6.1.2 简单多面体——棱柱、棱锥和棱台课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 1.2　简单多面体——棱柱、棱锥和棱台 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.通过对实物模型的观察,归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构 特征. 2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系. 3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构和有关计算. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　棱柱 1.棱柱的定义、相关概念、图形及表示 棱柱 图形及表示 定义 每个多面体都有两个面是边数相同的多边形,且它们所在平面平行;其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都相互平行.像这样的几何体称为棱柱   棱柱可以用它的两个底面各顶点的字母来表示,也可以用它的某一条对角线的两个端点的字母来表示   如图中的棱柱既可表示为棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1,也可表示为棱柱AC1 不能改成“都是平行四边形” 棱柱 图形及表示 相关概念 底面(底):两个互相　　　　的面;  侧面:　　　　　;  侧棱:相邻侧面的　　　　　　;  顶点:　　 　　的公共顶点;  对角线:既不在同一底面上也不在同一个侧面上的两个顶点的连线; 高:过上底面上一点O1作下底面的垂线,这点和垂足O间的距离OO1   平行 其余各面 公共边 侧面与底面 2.棱柱的相关性质 (1)侧棱都相等; (2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形; (3)过不相邻两条侧棱的截面都是平行四边形. 3.棱柱的分类 (1)侧面平行四边形都是矩形的棱柱称为直棱柱,其他的棱柱称为斜棱柱.底面是正多边形的直棱柱称为正棱柱. (2)棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 名师点睛 常见的几种四棱柱之间的转化关系 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有的棱柱两个底面都平行.(　　) (2)棱柱的两个底面是相似的多边形.(　　) (3)棱柱最多有两个面不是四边形.(　　) √ × √ 2.(2023潍坊高一单元测试)满足下列条件的棱柱中,一定是直棱柱的是(　) A.底面是矩形 B.有一个侧面与底面垂直 C.有一个侧面是矩形 D.相邻两个侧面是矩形 D 解析 如图所示是一个斜四棱柱:因为底面ABCD是矩形,故A错误;因为侧面ABB1A1与底面ABCD垂直,故B错误;侧面ADD1A1是矩形,故C错误; 当相邻两个侧面是矩形时,则这两个侧面的交线与底面垂直, 即得到侧棱与底面垂直,则该棱柱一定是直棱柱,故D正确.故选D. 知识点二　棱锥 1.棱锥的定义、相关概念、分类、图形及表示 棱锥 图形及表示 定义 其中一个面是　　　　　　　,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体称为棱锥    如图棱锥可记作棱锥S-ABCDEF,也可表示为棱锥S-AD 棱锥可以用表示它的顶点和底面各顶点的字母来表示,也可用顶点和底面 一条对角线端点的字母来表示 不能改为“都是三角形” 多边形 棱锥 图形及表示 相关概念 底面(底):　 　　　　;  侧面:其余各面; 顶点:各个侧面的公共点; 侧棱:相邻两个侧面的　　　　　;  高:顶点到底面的距离   分类 棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……这样的棱锥分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 多边形ABCDEF　 公共边 2.正棱锥 如果棱锥的底面是　　　　　,且它的顶点在________________________　　　　　　　　　　　　的直线上,那么这个棱锥称为正棱锥.正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形,这些等腰三角形底边上的高都相等,称为正棱锥的　　　　.  正多边形 过底面中心且与底面垂直 斜高 名师点睛 1.棱锥的侧面均是三角形,但每个面均是三角形的几何体不一定是棱锥.如图所示,正八面体就不是棱锥. 2.正棱锥的性质 (1)各侧棱相等,底面是正多边形; (2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的投影组成一个直角三角形,棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的投影也组成一个直角三角形. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)棱锥的所有面都是三角形.(　　) (2)五棱锥有6个面.(　　) (3)棱锥的侧面均为三角形,侧棱长均相等.(　　) (4)侧棱均相等的棱锥是正棱锥.(　　) × √ × × 2.下面图形中,为棱锥的是(　　) A.①③ B.①③④ C.①②④ D.①② C 解析 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②④是棱锥,③不是棱锥.故选C. 知识点三　棱台 1.棱台的定义、相关概念、分类、图形及表示 棱台 图形及表示 定义 用一个　　　　底面的平面去截棱锥,截面与底面之间的部分称为棱台  棱台用上底面、下底面多边形各顶点的字母来表示   如图棱台表示为棱台ABC-A1B1C1 相关 概念 上底面:原棱锥的截面; 下底面:原棱锥的底面; 侧面:其余各面; 侧棱:相邻两个侧面的公共边; 高:上底面、下底面之间的距离 分类 由三棱锥、四棱锥、五棱锥……所截得的棱台,分别称为三棱台、四棱台、五棱台…… 平行于 2.正棱台 由正棱锥截得的棱台称为正棱台.正棱台各侧面都是全等的等腰梯形,这些等腰梯形的高称为正棱台的斜高. 名师点睛 棱柱、棱锥、棱台的性质比较 性质 棱柱 棱锥 棱台 侧棱 相互平行且相等 相交于同一点 延长线交于同一点 侧面 平行四边形 三角形 梯形 平行于底 面的截面 与两个底面是全等的多边形 与底面是相似的多边形 与两个底面是相似的多边形 过不相邻两 侧棱的截面 平行四边形 三角形 梯形 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.(　　) (2)棱台的各条侧棱延长后必交于一点.(　　) (3)底面是正多边形的棱台是正棱台.(　　) 2.棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗? × √ × 提示 一定相交于一点. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　棱柱、棱锥、棱台的有关概念 【例1】 (1)下列关于棱柱的说法,正确的序号是　　　　　.  ①所有的面都是平行四边形; ②每一个面都不会是三角形; ③两底面平行,并且各侧棱也平行; ④被平面截成的两部分可以都是棱柱. ③④ 解析 ①错误,棱柱的底面不一定是平行四边形. ②错误,棱柱的底面可以是三角形. ③正确,由棱柱的定义易知该说法正确. ④正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱,所以说法正确的序号是③④. (2)下列说法正确的序号是　　　　　.  ①棱锥的侧面不一定是三角形; ②棱锥的各侧棱长一定相等; ③棱台的各侧棱的延长线相交于同一点; ④有两个面互相平行且相似,其余各面都是梯形,则此几何体是棱台. ③ 解析 棱锥的侧面是有公共顶点的三角形,但是各侧棱不一定相等,故①②不正确;棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到的,故各个侧棱的延长线一定交于一点,③正确;棱台的各条侧棱延长线必须交于一点,故④不正确. 规律方法　棱柱、棱锥、棱台的结构特征 (1)棱柱有两个主要结构特征:一是有两个面互相平行,二是各侧棱都平行,各侧面都是平行四边形. (2)棱锥有两个主要结构特征:一是有一个面是多边形,二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台的上、下底面平行且相似,各侧棱延长线相交于同一点. 变式训练1下列叙述正确的是(　　) A.用一个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分是棱台 B.两个面平行且相似,其余各面都是梯形的多面体是棱台 C.有两个面互相平行,其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台 D.棱台的侧棱延长后必交于一点 D 解析 对于A,当截面不平行于底面时,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台,A错误; 对于B,C,如图的几何体满足条件,但侧棱延长线不能相交于一点,不是棱台,B,C错误; 对于D,由棱台结构特征知侧棱延长后必交于一点,D正确.故选D. 探究点二　正棱锥、正棱台中的计算问题 【例2】 正三棱锥的底面边长为3,侧棱长为2 ,求正三棱锥的高. 规律方法　1.正棱锥中直角三角形的应用 已知正棱锥如图(以正四棱锥为例),其高为PO,底面为正方形,作PE⊥CD于点E,则PE为斜高. (1)斜高、侧棱为直角三角形两条边,如图中Rt△PEC; (2)斜高、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POE; (3)侧棱、高为直角三角形两条边,如图中Rt△POC. 2.