6.3 空间点、直线、平面之间的位置关系（第2课时）课件-2024-2025学年高一下学期数学北师大版（2019）必修第二册

第六章　立体几何初步 3　空间点、直线、平面之间的位置关系 第2课时　基本事实4、异面直线、等角定理 北师大版 数学 必修第二册 目录索引 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.掌握基本事实4及等角定理的含义及作用,能解决有关平行或角度的证明问题. 2.掌握异面直线所成角的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角. 3.理解空间四边形的结构特点,并能找出与平面四边形的异同. 基础落实·必备知识全过关 知识点一　基本事实4 1.文字表述:平行于同一条直线的两条直线　　　　　　.这一性质通常称为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  名师点睛 基本事实4说明把平行线的传递性推广到空间也能成立,这个基本性质是判断两条直线平行的重要方法之一,其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线. 互相平行 空间平行线的传递性 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)平行线的传递性只适用于平面几何中.(　　) (2)若直线m不平行于直线n,直线n不平行于直线p,则直线m和直线p有可能平行.(　　) 2.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系 是(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.平行　 B.相交　 C.异面　 D.不确定 × √ A 解析 因为a∥b,b∥c,所以a∥c.又c∥d,所以a∥d. 知识点二　空间两直线的位置关系 1.异面直线 定义:不同在任何一个平面内(不共面)的两条直线.   也可理解为:“不存在这样的平面使两条直线都在此平面内” 2.空间两条直线的位置关系有且只有三种: 名师点睛 1.异面直线的画法(衬托平面法) 如图①②③所示,为了表示异面直线不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托. 2.判断两直线为异面直线的方法 (1)定义法;(2)两直线既不平行也不相交. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)没有公共点的两条直线是异面直线.(　　) (2)两直线若不是异面直线,则必相交或平行.(　　) (3)如果直线a与直线b是异面直线,直线b与直线c也是异面直线,那么直线a与直线c也一定是异面直线.(　　) (4)四个顶点不在同一平面内,且边长相等的四边形是不存在的.(　　) × √ × × 2.已知α,β为不同的平面,a,b,c为不同的直线,下列说法正确的是(　　) A.若a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线 B.若a,b都与c相交,且a,b没有公共点,则a∥b C.若a,b不同在平面α内,则a与b是异面直线 D.若a,b不同在任何一个平面内,则a与b是异面直线 D 解析 若a⊂α,b⊂β,则a与b可能平行,可能相交,也可能异面,故A错误;a与b可能平行,也可能异面,故B错误;若a,b不同在平面α内,则a与b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;由异面直线的定义,知D正确. 知识点三　等角定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 图形语言   符号语言 AC∥A'C',AB∥A'B'⇒∠BAC=∠B'A'C'或∠BAC+∠B'A'C'=180° 作用 判断或证明两个角相等或互补 名师点睛 1.空间等角定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变. 2.由空间等角定理可得,如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行,那么这两组直线所成的角相等. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行.(　　) (2)如果两个角的对应边互相平行,且方向都相反,则两个角互补.(　　) 2.空间两个角A与B的两边对应平行,A=60°时,B的大小为多少? × × 提示 ∵空间两个角A与B的两边对应平行, ∴这两个角相等或互补.又A=60°,∴B=60°或120°. 知识点四　异面直线所成的角 定义 前提 两条异面直线a,b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b,这时a',b'共面 结论 我们把a'与b'所成的　　　　　　　　　称为异面直线a,b所成的角(或夹角)  特殊 情况 若两条异面直线a,b所成的角是直角,则称这两条直线互相垂直,记作: 　　　  不大于90°的角 a⊥b 名师点睛 1.若两条异面直线a,b所成的角为θ,则θ的范围为0°<θ≤90°; 2.求解两条异面直线所成的角的过程体现了把空间图形问题平面化的化归数学思想. 过关自诊 1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(　　) (2)两直线若不是异面直线,则必相交或平行.(　　) (3)两条直线无公共点,则这两条直线平行.(　　) (4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(　　) (5)有两组对边相等的四边形是平行四边形.