2.3 确定圆的条件（知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练）-2024-2025学年苏科版数学九年级上册核心考点培优讲练

2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.3 确定圆的条件 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：三角形外接圆的说法辨析 3 考点讲练2：求三角形外心坐标 5 考点讲练3：求特殊三角形外接圆的半径 7 考点讲练4：已知外心的位置判断三角形的形状 8 考点讲练5：判断三角形外接圆的圆心位置 10 考点讲练6：判断确定圆的条件 12 考点讲练7：确定圆心（尺规作图） 13 考点讲练8：求能确定的圆的个数 15 考点讲练9：画圆（尺规作图） 16 中等题真题汇编练 17 培优题真题汇编练 22 新知精讲梳理 知识点01：确定圆的基本条件 圆心与半径：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定。因此，要确定一个圆，必须同时知道圆心和半径。 经过一点的圆： 知识点：经过一个已知点可以作无数个圆。因为圆心可以在该点以外的任意位置，半径则为圆心到该点的距离，这样的圆有无数个。 经过两点的圆： 知识点：经过两个已知点A、B也可以作无数个圆。这些圆的圆心位于线段AB的垂直平分线上，因为垂直平分线上的任意一点到A、B两点的距离都相等，可以作为圆心，而半径则为圆心到A（或B）的距离。 经过不在同一直线上的三点的圆： 核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。这是因为，要同时满足这三个点到圆心的距离相等，圆心必须是这三个点构成的三角形的三边垂直平分线的交点，且半径为圆心到这三个点中任意一点的距离。这样的圆是唯一的。 知识点02：三角形的外接圆与内接三角形 外接圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心称为三角形的外心，这个三角形则称为圆的内接三角形。 外心的性质： 外心是三角形三边垂直平分线的交点。 外心到三角形的三个顶点的距离相等。 知识点03：例题与练习 通常，为了加深理解，该节还会包括一些例题和练习，如： 例题：给定三角形的三个顶点坐标，求其外接圆的圆心和半径。 练习：通过尺规作图，作出给定三个点的外接圆，并标出外心的位置。 知识点04：实际应用 确定圆的条件不仅在数学理论中有重要意义，还在实际应用中发挥着作用，如建筑设计、工程制图、机械制造等领域中，经常需要根据给定的点来确定圆的位置和大小。 高频易错知识点拨 易错知识点01：对“确定”一词的理解 易错点：学生可能将“确定”一词简单地理解为“存在”，而忽视了其“唯一性”。 解析：在“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一定理中，“确定”的含义是“存在且唯一”。即，只有这三个点不在同一直线上时，它们才能唯一确定一个圆。如果三个点在同一直线上，则无法确定一个圆，因为这样的圆有无数个或根本不存在。 易错知识点02：对圆心和半径的理解 易错点：学生可能忽视圆心和半径在确定圆中的关键作用。 解析：圆心和半径是确定圆的两个基本要素。圆心决定了圆的位置，而半径决定了圆的大小。在作图或解题时，必须同时考虑这两个因素。例如，在作经过两个已知点的圆时，学生需要意识到这些圆的圆心位于这两点连线的垂直平分线上，而半径则是圆心到这两点中任意一点的距离。 易错知识点03：对三角形外接圆和内接三角形的理解 易错点：学生可能混淆外接圆和内接三角形的概念。 解析：三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的圆，外接圆的圆心称为三角形的外心。而圆的内接三角形则是其顶点都在圆上的三角形。这两个概念是相对的，学生需要明确它们之间的区别和联系。 易错知识点04：对垂直平分线的理解 易错点：学生可能不熟悉垂直平分线的性质，导致在作图或解题时出错。 解析：垂直平分线是一条经过某条线段中点，并且垂直于这条线段的直线。在作经过两个已知点的圆时，需要利用这两个点连线的垂直平分线来确定圆心。因此，学生需要熟练掌握垂直平分线的性质和作图方法。 易错知识点05：对实际应用的忽视 易错点：学生可能认为确定圆的条件仅仅是一个理论问题，而忽视了其在实际生活中的应用。 解析：确定圆的条件在建筑设计、工程制图、机械制造等领域中都有广泛的应用。学生应该意识到这些知识点的实用性和重要性，并尝试将其应用到实际生活中去。 考点讲练1：三角形外接圆的说法辨析 【精讲题】（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 【举一反三练2】（2021·浙江宁波·一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【举一反三练3】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）在和中，，，，连接和，将绕点A旋转（始终在所在直线的右侧范围内旋转），也随之运动．    (1)如图1，在绕点A旋转过程中，当时，求的度数； (2)如图2，当点D恰好是的外心时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 考点讲练2：求三角形外心坐标 【精讲题】（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 【举一反三练2】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的并写出 的坐标 (2)请画出关于原点对称的 (3)连接，则外接圆的圆心 ． (4)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标 ． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． (1)把绕点顶时针旋转后得到对应的，请画出旋转后的： (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)若点为的外心，请直接写出点的坐标______． 考点讲练3：求特殊三角形外接圆的半径 【精讲题】（2024九年级·全国·竞赛）在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【举一反三练1】（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ． 【举一反三练2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是 ．    【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 考点讲练4：已知外心的位置判断三角形的形状 【精讲题】（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【举一反三练1】（21-22九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为 ． 【举一反三练2】（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 考点讲练5：判断三角形外接圆的圆心位置 【精讲题】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中，将绕点A顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D，E分别是点B，C的对应点）． (2)在图2中，请用无刻度直尺找出过A，B，C三点的圆的圆心，标出圆心O的位置． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，某器具表面为，，工人师傅想在器具表面上安装一块圆板，使得这个圆板恰好覆盖住．    (1)尺规作图：作该圆板的圆，标记圆心字母（保留作图痕迹，可用黑色笔加粗痕迹，不写作法）； (2)若，，该圆板是由一个正方形板截得，求所需正方形板的边长至少多长？ 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 考点讲练6：判断确定圆的条件 【精讲题】（22-23九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【举一反三练1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）任意三点可以确定一个圆 （4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线 （5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练3】（22-23九年级上·广东广州·期末）在正方形中，点在射线上（不与A、重合），连接，以为对角线作正方形（、、、按逆时针排列），连接、． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)由正方形的性质可知，即，两点均在以为直径的同一个圆上，请直接回答：_________； (3)如备用图，当点在线段上时，判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 考点讲练7：确定圆心（尺规作图） 【精讲题】（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【举一反三练1】（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，； (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 【举一反三练3】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的 (2)作出关于y轴对称的 (3)用尺规作图的方法确定下列圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． 