正棱台中直角梯形的应用  已知正棱台如图(以正四棱台为例),O1,O分别为上底面与下底面中心,作O1E1⊥B1C1于点E1,OE⊥BC于点E,则E1E为斜高. (1)斜高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形E1ECC1; (2)斜高、高为直角梯形两条边,如图中梯形O1E1EO; (3)高、侧棱为直角梯形两条边,如图中梯形O1OCC1. 变式训练2 已知正四棱台的上底面、下底面的面积分别为4,16,一侧面面积为12,分别求该棱台的斜高、高、侧棱长. 解 如图,设O',O分别为上底面、下底面的中心,即OO'为正四棱台的高,E,F分别为B'C',BC的中点,所以EF⊥B'C',即EF为斜高.由上底面面积为4,上底面为正方形,可得B'C'=2.同理可得,BC=4. 因为四边形BCC'B'的面积为12, 所以 ×(2+4)·EF=12,所以EF=4. 过点B'作B'H⊥BC交BC于点H, 则BH=BF-B'E=2-1=1,B'H=EF=4. 探究点三　多面体表面距离最短问题 【例3】 如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4, ∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值. 解 将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值. 因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°, 所以∠AVA1=90°. 又VA=VA1=4,所以AA1=4 , 所以△AEF周长的最小值为4 . 规律方法　本题是多面体表面上两点间的最短距离问题,常常要归结为求平面上两点间的最短距离问题.解决此类问题的方法就是先把多面体侧面展开,再用平面几何的知识来求解. 变式训练3如图,在以O为顶点的三棱锥中,过点O的三条棱,任意两条棱的夹角都是30°,在一条棱上有A,B两点,OA=4,OB=3,以A,B为端点用一条绳 子紧绕三棱锥的侧面一周,求此绳在A,B之间的最短绳长. 解 作出三棱锥的侧面展开图,如图.A,B两点之间的最短绳长就是线段AB的长度.由题知,OA=4,OB=3,∠AOB=90°,所以AB=5,即此绳在A,B之间最短绳长为5. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)多面体的概念; (2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征. 2.方法归纳:举反例法、定义法、数形结合. 3.常见误区:对棱柱、棱锥、棱台定义的理解. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.下面多面体中,是棱柱的有(　　) A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 B 解析 由棱柱的三个特征:有两个面相互平行;其余各面是四边形;侧棱相互平行.题设各多面体中⑥⑦不完全符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合.故选B. 1 2 3 4 5 2.(多选)下列说法中,正确的是(　　) A.有一个底面为多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体是棱锥 B.用一个平面去截棱锥,棱锥底面与截面之间的部分是棱台 C.棱柱的侧面都是平行四边形,而底面不是平行四边形 D.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形 AC 1 2 3 4 5 3.三棱柱的平面展开图是(　　) B 1 2 3 4 5 4.正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,侧棱长为9,则棱台的斜高等于　　　　　.  1 2 3 4 5 四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体 解 作出正三棱锥如图,SO为其高,连接AO,作OD⊥AB于点D,则点D为AB的中点.在Rt△ADO中,AD=,∠OAD=30°,故AO=. 在Rt△SAO中,SA=2,AO=,故SO==3,故正三棱锥的高为3. 在Rt△B'BH中,BB'=. 同理,在直角梯形O'OFE中,可得O'O=. 综上,该正四棱台的侧棱长为,斜高为4,高为. 4 解析 棱台的侧面是一个梯形,上底为5,下底为7,侧棱长为9,由勾股定理得h==4. 5.正四棱锥的高为,侧棱长为,求斜高的长. 解 如图所示,在正四棱锥S-ABCD中,高SO=,侧棱SA=SB=SC=SD=.在Rt△SOA中, 有OA==2, 所以AB=BC=CD=DA=2. 作OE⊥AB于点E,则E为AB的中点,连接SE, 则SE为斜高.在Rt△SOE中,OE=BC=,SO=, 所以SE=,即斜高的长为. $$