(　　) (6)异面直线所成的角一定为锐角.(　　) × √ × × × × 2.一条直线与两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是(　)　　　　　　　　　　　　　 A.平行或异面 B.相交或异面 C.异面 D.相交 B 解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与BC是异面直线.又AA1∥BB1,AA1∥DD1,∴BB1∩BC=B,DD1与BC是异面直线.故选B. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　基本事实4的应用 【例1】 如图所示,点P是△ABC所在平面外一点,点D,E分别是△PAB和△PBC的重心.求证:DE∥AC,DE= AC. 证明 如图所示,连接PD,PE,并延长分别交AB,BC于点M,N. 因为点D,E分别是△PAB,△PBC的重心, 所以M,N分别是AB,BC的中点. 规律方法　空间中证明两条直线平行的方法 (1)借助平面几何知识,如三角形的中位线性质、平行四边形的性质、成比例的线段平行. (2)利用基本事实4,即证明两条直线都与第三条直线平行. 变式训练1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱A1A,C1C的中点,求证:四边形MBND1为平行四边形. 证明 取B1B的中点P,连接C1P,MP. 因为N为C1C的中点, 由正方体的性质知C1N PB, 所以四边形C1PBN为平行四边形, 所以C1P BN. 又M,P分别为A1A,B1B的中点,所以MP A1B1. 又由正方体的性质知A1B1 C1D1,所以MP C1D1, 所以四边形D1MPC1为平行四边形, 所以C1P MD1.所以MD1 BN, 所以四边形MBND1为平行四边形. 探究点二　异面直线的判定 【例2】 如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体,那么NC,DE,AF,BM这四条线段所在的直线中是异面直线的有多少对?试以其中一对为例进行证明. 解 将展开图还原为正方体(如图). 直线NC与直线DE,直线NC与直线AF,直线NC与直线BM,直线DE与直线AF,直线DE与直线BM,直线AF与直线BM,都是异面直线,共有6对. 以直线NC与直线AF是异面直线为例证明如下: (方法一)连接BE,若NC∥AF, 则由NC∥BE,可知AF∥BE, 这与直线AF与直线BE相交矛盾. 故直线NC与直线AF不平行. 若直线NC与直线AF相交,则平面ABFE与平面CDNM有公共点,这与正方体的性质矛盾.故直线NC与直线AF不相交. 所以直线NC与直线AF异面. (方法二)连接BE,如图, 因为直线NC⊂平面BCNE, 直线AF∩平面BCNE=O. O∉直线NC,所以直线NC与直线AF异面. 规律方法　判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交. (2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线(如图). 变式训练2如图,G,H,M,N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有　　　　(填序号).  ②④ 解析 如题干图①中,GH∥MN. 图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN, 因此直线GH与MN异面. 图③中,连接GM,则GM∥HN, 因此,GH与MN共面. 图④中,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,因此GH与MN异面. 所以图②,④中GH与MN异面. 探究点三　等角定理的应用 【例3】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证: (1)四边形BB1M1M为平行四边形; (2)∠BMC=∠B1M1C1. 证明 (1)在正方形ADD1A1中,M,M1分别为AD,A1D1的中点,所以A1M1∥AM,且A1M1=AM, 所以四边形AMM1A1是平行四边形,所以A1A∥M1M,且A1A=M1M. 又因为A1A∥B1B,且A1A=B1B,所以M1M∥B1B,且M1M=B1B, 所以四边形BB1M1M为平行四边形. (2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形,所以B1M1∥BM. 同理可得四边形CC1M1M为平行四边形,所以C1M1∥CM. 由平面几何知识可知,∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. 所以∠BMC=∠B1M1C1. 变式探究将本例中的条件“M,M1分别是棱AD和A1D1的中点”改为“M,N分别是棱CD,AD的中点”,其他条件不变,求证: (1)四边形MNA1C1是梯形; (2)∠DNM=∠D1A1C1. 证明 (1)如图,连接AC, 在△ACD中,因为M,N分别是CD,AD的中点,所以MN是△ACD的中位线,所以MN∥AC,MN= AC. 由正方体的性质,得AC∥A1C1,AC=A1C1. 所以MN∥A1C1,且MN= A1C1,即MN≠A1C1, 所以四边形MNA1C1是梯形. (2)由(1)可知MN∥A1C1,又因为ND∥A1D1, 所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角, 所以∠DNM=∠D1A1C1. 规律方法　有关证明角相等的问题,一般采用下面三种途径: (1)利用等角定理. (2)利用三角形相似. (3)利用三角形全等. 本例是通过第一种途径来实现的. 探究点四　异面直线所成的角 【例4】 在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,求EF与AB所成角的大小. 解 如图所示,取AC的中点G,连接EG,FG, 则EG∥AB且EG= AB, GF∥CD且GF= CD. 由AB=CD知EG=FG,从而可知∠GEF为EF与AB所成的角,∠EGF或其补角为AB与CD所成的角. ∵AB与CD所成的角为30°,∴∠EGF=30°或150°. 由EG=FG知△EFG为等腰三角形, 当∠EGF=30°时,∠GEF=75°; 当∠EGF=150°时,∠GEF=15°, 故EF与AB所成角的大小为15°或75°. 规律方法　1.异面直线一般依附于某几何体,所以在求异面直线所成的角时,首先将异面直线平移成相交直线,而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点. 2.要特别注意平移所得的角可能是异面直线所成角的补角,这是由异面直线所成角的范围是(0°,90°]决定的. 变式训练3在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求: (1)直线AB与A1D1所成的角; (2)直线AD1与DC1所成的角. 解 (1)因为A1B1∥AB,所以∠D1A1B1就是异面直线AB与A1D1所成的角(或其补角). 因为∠D1A1B1=90°, 所以直线AB与A1D1所成的角为90°. (2)如图,连接AB1,B1D1. 因为AB1∥DC1, 所以直线AB1与AD1所成的角即直线DC1与AD1所成的角. 又因为AD1=AB1=B1D1, 所以△AB1D1为正三角形, 所以直线AD1和AB1所成的角为60°, 即直线AD1与DC1所成的角为60°. 探究点五　对空间四边形的认识 【例5】 如图,设E,F,G,H分别是四面体A-BCD的棱AB,BC,CD,DA上的点, (1)当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形; (2)当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形. 又因为λ=μ,所以EH=GF. 所以四边形EFGH是平行四边形. (2)由(1)知EH∥GF,又因为λ≠μ,所以EH≠GF. 所以四边形EFGH是梯形. 规律方法　因空间图形往往包含平面图形,故在解答与空间四边形有关的问题时,常借助平面几何中的有关性质或定理. 变式训练4已知空间四面体ABCD中,AB≠AC,BD=BC,AE是△ABC的边BC上的高,DF是△BCD的边BC上的中线,判定AE与DF的位置关系. 解 由已知,得E,F不重合.设△BCD所在平面为α,则DF⊂α,A∉α,E∈α,E∉DF,所以AE与DF异面. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)基本事实4; (2)空间两直线的位置关系; (3)等角定理; (4)两异面直线所成的角. 2.方法归纳:构造法、转化与化归思想. 3.常见误区:(1)容易忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°;(2)等角定理应用时往往忽视两角互补的情况. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 1.(多选)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,与AA1不是异面直线的 有(　　) A.AB B.BB1 C.DD1 D.B1C1 ABC 解析 由异面直线的定义知,与AA1异面的直线应为B1C1,其他选项与AA1均为平行或相交的位置关系. 1 2 3 4 2.下列结论中正确的是(　　) ①在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行;②平行于同一条直线的两条直线平行;③一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交;④空间中有四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c. A.①②③ B.②④ C.③④ D.②③ B 解析 ①错误,两条直线可以异面; ②正确,平行的传递性; ③错误,和另一条直线可以相交也可以异面; ④正确,平行线的传递性. 1 2 3 4 3.如图所示,在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中,A1C1与B1D1相交于点O,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有(　　) A.3条 B.4条 C.5条 D.6条 B 解析 EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1. 1 2 3 4 4.如图,在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形. 1 2 3 4 证明 连接BD. 由题意知EH是△ABD的中位线, 所以EH∥BD,且EH= BD. 同理,FG∥BD,且FG= BD. 因此EH FG.故四边形EFGH为平行四边形. 2.符号表达:⇒a∥c. 连接MN,则MN∥AC,且MN=AC.① 在△PMN中,因为, 所以DE∥MN,且DE=MN.② 由①②,根据基本事实4,得DE∥AC,且DE=MN=AC=AC. 且=λ,=μ,求证: 证明 (1)因为=λ,所以EH∥BD, 所以=λ.同理,GF∥BD,=μ.所以EH∥GF. $$