6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（第1课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 3　空间点、直线、平面之间的位置关系 第1课时　关于平面的3个基本事实和推论 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.通过长方体这一常见的几何体,体会点、直线、平面之间的位置关系. 2.会用数学符号表示点、线、面的位置关系. 3.掌握平面的基本性质(3个基本事实和3个推论),并能应用其解决点、线、面位置关系的判断和共点、共线、共面等问题的证明. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　点、直线、平面之间的关系 类型 位置关系 图形表示 符号表示 点与直线的位置关系 点B在直线a上   B∈a 点A在直线a外 　　  点与平面的位置关系 点A在平面α内   　　  点B在平面α外 B∉α A∉a A∈α 类型 位置关系 图形表示 符号表示 直线与直线的位置关系   即不平行又不相交的两条直线在空间中存在,在平面几何中不存在 相交   a∩b=O 不相交   或   　 　  a∩b=⌀ 类型 位置关系 图形表示 符号表示 直线与平面的位置关系 直线在平面内   a⊂α 直线与平面相交   a∩α=A 直线与平面平行   　　  a∥α 类型 位置关系 图形表示 符号表示 平面与平面的位置关系 平面与平面平行   　　  平面与平面相交   α∩β=a α∥β 名师点睛 1.在用符号语言表示点、线、面的关系时,要分清是属于元素和集合的关系,还是集合之间的关系,一般点看成元素,线和面看成点的集合. 2.直线与平面平行和直线与平面相交统称为直线在平面外,即 3.点、线的位置关系用图示表示时可以用平面衬托,线面或面面位置关系的图示表示时要注意线的虚实,被遮挡的要画成虚线或不画. 过关自诊 把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. (1)A∉α,a⊂α　　　　　.  (2)α∩β=a,P∉α,且P∉β　　　　　.  (3)a∩α=A　　　　　.  (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O　　　　　.  C D A B 知识点二　平面的基本性质及其推论 1.平面的基本性质 基本事实 内容 图形表示 符号表示 基本事实1 过不在一条直线上的 　　　　　　,有且只有一个平面   　　　　唯一性   若A,B,C三点不共线,则存在唯一的平面α使A,B,C∈α 基本事实2 如果一条直线上的 　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内    若A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α,则l⊂α 三个点 两个点 基本事实 内容 图形表示 符号表示 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有 　　　　　条过该点的公共直线   　唯一性   P∈α,P∈β⇔α∩β=l,且P∈l,其中l表示一条直线 一 2.三个推论 推论 内容 图形表示 推论1 一条直线和该直线外一点确定一个平面   推论2 两条相交直线确定一个平面   推论3 两条平行直线确定一个平面   名师点睛 三个基本事实的作用 (1)基本事实1:①确定一个平面;②判断两个平面重合;③证明点、线共面. (2)基本事实2:①判断直线是否在平面内,点是否在平面内;②用直线检验 平面. (3)基本事实3:①判断两个平面相交;②证明点共线;③证明线共点. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.(　　) (2)两个平面α,β有一个公共点A,就说α,β相交于A点,记作α∩β=A.(　　) (3)空间不同的三点确定一个平面.(　　) (4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.(　　) × × × × 2.[人教A版教材习题]下列命题正确的是(　　) A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面 C.圆心和圆上两点可确定一个平面 D.梯形可确定一个平面 D 解析 A错误,因为三点可能共线,也可能不共线;B错误,因为点可能在直线上,也可能不在直线上;C错误,因为圆上两点可能是直径的端点,此时三点共线. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　图形语言、文字语言、符号语言的相互转换 【例1】 (1)若点A在直线b上,b在平面β内,则点A,直线b,平面β之间的关系用符号可以记作　　　　　　　　.  A∈b,b⊂β,A∈β (2)用符号表示下列语句,并画出图形. ①点A在平面α内但在平面β外; ②直线a经过平面α内一点A,α外一点B; ③直线a在平面α内,也在平面β内. 解①A∈α,A∉β.(如图①) ②a∩α=A,B∉α,B∈a.(如图②) ③α∩β=a.(如图③) 规律方法　三种语言转换方法:用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线及相互之间的位置关系,试着用文字语言表示,再用符号语言表示. 变式训练1用符号表示下列语句,并画出图形. (1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B. (2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上. 解 (1)用符号表示α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图. (2)用符号表示A∈α,B∈α,a∩α=C,C∉AB,如图. 探究点二　证明点、线共面 【例2】 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面. 解 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证明:(方法一)纳入平面法 因为l1∩l2=A,所以l1和l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又l2⊂α,所以B∈α. 同理可证C∈α.因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α. 所以直线l1,l2,l3在同一平面内. (方法二)辅助平面法 因为l1∩l2=A,所以l1,l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以l2,l3确定一个平面β. 因为A∈l2,l2⊂α,所以A∈α. 因为A∈l2,l2⊂β,所以A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.