已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 提示：利用基本不等式求最值时，必须有：(1)x、y>0，(2)和(积)为定值，(3)存在取等号的条件．(一正二定三等) (三)一元二次不等式及可化为一元二次不等式的不等式 1．一元二次不等式的解法 (1)不含参数的一元二次不等式： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．(或常用：穿根法) (2)含参数的一元二次不等式： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 2．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)分式不等式： ①比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②右边不为零的分式不等式，先移项再通分(不要去分母！)，转化为右边为零，然后再用上述方法求解． (2)简单的高次不等式：一般采用“穿针引线法”(即穿根法)，步骤如下： ①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 3．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R， 对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为 题型一 不等式性质 【变式题 基础】 1.若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C【详解】取，满足，，知A错，排除A； 因为，知B错，排除B； 取，满足，，知D错，排除D， 因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 2.设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D【详解】当时，，但，故是不充分条件； 当时，，但，故是不必要条件. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 3.（2023·海南海口·海南中学校考二模）设，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】由且，可得, 当，时，满足，但不满足且, 则“且”是“”的充分不必要条件,故选：A. 4.（2023·湖北武汉·统考模拟预测）下列不等式正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，，且，则 【答案】D【详解】对于A，当，，时满足，但，所以A错误； 对于B，当，，时，满足，但，所以B错误； 对于C，由不等式的基本性质易知， 当，，时满足，，但，所以C错误； 对于D，，所以，故D正确．故选：D． 5.（河北省保定市2022期末）已知，则下列不等式一定成立的是（       ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】当时，，则A错误；当时，，则B错误； 当时，，则C错误；当时，，当时，，当时，，则D正确；故选：D. 【变式题 巩固】 1.已知a，b＞0，且a≠1，b≠1.若，则 A． B． C． D． 【答案】D【详解】， 当时，，， 当时，， 观察各选项可知选D. 2.已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】C【详解】A：由，得，即，A不正确； B：由及正弦函数的单调性，可知不一定成立； C：由，，得，故，C正确； D：由，得，但xy的值不一定大于1，故不一定成立，故选C. 3.若，，则 A． B． C． D． 【答案】C【详解】用特殊值法，令，，得，选项A错误， ，选项B错误， ，选项D错误， ；选项C正确，故选C． 题型二 解不等式 【真题在线】 【2024上海卷T3】已知则不等式的解集为 ． 【答案】【详解】方程的解为或， 故不等式的解集为，故答案为：. 【变式题 基础】 1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B= A．(-∞，1) B．(-2，1) C．(-3，-1) D．(3，+∞) 【答案】A【详解】由题意得，，则．故选A． 2.设，使不等式成立的的取值范围为 . 【答案】【详解】，即，即，故的取值范围是． 3.不等式的解集为 ．（用区间表示） 【答案】【详解】由得：，所以不等式的解集为， 所以答案应填：． 4.（2023·山东·校联考模拟预测）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B【详解】易知方程可化为，方程的两根为； 所以不等式的解集为.故选：B． 5.（2023·河南·校联考模拟预测）某同学解关于的不等式时，因弄错了常数的符号，解得其解集为 ，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】由题意可知，且，所以， 所以化为 ，，解得.故选：C. 6.（2023下·河南·高一联考）已知，且，关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为不等式，的解集为， 所以且即，不等式等价于， 即，，解得或， 所以不等式的解集为：，故选：C． 7.（2022下·浙江湖州·高一联考）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（     ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】B【详解】不等式的解集为或，所以，所以选项A错误； 由题得，所以为.所以选项B正确； 设，则，所以选项C错误； 不等式为，所以选项D错误.故选：B. 8.分式不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D【详解】由分式不等式可转化为且，解得或， 所以不等式的解集为或.故选：D. 9.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】不等式，等价于或， 解得或，即不等式的解集为.故选：A. 【变式题 巩固】 1.已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】结合图像易知，不等式的解集，故选：A. 2.已知集合，则 A． B． C． D． 【答案】B【详解】解不等式得，所以， 所以可以求得，故选B. 3.不等式的解集为 . 【答案】【详解】,是一个递增函数； ；故答案为. 【变式题 提高】 1.已知函数关于x的不等式在R上恒成立，则实数a的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】A【详解】不等式为(*)， 当时，(*)式即为，， 又（时取等号）， （时取等号），所以， 当时，(*)式为，， 又（当时取等号），（当时取等号）， 所以，综上．