考点讲练8：求能确定的圆的个数 【精讲题】（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【举一反三练1】（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三练2】．（22-23九年级上·北京大兴·期末）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【举一反三练3】（22-23九年级下·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 考点讲练9：画圆（尺规作图） 【精讲题】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法） 【举一反三练1】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，请用尺规作图法，作，使点在上，且经过两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．    (1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由． (2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径． 【举一反三练3】（20-21九年级上·陕西渭南·期中）如图，利用尺规作，使为的直径．（保留作图痕迹，不写作法）    中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 7．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）正方形中，点是边上的一个动点，连接的角平分线交边于点，若于点，连接，给出下面四个结论： ①点在外接圆上； ②当时，存在点，使得为等腰直角三角形； ③； ④当取得最小值时，满足． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 8．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 9．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ． 10．（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图法求作使与的交点D到圆心C的距离最短（不写作法，保留作图痕迹）． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分． (1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）． (2)找出圆的心（保留作图痕迹）． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图①，在中，，，边上的高为4，点E是边上一动点． (1)尺规作图：请在图①中作菱形，使点F，G在边上．（不写做法，保留作图痕迹） (2)聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围． 培优题真题汇编练 14．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 15．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，点为上一点，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 16．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 17．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 18．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于 ． 19．（22-23九年级上·山东烟台·期末）把一条长2m的铁丝折成顶角为的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为 m． 20．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 21．（22-23九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为 ． 22．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，已知．     (1)请利用直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)仅用无刻度的直尺，在上找两点D、E，使它们与点A、点B构成矩形． 23．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)请在图1中画出绕点A顺时针旋转后得到的； (2)请在图2中画出的外接圆的圆心O．（保留画图过程痕迹） 24．（2023·江苏宿迁·三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点； (2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (3) 【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 25．（20-21九年级上·广东深圳·期末）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年苏科新版数学九年级上册同步培优核心考点讲练【第2章《对称图形—圆》】 2.3 确定圆的条件 （知识精讲+易错点拨+九大考点讲练+难度分层真题练） 新知精讲梳理 1 高频易错知识点拨 2 考点讲练1：三角形外接圆的说法辨析 3 考点讲练2：求三角形外心坐标 8 考点讲练3：求特殊三角形外接圆的半径 16 考点讲练4：已知外心的位置判断三角形的形状 20 考点讲练5：判断三角形外接圆的圆心位置 24 考点讲练6：判断确定圆的条件 28 考点讲练7：确定圆心（尺规作图） 32 考点讲练8：求能确定的圆的个数 37 考点讲练9：画圆（尺规作图） 39 中等题真题汇编练 42 培优题真题汇编练 54 新知精讲梳理 知识点01：确定圆的基本条件 圆心与半径：圆的位置由圆心确定，圆的大小由半径确定。因此，要确定一个圆，必须同时知道圆心和半径。 经过一点的圆： 知识点：经过一个已知点可以作无数个圆。因为圆心可以在该点以外的任意位置，半径则为圆心到该点的距离，这样的圆有无数个。 经过两点的圆： 知识点：经过两个已知点A、B也可以作无数个圆。这些圆的圆心位于线段AB的垂直平分线上，因为垂直平分线上的任意一点到A、B两点的距离都相等，可以作为圆心，而半径则为圆心到A（或B）的距离。 经过不在同一直线上的三点的圆： 核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆。这是因为，要同时满足这三个点到圆心的距离相等，圆心必须是这三个点构成的三角形的三边垂直平分线的交点，且半径为圆心到这三个点中任意一点的距离。这样的圆是唯一的。 知识点02：三角形的外接圆与内接三角形 外接圆：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心称为三角形的外心，这个三角形则称为圆的内接三角形。 外心的性质： 外心是三角形三边垂直平分线的交点。 外心到三角形的三个顶点的距离相等。 知识点03：例题与练习 通常，为了加深理解，该节还会包括一些例题和练习，如： 例题：给定三角形的三个顶点坐标，求其外接圆的圆心和半径。 练习：通过尺规作图，作出给定三个点的外接圆，并标出外心的位置。 知识点04：实际应用 确定圆的条件不仅在数学理论中有重要意义，还在实际应用中发挥着作用，如建筑设计、工程制图、机械制造等领域中，经常需要根据给定的点来确定圆的位置和大小。 高频易错知识点拨 易错知识点01：对“确定”一词的理解 易错点：学生可能将“确定”一词简单地理解为“存在”，而忽视了其“唯一性”。 解析：在“不在同一直线上的三个点确定一个圆”这一定理中，“确定”的含义是“存在且唯一”。即，只有这三个点不在同一直线上时，它们才能唯一确定一个圆。如果三个点在同一直线上，则无法确定一个圆，因为这样的圆有无数个或根本不存在。 易错知识点02：对圆心和半径的理解 易错点：学生可能忽视圆心和半径在确定圆中的关键作用。 解析：圆心和半径是确定圆的两个基本要素。圆心决定了圆的位置，而半径决定了圆的大小。在作图或解题时，必须同时考虑这两个因素。例如，在作经过两个已知点的圆时，学生需要意识到这些圆的圆心位于这两点连线的垂直平分线上，而半径则是圆心到这两点中任意一点的距离。 易错知识点03：对三角形外接圆和内接三角形的理解 易错点：学生可能混淆外接圆和内接三角形的概念。 解析：三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的圆，外接圆的圆心称为三角形的外心。而圆的内接三角形则是其顶点都在圆上的三角形。这两个概念是相对的，学生需要明确它们之间的区别和联系。 易错知识点04：对垂直平分线的理解 易错点：学生可能不熟悉垂直平分线的性质，导致在作图或解题时出错。 解析：垂直平分线是一条经过某条线段中点，并且垂直于这条线段的直线。在作经过两个已知点的圆时，需要利用这两个点连线的垂直平分线来确定圆心。因此，学生需要熟练掌握垂直平分线的性质和作图方法。 易错知识点05：对实际应用的忽视 易错点：学生可能认为确定圆的条件仅仅是一个理论问题，而忽视了其在实际生活中的应用。 解析：确定圆的条件在建筑设计、工程制图、机械制造等领域中都有广泛的应用。学生应该意识到这些知识点的实用性和重要性，并尝试将其应用到实际生活中去。 考点讲练1：三角形外接圆的说法辨析 【精讲题】（22-23九年级上·河北石家庄·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．垂直于半径的直线是圆的切线 B．过三点一定可以作圆 C．优弧一定大于劣弧 D．任意三角形一定有一个外接圆 【答案】D 【思路点拨】本题考查判断命题的真假，涉及切线的判定、圆的确定、弧的定义、三角形的外接圆，熟练掌握相关知识是解答的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【规范解答】解：A、垂直于半径并且垂足在圆上的直线是圆的切线，故本选项假命题，不符合题意； B、过不在同一直线上的三点一定可以作圆，故本选项假命题，不符合题意； C、在等圆或同圆中，优弧一定大于劣弧，故本选项假命题，不符合题意； D、任意三角形一定有一个外接圆，故本选项真命题，符合题意； 故选：D． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江台州·阶段练习）数学活动课上，九（1）班同学在研究（）和等腰（）的外接圆时，有以下发现： 小明说“当时，这两个三角形的外接圆是等圆”； 小刚说“当，时，这两个三角形的外接圆是等圆”． 你认为说法正确的是（    ） A．小明对小刚不对 B．小刚对小明不对 C．小明小刚都对 D．小明小刚都不对 【答案】A 【思路点拨】本题主要考查了三角形外接圆的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、三角形三边关系，记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2），设，则，，证明，，再证明，即可判断小明的说法，画出图形，利用三角形三边关系即可判断小刚的说法，得到答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【规范解答】解：如图， ， 记外接圆圆心为（如图1），外接圆圆心为（如图2）， 设，则， 为等腰三角形， 在底边的垂直平分线上， 由等腰三角形的三线合一可得：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，故小明说法正确， 如图，当，时，由三角形三边关系可得：，故小刚说法错误， 故选：A． 【举一反三练2】（2021·浙江宁波·一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．    (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高等知识是解题的关键． （1）如图所示，连接，可得是等腰三角形，根据直角三角形可求出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，由此即可求解； （2）如图所示，过点作与点，根据等面积法可求出的值，根据勾股定理，等腰三角形的性质即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，连接，    ∵点在圆上， ∴，即是等腰三角形， ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，过点作与点，    ∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，是等腰三角形， ∴， 在中，， ∴，即． 【举一反三练3】（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）在和中，，，，连接和，将绕点A旋转（始终在所在直线的右侧范围内旋转），也随之运动．    (1)如图1，在绕点A旋转过程中，当时，求的度数； (2)如图2，当点D恰好是的外心时，连接，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为菱形, 理由见解析 【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出的度数, 由利用“两直线平行，同旁内角互补”可求出的度数，结合即可求出的度数； （2）先证明，利用全等三角形的性质即可证出，由外心的定义可得出, 结合可得出, 进而可证出四边形为菱形. 【规范解答】（1）∵, ， ∵, ∴, ∴； （2）四边形为菱形, 理由如下: ∵, ∴, 即. 在和中, ， ∴, ∴. ∵点为的外心, ∴. 又∵, ∴, ∴四边形为菱形. 【考点评析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质、三角形的外心以及菱形的判定，解题的关键是三角形全等的判定方法. 考点讲练2：求三角形外心坐标 【精讲题】（2024·浙江绍兴·二模）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系． (1)过，，三点的圆的圆心坐标为______； (2)请通过计算判断点与的位置关系． 【答案】(1) (2)在圆外 【思路点拨】本题考查了垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系，根据垂径定理得出圆心位置是解答本题的关键． （1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，由图形可得的坐标； （2）分别求出和的长度进行比较即可作出判断． 【规范解答】（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点， 是过，，三点的圆的圆心，    ． （2），，， ，， ， 点在的外部． 【举一反三练1】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）如图，平面直角坐标系中有4个点：，，，． (1)在正方形网格中画出的外接圆，圆心M的坐标是______； (2)若是的一条长为4的弦，点G为弦的中点，求的最大值； 【答案】(1)见解析， (2)6 【思路点拨】本题考查作图应用与设计，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）分别找出线段及线段的垂直平分线，它们的交点即为圆心，再画出的外接圆即可解决问题； （2）当点在线段延长线上时最大，此时， 【规范解答】（1）如图所示；； 故答案为． （2）连接，，，， 点为弦的中点，， ， ， ， ， 点在以为圆心，1为半径的圆上， 当点在线段延长线上时最大，此时， ， 的最大值为； 【举一反三练2】（23-24九年级上·山东济宁·期中）如图，三个顶点的坐标分别为． (1)在图中画出绕原点O逆时针旋转后的并写出 的坐标 (2)请画出关于原点对称的 (3)连接，则外接圆的圆心 ． (4)在x轴上求作一点P，使的周长最小，并直接写出点P的坐标 ． 【答案】(1)见解析，的坐标为 (2)见解析 (3) (4) 【思路点拨】（1）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形； （2）作出三点旋转后的对应点，依次连接得到三角形； （3）由旋转可得，则是外接圆的直径，根据中点坐标解题即可； （4）作点C关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，点P即为所求，求出直线与x轴的交点坐标即可． 【规范解答】（1）如图所示，即为所作，的坐标为； （2）如上图，即为所作； （3）由旋转可得，， ∴是外接圆的直径，即的中点是外接圆的圆心， 又∵ ∴， ∴外接圆的圆心坐标为：，即为， 故答案为：； （4）作点C关于x轴的对称点D，连接交x轴于点P，点P即为所求， 由对称可得D点坐标为， 设直线的解析式为，代入得： ，解得：， ∴， 令，则，解得， ∴点P的坐标为， 故答案为：．    【考点评析】本题是基本作图题，考查作图-旋转变换、作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，三角形的外接圆，熟练掌握基本作图的方法是解答的关键． 【举一反三练3】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别三个是，，． (1)把绕点顶时针旋转后得到对应的，请画出旋转后的： (2)把绕原点旋转后得到对应的，请画出旋转后的； (3)若点为的外心，请直接写出点的坐标______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路点拨】（1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据中心对称的性质作图即可； （3）作出的外心点P，由图直接写出点P的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所画； （2）解：如图所示，即为所画； （3）解：作边、的垂直平分线相交于P，如图， 则点P为的外心的外心， 由图可得点的坐标为． 【考点评析】本题考查旋转作图，中心对称作图，三角形的外心，点的坐标，熟练掌握旋转作图与中心对称作图，三角形的外心是解题的关键． 考点讲练3：求特殊三角形外接圆的半径 【精讲题】（2024九年级·全国·竞赛）在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和，则它的外心到直角顶点的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】此题考查了勾股定理、直角三角形外心、直角三角形斜边中线的性质等知识，用勾股定理求出斜边长，再根据直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到答案． 【规范解答】解：在一个直角三角形中，两直角边的长度分别为和， 斜边长， ∵直角三角形的外心为斜边的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴该直角三角形的外心到直角顶点的距离为． 