所以不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 变式探究把本例中的“不过同一点”删掉呢?这三条直线是否共面? 解 ①不一定共面. 若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图. 这三条直线不共面.如图. ②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由本例可知,这三条直线共面. 规律方法　证明点、线共面问题的理论依据是基本事实1和基本事实2,常用方法有: (1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”; (2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”; (3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”. 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明. 探究点三　证明点共线 【例3】 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线. 证明 (方法一)因为AB∩α=P,所以P∈AB,P∈平面α.又AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC. 所以由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上, 所以P,Q,R三点共线. (方法二)因为AP∩AR=A, 所以直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R,所以平面APR∩平面α=PR. 因为B∈平面APR,C∈平面APR,所以BC⊂平面APR. 因为Q∈BC,所以Q∈平面APR.又Q∈α, 所以Q∈PR,所以P,Q,R三点共线. 规律方法　点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上. 变式训练2 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线. 证明 因为MN∩EF=Q, 所以Q∈直线MN,Q∈直线EF, 又因为M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以M,N∈平面ABCD, 所以MN⊂平面ABCD.所以Q∈平面ABCD. 同理,可得EF⊂平面ADD1A1.所以Q∈平面ADD1A1. 又因为平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, 所以Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线. 探究点四　证明线共点 【例4】 如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于三条直线,即α∩β=c,β∩γ=a, γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点. 证明 因为α∩γ=b,β∩γ=a,所以a⊂γ,b⊂γ. 因为直线a和b不平行,所以a,b必相交. 如图所示,设a∩b=P, 则P∈a,P∈b. 因为a⊂β,b⊂α,所以P∈β,P∈α. 又α∩β=c,所以P∈c,即交线c经过点P. 所以a,b,c三条直线必过同一点. 规律方法　证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点. 变式训练3如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,且四边形EFGH为梯形,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 证明 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O, 因为HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH,所以EH,FG共面,且与FG不平行. 因为O∈EH,EH⊂平面ABD,所以O∈平面ABD, 因为O∈FG,FG⊂平面BCD,所以O∈平面BCD. 因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以O∈BD, 所以EH,BD,FG三条直线相交于同一点O. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)点、线、面之间的位置关系; (2)空间点、线、面位置关系的公理及推论. 2.方法归纳:同一法、纳入法. 3.常见误区:三种语言的相互转换(符号语言,图形语言,文字语言). 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 1.(多选)下列命题中错误的是(　　) A.空间三点可以确定一个平面 B.三角形一定是平面图形 C.若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则平面α和平面β重合 D.四条边都相等的四边形是平面图形 ACD 解析 对于A:若空间中三点共线,则无法确定平面,故A错误; 对于B:三角形一定是平面图形,故B正确; 对于C:若A,B,C,D既在平面α内,又在平面β内,则此四点可能在平面α与平面β的交线上,无法确定平面α和平面β是否重合,故C错误; 对于D:四条边都相等的四边形可能是空间四边形,故D错误. 1 2 3 4 5 2.如果点A在直线a上,而直线a在平面α内,点B在平面α内,则可以表示为(　) A.A⊂a,a⊂α,B∈α B.A∈a,a⊂α,B∈α C.A⊂a,a∈α,B⊂α D.A∈a,a∈α,B∈α B 1 2 3 4 5 3.如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α经过D,E两点,若直线AB与平面α的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是　　　　.  P∈DE 解析 因为P∈AB,AB⊂平面ABC,所以P∈平面ABC.又P∈α,平面ABC∩平面α=DE,所以P∈DE. 1 2 3 4 5 4.经过同一条直线上的3个点的平面有　　　　　个.  无数 1 2 3 4 5 5.若l1∥l2,l3与l1,l2分别相交于点C,B.求证:l1,l2,l3在同一平面内. 证明 因为l1∥l2, 所以l1,l2确定一个平面记为α. 因为l1∩l3=C,所以C∈l1. 因为l1⊂α,所以C∈α. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2.因为l2⊂α,所以B∈α. 因为B∈l3,C∈l3,所以l3⊂α,即l1,l2,l3在同一平面内. 直线与平面的位置关系 $$