故选A． 2.已知关于的不等式恰有四个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】不等式，可化为， 当时，不等式的解集为空集，不合题意； 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 当时，不等式的解集为， 要使不等式恰有四个整数解，则， 综上可得，实数的取值范围是．故选：C． 3.设不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】令，因为恒成立， 由题意可得，解得；故选：C. 4.已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以且，所以， 所以，当且仅当即时取等号，所以最小值为，故选：D. 5.已知关于的不等式组仅有一个整数解，则的取值范围为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B【详解】，解得或， 变形为， 当，即时，不等式解集为空集，不合要求，舍去， 当，即时，解集为， 要想不等式组仅有一个整数解，则，解得， 与求交集得； 当，即时，解集为， 要想不等式组仅有一个整数解，则，解得， 与求交集得， 综上，的取值范围是或;故选：B. 6.（2023·福建·厦门一中模拟）“”是“，成立”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A【详解】由，成立，则当时，恒成立，即， 当时，，解得，因此，成立时，， 因为，所以“”是“，成立”的充分不必要条件.故选：A. 7.（2023·辽宁鞍山）已知当时，不等式：恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】当时，由得， 因，故，当且仅当即时等号成立， 因当时，恒成立，得，故选：C. 8.（2023·河南·长葛市统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】因为命题“，”为真命题， 所以，命题“，”为真命题，所以，时，， 因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号. 所以，时，，即实数的取值范围是;故选：C. 9.（2022·陕西宝鸡·校联考模拟预测）若存在实数，使成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意； ②当时，为开口方向向上的二次函数， 只需，即； ③当时，为开口方向向下的二次函数， 则必存在实数，使得成立； 综上所述：实数的取值范围为;故选：C. 题型三 基本不等式 【真题在线】 【2024北京卷T9】已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B【详解】不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误； 对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误； 对于选项D：例如，则，可得， 即，故D错误；故选：B. 【2021天津T9】若，则的最小值为____________． 【答案】【详解】，， 当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为．故答案：． 【2022新高考2卷T12】(多选题)若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC【详解】因为（R），由可变形为， ，解得，当且仅当时，， 当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号， 所以C正确； 因为变形可得，设， 所以， 因此， 所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．故选：BC． 【变式题 基础】 1.（2023·北京东城·统考一模）已知，则的最小值为（    ） A．－2 B．0 C．1 D． 【答案】B【详解】∵，∴，当且仅当即时等号成立．故选：B． 2.（2023上·山东·统考期中）函数（）的最小值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．9 【答案】C【详解】，当且仅当，即时等号成立，故选：C. 3.（2023·浙江·校联考模拟预测）已知，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B【详解】因为，所以由， 当且仅当时取等号，即时取等号，故选：B. 4.已知，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C【详解】由，则， 当且仅当时等号成立，故最小值为.故选：C. 5.（2023海南省联考）设，则函数，的最小值为（    ） A．7 B．8 C．14 D．15 【答案】D【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为15，故选:D． 6.（2023内蒙古通辽）已知，若 ，则 的最小值是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B【详解】由题意得，，， 所以， 当且仅当时，即，，取等号，故B项正确.故选：B. 7（2023·河南·联考）已知正实数，，点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．9 D．12 【答案】C【详解】由题意得，且， 故， 当且仅当，即，时，等号成立;故选：C. 8.若正实数x，y满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】 ,.故选:D. 9.（2023·重庆·统考一模）已知a，b为非负实数，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【详解】，且,为非负实数，，则 则，解得，，解得， ， 当且仅当即，时,即时等号成立， 故，故选：B. 10.已知，若，则的最小值为 . 【答案】【详解】由，且，可得， 则，设，可得且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为；故答案为：. 11.已知正实数，且，则的最小值为 13 . 【答案】【详解】由可得，由于，所以， 故， 由于，所以，当且仅当时等号成立， 故，故的最小值为13，故答案为：13. 【变式题 巩固】 1.（2023下·江西·高三校联考阶段练习）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】【详解】， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：D. 2.