故选：B 【举一反三练1】（2023·江苏常州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，且，点A从点O开始沿x轴的正方向移动，点B在平分线上移动，则点C到原点O的最大距离是 ． 【答案】/ 【思路点拨】本题考查了矩形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造直角三角形是本题的关键． 作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H，由直角三角形的性质可求的长，由勾股定理可求的长，由三角形的三边关系可求解． 【规范解答】解：点B在平分线上移动， ， 如图，作的外接圆，连接，过点N作，交的延长线于H， ， ， ， ， ， ， ， ， 当点N在上时，有最大值为， 的最大值为， 故答案为：． 【举一反三练2】（22-23九年级上·浙江台州·期末）如图，正方形的边长为2，点E为边的中点，以为边分别作等腰和等腰，其中，延长交于点F，连结，则线段的最大值是 ．    【答案】 【思路点拨】先根据等腰三角形的性质可以得到，进而得到，即在以为斜边向上作等腰的外接圆上运动，所以当过圆心O时最大，进而计算即可解题． 【规范解答】， ， ，， ， ，为定值．以为斜边向上作等腰    在以O为圆心为半径的圆上， 当过圆心O时最大， 正方形的边长为2， ， ， ． 【考点评析】本题属于几何中的隐圆问题，涉及正方形的性质，等腰三角形的性质和圆周角、圆心角定理，对于线段最值的求解问题，可观察所求线段是否过某一定点或是绕某一定点旋转，如若具有此特点，可先分析运动过程，对动点的运动轨迹进行研究，否则可考虑设未知量，引入函数模型，利用条件最值来解决．本题所求线段中点E为定点且绕点E运动，因此得到点F的运动轨迹是解决本题的关键． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．    (1)尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【思路点拨】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案； （2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案． 【规范解答】（1）解：如图所示：    即为所求； （2）解：如图所示：    于，且，， ， 在中，，则， 在中，，则， 设，则，即，解得， （1）中所作外接圆的半径． 【考点评析】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键． 考点讲练4：已知外心的位置判断三角形的形状 【精讲题】（2022·广西玉林·中考真题）如图，在网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是的外心，在不添加其他字母的情况下，则除外把你认为外心也是O的三角形都写出来 ． 【答案】△ADC、△BDC、△ABD 【思路点拨】先求出△ABC的外接圆半径r，再找到距离O点的长度同为r的点，即可求解． 【规范解答】由网格图可知O点到A、B、C三点的距离均为：， 则外接圆半径， 图中D点到O点距离为：， 图中E点到O点距离为：， 则可知除△ABC外把你认为外心也是O的三角形有：△ADC、△ADB、△BDC， 故答案为：△ADC、△ADB、△BDC． 【考点评析】本题考查了外接圆的性质、勾股定理等知识，求出△ABC的外接圆半径r是解答本题的关键． 【举一反三练1】（21-22九年级上·内蒙古通辽·期中）如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为 ． 【答案】85°/85度 【思路点拨】根据题意利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案． 【规范解答】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC， ∴∠OAC=35°，AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA=35°， ∴∠AOC=110°， ∵△OCP为正三角形， ∴∠COP =60°， ∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°， ∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°． 故选：85°． 【考点评析】本题主要考查三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC=∠OCA=35°是解题的关键． 【举一反三练2】（2022·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路点拨】（1）根据点D和点E同时出发，速度相同，得出，即可用证明； （2）根据，得出，即可求解； （3）分别求出当时，和当时，的度数，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 【考点评析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【举一反三练3】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）． (1)在图1中作出的外心D； (2)图2中D是的中点，作出边上的点F（不与点B重合），使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． （1）如图1中，分别作及的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求． （2）如图2中，过点A作的垂线，垂足即为点F，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一亲，可得． 【规范解答】（1）如图1，点D即为的外心； （2）如图2，点F即为所作； 考点讲练5：判断三角形外接圆的圆心位置 【精讲题】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C． (1)请完成以下操作： ①以点为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系； ②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心，并连接、； (2)请在（1）的基础上，完成下列填空：的半径为 ；点在 ；（填“上”、“内”、“外”） 的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)，上，90° 【思路点拨】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形的性质，勾股定理以及逆定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据题意建立平面直角坐标系即可；作两条弦的垂直平分线，垂直平分线的交点即为圆心． （2）利用勾股定理、点与圆的位置关系、先判断，即可判断； 【规范解答】（1）解：①平面直角坐标系如图所示： ②解：圆心点，如图所示； （2）解：的半径， 点到圆心的距离半径， 点在上． ，，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：，上，． 【举一反三练1】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图． (1)在图1中，将绕点A顺时针方向旋转，作出经旋转后的．（其中点D，E分别是点B，C的对应点）． (2)在图2中，请用无刻度直尺找出过A，B，C三点的圆的圆心，标出圆心O的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了旋转作图，三角形外接圆的圆心．熟练掌握旋转作图，三角形外接圆的圆心是解题的关键． （1）根据旋转的性质作图即可； （2）根据三角形外接圆的圆心为三角形任意两边垂直平分线的交点进行作图即可． 【规范解答】（1）解：如图（1），就是所求作的三角形． （2）解：如图（2），作线段的垂直平分线，交点O即为所求． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广西河池·期末）如图，某器具表面为，，工人师傅想在器具表面上安装一块圆板，使得这个圆板恰好覆盖住．    (1)尺规作图：作该圆板的圆，标记圆心字母（保留作图痕迹，可用黑色笔加粗痕迹，不写作法）； (2)若，，该圆板是由一个正方形板截得，求所需正方形板的边长至少多长？ 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查三角形的外接圆作法和勾股定理的应用、圆周角定理，熟知三角形的外接圆圆心是边的线段垂直平分线的交点是解答的关键． （1）可根据圆周角定理得是直径，作的垂直平分线，则垂足O即为圆心，以；也可分别作线段、的垂直平分线，交点O即为圆心，以O为圆心，为半径画圆即可； （2）利用勾股定理求得，根据正方形板的边长至少为该圆板的直径即可求解． 【规范解答】（1）解：如图，圆O即为所求：       法一 法二 （2）解：∵，，， ∴， ∴所需正方形板的边长至少． 【举一反三练3】（23-24九年级上·浙江温州·期中）如图在的方格中有一个格点（顶点都在格点上）． (1)在图1中画出格点外接圆的圆心，并保留作图痕迹． (2)在图2中找到一个格点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查作图﹣应用与设计作图、三角形的外接圆与外心、等腰直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）分别作线段，的垂直平分线，相交于点，则点即为外接圆的圆心； （2）由图可得，取格点，使，且，则，即． 【规范解答】（1）如图1，点即为所求； （2）如图2，点即为所求． 考点讲练6：判断确定圆的条件 【精讲题】（22-23九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)不能． 【思路点拨】（1）根据平移的性质可得答案； （2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可； （3）根据A、B、E三点共线可得答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可得，A、B、E三点共线， ∴经过A，B，E三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 【考点评析】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键． 【举一反三练1】（23-24九年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中，正确的个数是（    ） （1）相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 （2）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 （3）任意三点可以确定一个圆 （4）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线 （5）圆是中心对称图形，对称中心是圆心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．熟练掌握圆的性质是解题的关键． 根据圆心角、弧、弦的关系对（1）进行判断；根据垂径定理的推论对（2）进行判断；根据不在同一直线上的三点可以确定一个圆判断（3），根据对称轴的定义对（4）（5）进行判断． 【规范解答】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以（1）错误； 平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以（2）错误； 任意不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以（3）错误； 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径所在的直线，所以（4）正确； 圆是中心对称图形，对称中心是圆心，所以（5）正确； 故正确的个数是2个， 故选：B． 【举一反三练2】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 【规范解答】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【考点评析】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 【举一反三练3】（22-23九年级上·广东广州·期末）在正方形中，点在射线上（不与A、重合），连接，以为对角线作正方形（、、、按逆时针排列），连接、． (1)如图，当点在线段上时，求证：； (2)由正方形的性质可知，即，两点均在以为直径的同一个圆上，请直接回答：_________； (3)如备用图，当点在线段上时，判断、、三条线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)45 (3)，理由见详解 【思路点拨】（1）证明，从而命题得证； （2）证得点、、、共圆，从而得出结论； （3）作交于，，进一步命题得证； 【规范解答】（1）证明：四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：， 点、、、共圆， ； 故答案为：45； （3）解：如图1， ，理由如下： 作交于， ， ， ， 由（1）（2）知：，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【考点评析】本题考查了正方形性质，全等三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 考点讲练7：确定圆心（尺规作图） 【精讲题】（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD 和边长为4的大正方形 EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案． 【规范解答】解：由题意可知，，， 取的中点，则，， 连接，，， 由勾股定理可得：，， ∴， 即：点为、、三点所作圆的圆心， 则该圆的半径为， 故答案为：． 【举一反三练1】（19-20九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A、B、C是上的三个点，． (1)圆心的坐标为______；请在图中标出圆心的位置． (2)判断点与的位置关系，并写出过程． 【答案】(1)，图见解析 (2)点D在内，证明见解析 【思路点拨】本题主要考查确定圆的条件和坐标与图形性质的知识点，点与圆的位置关系等知识，能够根据垂径定理的推论得到圆心的位置是解决问题的关键． （1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． （2）求出的半径，的长即可判断． 【规范解答】（1）解：画图如下： 由图可知：圆心是， 故答案为：； （2）解：圆的半径， 线段， 点D在内． 【举一反三练2】（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知一块破损圆形塑胶板，弧上有三点，，； (1)用尺规作图作出该破损的圆板的圆心，记为点； (2)若为等腰三角形，且，，求该圆板的半径． 【答案】(1)见解析 (2)圆板的半径为 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，勾股定理； （1）分别作线段，的垂直平分线，交点即为所求的点； （2）设交于点，根据垂径定理得出，进而勾股定理求得，设圆板的半径为，在中，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示， （2）解：如图，设交于点， ∵为等腰三角形，且，， 又， ∴垂直平分， ∴， 在中，， 设圆板的半径为，在中，， ∴ ∴ 解得：． ∴圆板的半径为． 【举一反三练3】（23-24九年级上·甘肃定西·阶段练习）在如图所示的平面直角坐标系中． (1)作出关于原点对称的 (2)作出关于y轴对称的 (3)用尺规作图的方法确定下列圆弧所在圆的圆心（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】本题考查作图一轴对称变换、中心对称变换，确定圆心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出点A、B、C关于原点对称的的点、、，然后顺次连接即可； （2）分别作出点、、关于y轴对称的点、、，然后顺次连接即可； （3）根据题意分别作出弦，的垂直平分线，交于点O，即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点O即为所求圆的圆心． 考点讲练8：求能确定的圆的个数 【精讲题】（2024·江西上饶·一模）平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的圆个，则的值不可能为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件，分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，②当三点在一直线上时，③当A、B、C、D四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时，根据不在同一直线上的三点可以画一个圆，画出图形，即可得出答案． 【规范解答】解：分为三种情况：①当四点都在同一个圆上时，如图1，此时， ②当三点在一直线上时，如图2， 分别过或或作圆，共3个圆，即， ③当四点不共圆，且其中的任何三点都不共线时， 分别过或或或作圆，共4个圆，即此时， 即不能是2， 故选：C． 【举一反三练1】（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，点均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了确定圆的条件； 根据不共线的三点确定一个圆可得答案． 【规范解答】解：经过点P、A、B；P、A、C；P、B、C可分别画出一个圆，最多可画出圆的个数为3个， 故选：C． 【举一反三练2】．（22-23九年级上·北京大兴·期末）在同一平面内，过已知A，B，C三个点可以作的圆的个数为(     ) A．0 B．1 C．2 D．0或1 【答案】D 【规范解答】分析：分两种情况讨论：①A、B、C三个点共线，不能做圆；②A、B、C三个点不在同一条直线上，有且只有一个圆． 解答：解：当A、B、C三个点共线，过A、B、C三个点不能作圆； 当A、B、C不在同一条直线上，过A、B、C三个点的圆有且只有一个，即三角形的外接圆； 故选D． 【举一反三练3】（22-23九年级下·全国·单元测试）如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作 个． 【答案】3 【思路点拨】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【规范解答】过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为3． 【考点评析】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 考点讲练9：画圆（尺规作图） 【精讲题】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，已知，请用尺规作图法，在中求作一点O，使点O为外接圆的圆心，并画出．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了尺规作图，作一个三角形的外接圆，分别作出线段、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为外接圆的圆心O，最后作出外接圆即可． 【规范解答】解：如图，点O和即为所求． 【举一反三练1】（23-24九年级上·陕西商洛·期末）如图，在中，请用尺规作图法，作，使点在上，且经过两点．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【思路点拨】本题考查了复杂作图，掌握圆的特征是解题的关键．作的垂直平分线交于O，再以O为圆心，为半径作圆即可． 【规范解答】解：即为所求． 【举一反三练2】（23-24九年级上·广东茂名·期末）如图，点A、B、C三个点不在一条直线上．    (1)那么经过A、B、C三个点可以画个圆吗？如果能，请在图中画出来（要求尺规作图，保留作图痕迹）；如果不能，说明理由． (2)分别连接、、，若是等边三角形，边长为6，求外接圆的半径． 【答案】(1)能，见解析 (2) 【思路点拨】题考查作图——复杂作图，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的外接圆，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）连接，，并作，的垂直平分线，交于点O，以O为圆心，以为半径作，即为所作； （2）根据垂径定理可以求出，，然后解直角三角形求出长即可． 【规范解答】（1）如图所示，圆O为所求圆．      （2）连接，，于点D，    ∵是等边三角形， ∴弧等于圆周长的三分之一， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 【举一反三练3】（20-21九年级上·陕西渭南·期中）如图，利用尺规作，使为的直径．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【思路点拨】作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线与的交点即为圆心O，再以O为圆心，以的长为半径画圆即可． 【规范解答】解：如图，即为所求．    【考点评析】本题主要考查了尺规作图—画圆和画线段垂直平分线，熟知相关作图方法是解题的关键． 中等题真题汇编练 1．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）下列说法正确的个数有（    ） ①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是圆的基本性质，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键． 由圆心角，弧，弦之间的关系可判断①，由三角形的外心的性质可判断②，由圆的对称轴是直线可判断③，由不在同一直线上的三点确定一个圆可判断④，从而可得答案． 【规范解答】解：①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等，说法正确，故符合题意； ②由于三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，所以三角形的外心到三角形的三边距离相等说法错误，故不符合题意； ③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴，说法正确，故符合题意； ④由于过不在同一条直线上的三点可以画一个圆，所以过三点可以画一个圆说法错误，故不符合题意． 故选：B． 2．（2024·河北保定·二模）如图，在中，，嘉嘉和淇淇通过尺规作图的方法找到的外心，作法如下： 嘉嘉： 作的垂直平分线，交于点O，点O即为的外心 淇淇： 作和的平分线，两条角平分线交于点O，点O即为的外心 对于两人的作图方法，下列说法正确的是（    ） A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．两人都正确 D．两人都错误 【答案】A 【思路点拨】本题考查作图一复杂作图，三角形的外心，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，根据直角三角形的外心是斜边的中点，由此即可判断． 【规范解答】解：三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，直角三角形的外心是斜边的中点． 嘉嘉正确，淇淇错误． 故选：A． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【规范解答】连接，，如图， ∵是的外心，、分别是、的中点， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， 故选：． 4．（2023·江苏盐城·模拟预测）有下列说法：（1）三个点确定一个圆；（2）相等的圆心角所对的弦相等；（3）等弧所对的圆心角相等；（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等；（5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形；其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路点拨】此题考查了确定圆的条件，三角形外心的性质等知识， 根据确定圆的条件对①进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据三角形外心的性质对④⑤进行判断． 【规范解答】解：（1）不共线的三个点确定一个圆，故错误； （2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误； （3）同弧或等弧所对的圆周角相等，故正确； （4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误； （5）外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确； 故选：B． 5．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为 【答案】 【思路点拨】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【规范解答】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 6．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】本题主要考查在网格中作已知直线的中垂线和勾股定理，分别作出和的中垂线，它们的交点即为圆心O，为半径能覆盖的最小圆面，利用勾股定理求得即可． 【规范解答】解：根据正方形的性质得到的中垂线，再找到的中垂线，交于点O，点O为圆心为半径即为覆盖的最小圆面，如图， 则最小圆面的半径． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）正方形中，点是边上的一个动点，连接的角平分线交边于点，若于点，连接，给出下面四个结论： ①点在外接圆上； ②当时，存在点，使得为等腰直角三角形； ③； ④当取得最小值时，满足． 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【思路点拨】根据正方形的性质和垂直判定共圆，结合同弧所对圆周角相等推出矛盾，并证明，利用得到三点共线时最短距离． 【规范解答】解：作于M，于H，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴A、D、G、E四点共圆，故①正确； ∵， 设存在点E，使得为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴矛盾，不存在，故②错误； ∵，，， ∴， ∴，故③正确； 则， 当D、G、B三点共线时，有最小值，最小值是的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 【考点评析】本题考查矩形的性质、四点共圆、角平分线性质、全等三角形的判定和性质和最短距离问题，利用同弧所对圆周角相等和证明是解题的关键． 8．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点点、点，则的外心的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．解决本题的关键是掌握外心定义． 【规范解答】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点， 点是的外心， 的外心的坐标为， 故答案为：． 9．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）的边，边的长是一元二次方程的两根，则的外接圆的半径是 ． 【答案】5 【思路点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意先解一元二次方程，由勾股定理得是直角三角形，且斜边长为10，进而根据直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一边，即可求得答案． 【规范解答】解：， ， 解得：， ， 是直角三角形，且斜边长为10， 直角三角形的外接圆的圆心在斜边上，且为斜边的中点， 的外接圆半径为， 故答案为：5． 10．（23-24九年级上·陕西安康·阶段练习）如图，在中，利用尺规作图法求作使与的交点D到圆心C的距离最短（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【思路点拨】本题主要考查了复杂作图，垂线段最短，过点C作B于点D，以点C为圆心，的长为半径画圆，则即为所作． 【规范解答】解：过点C作于点D，以点C为圆心，的长为半径画圆，则即为所作． 点C到的距离为的长，此时与的交点D到圆心C的距离最短． 11．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）学习完《垂径定理》这一节内容后，同学们学到了如何用直尺和圆规来平分一条已知弧的方法，老师接下来请小亮同学做如下四等分圆弧问题的操作： 请利用直尺和圆规四等分． 小亮的作法如下： 如图， （1）连接； （2）作的垂直平分线交于点M，交于点T； （3）分别作线段，线段的垂直平分线，交于N，P两点；那么N，M，P三点把四等分． (1)请你帮判断小亮作法是否正确；若不正确，请你利用直尺和圆规四等分所给的（保留作图痕迹）． (2)找出圆的心（保留作图痕迹）． 【答案】(1)不正确，正确作图见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题主要考查了垂径定理，确定圆心的位置： （1）利用垂径定理即可判断小亮的作法是否正确；先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点； （2）在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置． 【规范解答】（1）解：小亮作法错误，理由： 直线，平分的是线段，，但，不是，对应的圆上的弦，所以作法错误； 正确作法如下，先作线段的垂直平分线，交于M，再分别作线段的垂直平分线交于N、P，则点M、N、P即为的四等分点； （2）解：在上任取一点C，分别作线段的垂直平分线，二者的交点即为圆心的位置． 12．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）在如图所示的方格纸中存在，其中，点，，均在格点上． (1)用直尺作出的外接圆圆心． (2)若方格纸中每个小正方形的边长为1，求外接圆半径的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路点拨】本题考查了三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （1）三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，作两条边的垂直平分线，交点就是外接圆的圆心． （2）连接计算即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求． （2）解：连接． ． 故外接圆半径的长为． 13．（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图①，在中，，，边上的高为4，点E是边上一动点． (1)尺规作图：请在图①中作菱形，使点F，G在边上．（不写做法，保留作图痕迹） (2)聪明的你一定会发现，可作出的菱形的个数随着点E的位置变化而变化．请直接写出菱形的个数及对应的的长的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2)当或时，菱形的个数为0；当或时，菱形的个数为1；当时，菱形的个数为2 【思路点拨】本题考查了作图，菱形的判断，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）以A为圆心，为半径画弧与相交于G，以G为圆心，为半径画弧与（在G的右侧）相交于F，连接即可； （2）过A作于H，利用勾股定理求出，然后分别求出以A为圆心，为半径的圆经过B；菱形的顶点F和C重合时，对应的值，最后观察图形即可得出结论． 【规范解答】（1）解：如图，菱形即为所求， （答案不唯一）， 由作图知， ∵四边形是菱形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，当时，以A为圆心，为半径的圆与有唯一的交点， 如图，当时，以A为圆心，为半径的圆经过点B时，与有两个点， 过A作于H， ∴， ∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴，故符合题意； 如图，当F与C重合时，过A作于H， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴当或时，菱形的个数为0； 当或时，菱形的个数为1； 当时，菱形的个数为2． 培优题真题汇编练 14．（22-23九年级上·湖北武汉·期末）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可． 【规范解答】解：设的外心为M， 、， M必在直线上， 由图可知，线段的垂直平分线经过点， ， 如图，过点M作于点D，连接， 中，，， 由勾股定理得：， 即外接圆半径的长为． 故选D． 【考点评析】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键． 15．（20-21九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，点为上一点，，则的外接圆半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】先作辅助线，再根据三角形外接圆的性质以及垂径定理可以得到、、三者之间的关系，最后利用勾股定理求出外接圆的半径． 【规范解答】解：如图所示 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴在与中 ∴ ∴ ∴ ∴作，垂足为 则 ∴过外接圆圆心，设圆心为，连接 ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴设，则 ∴在中 即 ∴ ∴外接圆的半径为： 故选 【考点评析】本题考查的是三角形外接圆的性质，等腰三角形的性质：等边对等角，全等三角形性质和判定等相关知识点，利用三角形外接圆的性质做出辅助线是解题的关键． 16．（22-23九年级上·河北石家庄·期中）如图，为锐角三角形的外心，四边形为正方形，其中点在的外部，判断下列叙述不正确的是（    ） A．是的外心，不是的外心 B．是的外心，不是的外心 C．是的外心，不是的外心 D．是的外心，不是的外心 【答案】C 【思路点拨】根据三角形的外心得出，根据正方形的性质得出，求出，再逐个判断即可． 【规范解答】解：连接、、， 为锐角三角形的外心， ， 四边形为正方形， ， ，即不是的外心， ，即是的外心， ，即是的外心， ，即不是的外心， 故选：． 【考点评析】本题考查了正方形的性质和三角形的外心与外接圆，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：三角形的外心到三个顶点的距离相等，正方形的四边都相等． 17．（21-22九年级上·浙江宁波·期末）如图，在等边中，，点为的中点，动点分别在上，且，作的外接圆，交于点．当动点从点向点运动时，线段长度的变化情况为（    ） A．一直不变 B．一直变大 C．先变小再变大 D．先变大再变小 【答案】D 【思路点拨】由等腰三角形的性质可求ON = 1，FO=OB= GO= OH = 2，则点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求GH， 即可求解． 【规范解答】如图，连接BO， EO， FO， GO， HO，过点O作ON⊥EF于N， OP⊥GH于P， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC=60° ∴∠EOF= 120， ∵OE= OF， ON⊥EF， ∠OEF=∠OFE= 30° EN= FN=， OF= 2ON， FN =ON， ON= 1，FO= 2， OB=GO=OH=2， ∴点O在以点B为圆心，2为半径的圆上运动， ∴ OG = OH， OP⊥GH， ∴GH = 2PH， ∵PH= ∵动点E从点D向点A运动时，OP的长是先变小再变大， ∴ GH的长度是先变大再变小， 故选： D． 【考点评析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，确定点O的运动轨迹是解题的关键． 18．（2023九年级·全国·专题练习）如图，在矩形中，为的中点，为边上的任意一点，把沿折叠，得到，连接．若，，当取最小值时，的值等于 ． 【答案】 【思路点拨】点在以为圆心为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小，根据折叠的性质，得出，再根据全等三角形的性质，得出，，再根据勾股定理求出，根据折叠的性质，可知，再根据线段之间的数量关系，得出，再利用勾股定理，列出方程，解出即可得出答案． 【规范解答】解：如图所示，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时时，此时的值最小， 根据折叠的性质，， ，， 是边的中点，， ， ， ， ． 由折叠可知：， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， 解得． 故答案为：． 【考点评析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、两点之间线段最短的综合运用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 19．（22-23九年级上·山东烟台·期末）把一条长2m的铁丝折成顶角为的等腰三角形，那么这个三角形外接圆的半径为 m． 【答案】 【思路点拨】设等腰的外接圆圆心为O，连接，交于点D，则，，故，再求证是等边三角形，得，则，设，则，再由勾股定理即可求解． 【规范解答】如图，设等腰的外接圆圆心为O，连接，交于点D， 则，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由题意得：， 解得：， 即这个三角形的外接圆半径为： 故答案为：． 【考点评析】本题考查了三角形外接圆、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及勾股定理等知识，熟练掌握知识点是解题关键． 20．（21-22九年级上·江苏盐城·期中）如图，在平面直角坐标系中，点为，点为，点为．用一个圆面去覆盖，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是 ． 【答案】 【思路点拨】由题意可得，该圆为外接圆，根据垂径定理确定外接圆的圆心，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：完全覆盖这个三角形的最小圆为外接圆， 作线段的垂直平分线，如图， 可得外接圆的圆心坐标为， 半径 故答案为： 【考点评析】此题考查了三角形的外接圆，涉及了垂径定理，解题的关键是确定外接圆的圆心． 21．（22-23九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是，，是的外接圆，则点M的坐标为 ． 【答案】 【思路点拨】过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M，则，即点M的横坐标为1，再证四边形为正方形，则垂直平分，所以点M是的外心，求出直线的解析式为，把代入求得，即可求解． 【规范解答】解：如图，过点B作于E，作于F，连接，作的垂直平分线，垂足为C，交于M， ∵，垂直平分线， ∴，即点M的横坐标为1， ∵，，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴垂直平分， ∴点M是的外心， ∵， ∴，， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 故答案为：． 【考点评析】本题考查三角形外心，正方形的性质，一次函数解析式，熟练掌握三角形外心的概念是解题的关键． 22．（23-24九年级上·江苏常州·期中）如图，已知．     (1)请利用直尺和圆规，作的外接圆．（不写作法，保留作图痕迹） (2)仅用无刻度的直尺，在上找两点D、E，使它们与点A、点B构成矩形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】（1）作线段的垂直平分线，交点即为点P，以点P为圆心，为半径作圆即可； （2）根据矩形的对角线相等且互相平分的性质，连接并延长交于点D，连接并延长交于点E，则四边形即为矩形． 【规范解答】（1）如图，即为所求；    （2）矩形即为所求；    【考点评析】此题考查了作线段的垂直平分线，矩形的性质，三角形外接圆的性质，熟练掌握各图形的性质并应用是解题的关键． 23．（23-24九年级上·湖北襄阳·期中）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．    (1)请在图1中画出绕点A顺时针旋转后得到的； (2)请在图2中画出的外接圆的圆心O．（保留画图过程痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路点拨】本题考查了旋转作图，作三角形外接圆的圆心，垂直平分线的性质．熟练掌握的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点是解题的关键． （1）如图1，点向下3个格点，然后向左1个格点为，则，点向下3个格点，然后向左3个格点为，则，连接，即为所求； （2）根据的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，如图2，分别作线段的垂直平分线，交点为，点即为所求． 【规范解答】（1）解：如图1，即为所求．    （2）解：如图2，点O即为所求．    24．（2023·江苏宿迁·三模）尺规作图蕴含丰富的推理，还体现逆向思维，请尝试用无刻度的直尺和圆规完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹．    (1)【圆的作图】点P是中边上的一点，在图1中作，使它与的两边相切，点P是其中一个切点； (2)点P是中边上的一点，在图2中作，使它满足以下条件： ①圆心O在上；②经过点P；③与边相切； (3)【不可及点的作图】如图3，从墙边上引两条不平行的射线（交点在墙的另一侧，画不到），作这两条射线所形成角的平分线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路点拨】（1）根据尺规作图角平分线、垂直平分线作出结果； （2）根据尺规作图角平分线、垂直平分线、已知线段作出结果，有多种不同做法． （3）根据尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线作出结果，有多种不同做法． 【规范解答】（1）解：    ①过点作，垂足为点； ②作的平分线 交于点；   ③以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形． （2） 法1：①过点作的垂线交于点， ②在上截取， ③作交于点 （或作的平分线交于点）； ④以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法2：①过点作，垂足为点； ②作的平分线交于点； ③作的垂直平分线交于点； （或过点作交于点；或作交于点）； ④以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法3：①反向延长射线，过点作，垂足为点； ②作的平分线； ③过点作，交于点； ④作的垂直平分线交于点； （或过点作交于点）； ⑤以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法4：①在上任取一点（除外），作，垂足为点； ②以点为圆心，长为半径作⊙，交于点； ③过点作，交于点； ④过点作，交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    法5：①在上任取一点（除外），作，垂足为点； ②以点为圆心，长为半径作⊙交于点； ③连接，并延长交于点； ④过点作交于点； ⑤以点为圆心，长为半径作圆； 则⊙为所求的图形．    （3）法1：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ③同样方法，得点； ④作直线；则直线为所求的图形．    法2：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ③作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ④作直线；则直线为所求的图形．    法3：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外），连接； ②作的平分线，作的平分线，两平分线交于点； ③过点作，垂足为点； ④过点作，垂足为点；   ⑤作的平分线； 则直线为所求的图形．    法4：①在上任取一点（除外），过点作； ②作的平分线，交于点； ③作线段的垂直平分线；则直线为所求的图形．    法5：①在上任取一点（除外），在上任取一点（除外）； ②过点作，垂足为点；过点作，垂足为点；与交于点； ③作的平分线交于点，射线反向延长线交于点； ④作线段平分线；则直线为所求的图形．    法6: ①在上任取一点（除外），过点作，垂足为点； ②过点作，垂足为点； ③作的平分线交于点； ④作线段的垂直平分线； 则直线为所求的图形．    法7: ①在上任取两点、（除外），以点为圆心，长为半径作⊙； ②过点作，交⊙于点； ③连接并延长交于点； ④作线段的垂直平分线；      则直线为所求的图形． 【考点评析】本题考查了尺规作图作角平分线、作垂直平分线、作已知线段、作垂线，其中熟练运用作图方法并保留作图痕迹是解题关键． 25．（20-21九年级上·广东深圳·期末）已知等边的边长为8，点P是边上的一个动点（与点A、B不重合）． （1）如图1．当时，的面积为　　； （2）直线l是经过点P的一条直线，把沿直线l折叠，点B的对应点是点． ①如图2，当时，若直线，求的长度； ②如图3，当时，在直线l变化过程中．请直接写出面积的最大值． 【答案】（1）；（2）①；② 【思路点拨】（1）先根据等边三角形的边长为8，计算等边△ABC的面积，由同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得△PBC的面积； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O．证明△PEB是等边三角形，求出OB即可解决问题； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC，当B'、P、H共线时，△ACB′的面积最大，求出PH的长即可解决问题． 【规范解答】解：（1）如图1中， ∵等边△ABC的边长为8， ∴等边△ABC的面积=， ∵PB=3AP， ∴△BPC的面积为； 故答案为：12； （2）①如图2中，设直线l交BC于点E．连接BB′交PE于O， ∵PE∥AC， ∴∠BPE=∠A=60°，∠BEP=∠C=60°， ∴△PEB是等边三角形， ∵PB=5，且B，B′关于PE对称， ∴BB′⊥PE，BB′=2OB， ∴∠PBO=30°， ∴OP=PB=，OB=， ∴BB′=5； ②如图3中，过点P作PH垂直于AC， 由题意可得：B'在以P为圆心半径长为6的圆上运动， 当HP的延长线交圆P于点B′时面积最大， 在Rt△APH中，∵AB=8，PB=6， ∵PA=2， ∵∠PAH=60°， ∴AH=1，PH=， ∴BH=6+， ∴S△ACB′的最大值=×8×（6+）=4+24． 【考点评析】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，轴对称变换，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$