专题01 一元二次方程的解法【挑战压轴题】（尖子生拔高卷）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册培优专题真题讲练

2024-2025学年苏科版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题01 一元二次方程的解法 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52（较难） 题目来源：江苏省各地名校真题 班级： 姓名： 学号： 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•宿城区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 2．（2分）（2023秋•梁溪区期末）如图，点是三边均不等的三条角平分线的交点，过作，分别交、于、两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．没有实数根 3．（2分）（2023•沛县校级一模）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2分）（2023•仪征市二模）设实数、、满足，则代数式的最大值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 5．（2分）（2023秋•南京期末）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 6．（2分）（2023秋•宜兴市月考）如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为　　 A．， B．； C．； D．； 7．（2分）（2023秋•玄武区期中）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 8．（2分）（2023秋•天宁区校级月考）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 9．（2分）（2023秋•宿城区月考）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 10．（2分）（2024•宿城区校级二模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•宿豫区三模）请填写一个常数，使得关于的方程　　有两个不相等的实数根． 12．（2分）（2010秋•工业园区校级月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　　． 13．（2分）（2015春•武进区校级月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 14．（2分）（2024•泗洪县三模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为 　　． 15．（2分）（2024•沭阳县校级一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　　． 16．（2分）（2024•常熟市模拟）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，若，且，则的值为 　　． 17．（2分）（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式、是常数）配成是常数）的形式，则的最小值是 　　． 18．（2分）（2021秋•灌南县校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是　　． 19．（2分）（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　　． 20．（2分）（2019秋•兴化市校级月考）已知，那么　　． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•锡山区校级一模）解方程与不等式组： （1）； （2）． 22．（6分）（2018•盐都区校级开学）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求的取值范围． 23．（8分）（2024•靖江市一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔花拉子米在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． （1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①　　； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积． ， 将代入， 可得②　　． ， ③　　． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； （2）请参照上述方法解方程． 24．（8分）（2023秋•沛县月考）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）有最小值 　　． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 25．（8分）（2023秋•大丰区期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 26．（8分）（2024春•广陵区校级月考）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当　　时，代数式的最小值是 　　； （2）知识运用：若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （3）知识拓展：若，求的最小值． 27．（8分）（2017秋•江都区期中）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当　　时，代数式有最 　　（填写大或小）值为 　　． （2）当　　时，代数式有最 　　（填写大或小）值为 　　． （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 28．（8分）（2023秋•宜兴市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得：． ， ， ． 直接开平方并整理，得．，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． ， ． 直接开平方并整理，得．，． 上述过程中的、、、表示的数分别为　　，　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科版数学九年级上册【挑战压轴题】培优专题真题培优卷 专题01 一元二次方程的解法 检测时间：120分钟 试题满分：100分 难度系数：0.52（较难） 题目来源：江苏省各地名校真题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）（2023秋•宿城区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 解：， ， ，即， 故选：． 2．（2分）（2023秋•梁溪区期末）如图，点是三边均不等的三条角平分线的交点，过作，分别交、于、两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实数根 B．一定有两个不相等实数根 C．有两个实数根，但无法确定是否相等 D．没有实数根 解：是的平分线， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 设， 则， ，分别是，的平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， 即， 同理可证：， ， 即， ， 即， ，，， ， ， 关于的方程的根的判别式△， △， 关于的方程没有实数根． 故选：． 3．（2分）（2023•沛县校级一模）关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是　　 A．4 B．5 C．6 D．7 解：方程有实数根， △， 解得：． 故选：． 4．（2分）（2023•仪征市二模）设实数、、满足，则代数式的最大值是　　 A．6 B．8 C．10 D．12 解： ． 故的最大值是8． 故选：． 5．（2分）（2023秋•南京期末）一元二次方程的解是　　 A． B． C．， D．， 解：， ， ， 解得：，． 故答案为：． 6．（2分）（2023秋•宜兴市月考）如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为　　 A．， B．； C．； D．； 解：二次三项式能分解成的形式， ，， 解得：，， 即方程的两个根为，， 故选：． 7．（2分）（2023秋•玄武区期中）一元二次方程配方后可化为　　 A． B． C． D． 解：， ， ． 故选：． 8．（2分）（2023秋•天宁区校级月考）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 解：△， 方程有两个不相等的实数根， 故选：． 9．（2分）（2023秋•宿城区月考）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， ， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则， 若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或 或 故④正确． ⑤令，则存在实数、，使得；正确． 故选：． 10．（2分）（2024•宿城区校级二模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 11．（2分）（2024•宿豫区三模）请填写一个常数，使得关于的方程　　有两个不相等的实数根． 解：设括号中的未知数是，则， 关于的方程有两个不相等的实数根， △， 解得， 可以等于， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（2分）（2010秋•工业园区校级月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　且　． 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， △， 即， 解这个不等式得，， 又二次项系数是， 故得取值范围是且． 故答案为：且． 13．（2分）（2015春•武进区校级月考）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　且　． 解：有两个不相等的实数根， △，且， 解得且； 故答案为：且． 14．（2分）（2024•泗洪县三模）若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则实数的值为 　　． 解：根据题意得△， 解得， 即的值为． 故答案为：． 15．（2分）（2024•沭阳县校级一模）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 　2　． 解：一元二次方程有两个相等的实数根， △，且， 解得：， 故答案为：2． 16．（2分）（2024•常熟市模拟）我们规定：若，，，，则．例如，，则．已知，，若，且，则的值为 　　． 解：根据题意知：， ， △， ， ， ． 故答案为：． 17．（2分）（2024•宝应县一模）在数学课上，老师要求同学们将一个关于字母的二次三项式、是常数）配成是常数）的形式，则的最小值是 　　． 解：， ，， ， 当时，有最小值， 即， 故答案为：． 18．（2分）（2021秋•灌南县校级月考）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是　14　． 解：解方程得：或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为， 故答案为：14． 19．（2分）（2019秋•滨湖区期末）已知关于的方程、、为常数，的解是，，那么方程的解　，　． 解：关于的方程的解是，，，，均为常数，， 方程变形为，即此方程中或， 解得或． 故答案为：，． 20．（2分）（2019秋•兴化市校级月考）已知，那么　4　． 解：设，则， 整理，得 ， 解得或（舍去）， 则． 故答案为：4． 三．解答题（共8小题，满分60分） 21．（6分）（2024•锡山区校级一模）解方程与不等式组： （1）； （2）． 解：（1）移项得，， 配方得，， 即， 解得：，； （2）， 解不等式①得． 解不等式②得， 故不等式组的解集为：． 22．（6分）（2018•盐都区校级开学）已知关于的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求的取值范围． （1）证明：△， ，即△， 此方程总有两个实数根， （2）解： 解得，， 此方程有一个根大于0且小于1， 而， ， 即． ， 即的取值范围为：． 23．（8分）（2024•靖江市一模）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表，宽代表，长方形的面积代表．大约于公元830年，阿尔花拉子米在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解． （1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解，并形成以下操作步骤： 第一步：将方程变形成； 第二步：构造边长为的正方形（如图； 第三步：求得右下角正方形面积的值是①　4　； 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积． ， 将代入， 可得②　　． ， ③　　． 请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容； （2）请参照上述方法解方程． 解：（1）， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：4；16；2； （2）第一步：将方程变形成， 第二步：构造边长为的正方形（如图）， 第三步：求得右下角正方形面积的值是6.25， 第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积 ， 将代入， 可得 ， ． 24．（8分）（2023秋•沛县月考）阅读下列材料： ，我们把形如“”或“”的多项式叫做完全平方式，因为是一个数的平方，具有非负性，我们常利用这一性质解决问题，这种解决问题的思路方法叫做配方法．例如．可知当，即时，有最小值，最小值是2，根据阅读材料，用配方法解决下列问题： （1）有最小值 　3　． （2）当，为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． （3）已知，，为的三边，且满足，试判断此三角形的形状． 解：（1） ， ，即时，有最小值，最小值是3； 故答案为：3． （2）由题意得， ， 当，时，多项式有最小值5； （3）由题意得， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 25．（8分）（2023秋•大丰区期中）已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 解：（1）是等腰三角形； 理由：把代入方程得，则，所以为等腰三角形； （2）为直角三角形； 理由：根据题意得△，即，所以为直角三角形； （3）为等边三角形， ， 方程化为，解得，． 26．（8分）（2024春•广陵区校级月考）我们已经学习了乘法公式的多种运用，可以运用所学知识解答：求代数式的最小值．解答如下： 解：， ，当时，的值最小，最小值是0， ，当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题． （1）知识再现：当　2　时，代数式的最小值是 　　； （2）知识运用：若，当　　时，有最 　　值（填“大”或“小” ，这个值是 　　； （3）知识拓展：若，求的最小值． 解：（1）， 当时，有最小值11； 故答案为：2，11； （2）， 当时有最大值； 故答案为：3，大，； （3）， ， ， ， 当时，的最小值为． 27．（8分）（2017秋•江都区期中）用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当　　时，代数式有最 　　（填写大或小）值为 　　． （2）当　　时，代数式有最 　　（填写大或小）值为 　　． （3）矩形花园的一面靠墙，另外三面的栅栏所围成的总长度是，当花园与墙相邻的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 解：（1）， 当时，的最小值为0， 则当时，代数式的最小值为4； （2）代数式， 则当时，代数式的最大值为5； （3）设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为， 花园的面积为， 则当边长为4米时，花园面积最大为． 故答案为：（1），小，4； （2）1，大，5； 28．（8分）（2023秋•宜兴市月考）小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程． 解：原方程可变形，得：． ， ， ． 直接开平方并整理，得．，． 我们称小明这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：． ， ． 直接开平方并整理，得．，． 上述过程中的、、、表示的数分别为　5　，　　，　　，　　． （2）请用“平均数法”解方程：． 解：（1）原方程可变形，得：． ， ． 直接开平方并整理，得．，． 上述过程中的、、、表示的数分别为5、、、， 故答案为：5、、、； （2）原方程可变形，得：． ， ． ， ， 直接开平方并整理，得．， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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