若实数满足，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 【答案】C【详解】， （当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C. 3.已知，且，则的最小值为_________． 【答案】【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立．故答案为： 4.已知，且，则的最小值为 ． 【答案】【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 5.若，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】【详解】若，且满足，则有，所以，， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值为.故选：D. 6.若直线过点，则的最小值等于 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C【详解】∵直线（，）过点，∴． 则，当且仅当时取等号．故答案为C． 7.已知，则的最小值是_______． 【答案】【详解】,且 ，当且仅当，即时取等号． 的最小值为．故答案为：． 8.设，则的最小值为 ． 【答案】【详解】， ， 当且仅当即或时等号成立， 因为，所以，故的最小值为． 9.若，且，则的最大值为________. 【答案】【详解】法一：，∴； 法二：由，()，求二次最值. 10.（2023河南高三校联考）已知，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为8 B．的最小值为2 C．有最小值 D．有最大值4 【答案】B【详解】对于选项，，即，故， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，A错误； 对于选项，原式化为，故；，故； 所以，当且仅当时等号成立，正确； 对于选项，原式化为，故， 当且仅当时等号成立，错误； 对于D选项，， 当且仅当时等号成立，故有最小值，D错误．故选：B. 11.已知，，且；则下列结论正确的是（    ） A．xy的最小值是1 B．的最小值是2 C．的最小值是8 D．的最大值是 【答案】B【详解】由，当且仅当时等号成立， 即，又，，故，仅当时等号成立， 所以，故xy的最大值是1，A错误； 由，当且仅当时等号成立， 所以，即，又，， 则，仅当时等号成立，故的最小值是2，B正确； 由，，，可得，且， 所以 ， 当且仅当，即、时等号成立，故，C错误； 同上， ， 当且仅当，即、时等号成立，故，D错误；故选：B. 12.下列说法正确的是（    ） A．若，则函数的最小值为3 B．若，，，则的最小值为5 C．若，，，则xy的最小值为1 D．若，，，则的最小值为 【答案】D【详解】选项A：， 当且仅当时可以取等号，但题设条件中，故函数最小值取不到3，故A错误； 选项B：若，，， 则， 当且仅当时不等式可取等号，故B错误； 选项C：当且仅当时取等号， 令，，解得，即，故xy的最大值为1，故C错误； 选项D：，， ， 当且仅当时取等号， 又因为，故时等号成立，即最小值可取到， 故D正确．故选：D． 13.（2023广东中山高三校考）设正实数满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最小值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最小值为 【答案】C【详解】对于A，， 当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，， 则，当且仅当，即时，故C错误； 对于D，，当且仅当时取等号，故D正确.故选：C. 【变式题 提高】 1.（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数，，满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D【详解】由已知可得，，，. 因为 ， 当且仅当，即时等号成立.所以，， 当且仅当，即时，两个等号同时成立.所以，.故选：D. 2.（2023·山东菏泽·统考一模）设实数满足，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】当时， ， 当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值； 当时， . 当且仅当，即，时等号成立，此时有最小值. 所以，的最小值为.故选：A. 3.（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数，满足，则当取得最小值时，的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D【详解】因为实数，满足， 所以，当且仅当时，， 所以，当且仅当且时，等号成立； 所以当且时，取得最小值4，此时解得，故选：D. 4.若，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D【详解】由题设，，而，， 所以， 所以 且， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即目标式最大值为.故选：D. 5.(多选题)已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A． B． C． D． 【答案】ABD【解析】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 6.如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为 A．16 B．18 C．25 D． 【答案】B【详解】时，抛物线的对称轴为. 当时，即；；由且得. 当时，抛物线开口向下，据题意得，即. ；由且得，故应舍去. 要使得取得最大值，应有. 所以，所以最大值为18；选B. 7.（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数满足，，则当取得最小值时， ． 【答案】【详解】可将转化为与两点间距离的平方， 由，得，而表示以为圆心，1为半径的圆，为圆上一点， 则与圆心的距离为：， 当且仅当，即时等号成立， 此时与圆心的距离最小，即与两点间距离的平方最小， 即取得最小值.当时，，故答案为：. 8.（2020全国3卷T23）设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1． (1)证明：ab+bc+ca<0；(2)用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥． 【详解】(1)，. 均不为，则，； (2)不妨设， 由可知，， ，. 当且仅当时，取等号， ，即. 第 2 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $$