21.3 第2课时 平均变化率问题与一元二次方程　课件　2024—2025学年人教版数学九年级上册

人教版九年级（上） 第二十一章 一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 21.3 第2课时 平均变化率问题与一元二次方程 导入新课 思考 小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是 75 分，第二次月考增长了 20%，第三次月考又增长了 20%，问他第三次数学成绩是多少？ 如何解决这一问题呢？ 第一次成绩 第二次成绩 第三次成绩 75分 增长20% 增长20% 75(1 + 20%) 75(1 + 20%)(1 + 20%) 90分 108分 填空：假设某种糖的成本为每斤2元，售价为3元时，可卖100斤. (1)此时的利润w= _____; (2)若售价涨了1元，每斤利润为_____元，同时少买了10斤，销售量为_____斤，利润w=_____ (3)若售价涨了2元，每斤利润为_____元，同时少买了20斤，销售量为____斤，利润w=_____ 100元 2 90 180元 3 80 240元 讲授新课 平均变化率问题与一元二次方程 一 合作探究 (4)若售价涨了3元，每斤利润为____元， 同时少买了30斤，销售量为____斤， 利润w=______ (5)若售价涨了4元，每斤利润为____元， 同时少买了40斤，销售量为____斤， 利润w=_______ (6)若售价涨了x元，每斤利润为____元， 同时少买了____斤，销售量为_______ 斤， 利润w=__________________ 4 5 1+x 70 60 100-10x 10x 280元 300元 (1+x)×(100-10x)元 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 试一试：假设某种糖的成本每斤为2元，售价为3元时，可卖100斤.每涨1元，少卖10斤.设利润为x元，则总利润w为多少元（用含有x的式子表示出来）？ 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 涨价 售价 成本 单件利润 少卖量 销售量 总利润 3+x 3-2+x 10x 100-10x w=(3-2+x)× (100-10x) 0 1 2 3 4 x 2 2 2 2 2 2 3 3+1 3+2 3+3 3+4 0 3-2 3-2+1 3-2+2 3-2+3 3-2+4 10×4 10×3 10×2 10×1 100 100-10×1 100-10×2 100-10×3 100-10×4 w=(3-2) ×100 w=(3-2+1)× (100-10×1) w=(3-2+3)× (100-10×3) w=(3-2+4)× (100-10×4) w=(3-2+2)× (100-10×2） 总利润 （售价-进价）× 销售量= 总利润 单件利润 × 销售量 = 填空： 1. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，去年生产1吨甲种药品的成本是4650 元，则下降率是 .如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 探究归纳 7% 4324.5 下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量 2. 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，设下降率是x,则去年生产1吨甲种药品的成本是 元，如果保持这个下降率，则现在生产1吨甲种药品的成本是 元. 下降率x 第一次降低前的量 5000(1-x) 第一次降低后的量 5000 下降率x 第二次降低后的量 第二次降低前的量 5000(1-x)(1-x) 5000(1-x)2 5000(1-x) 5000(1-x)2 例1 前年生产1吨甲种药品的成本是5000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，试求甲种药品成本的年平均下降率是多少？ 解：设甲种药品的年平均下降率为x.根据题意，列方程，得 5 000 ( 1－x )2 = 3000， 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 注意 下降率不可为负，且不大于1. 练一练：前年生产1吨乙种药品的成本是6000元.随着生产技术的进步，现在生产1吨乙种药品的成本是3600元，试求乙种药品成本的年平均下降率？ 解：设乙种药品的年平均下降率为y.根据题意，列方程，得 6 000 ( 1－y )2 = 3 600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈－1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 解后反思 答：不能.绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000-3000）÷2=1000元，乙种药品成本的年平均下降额为（6000-3000）÷2=1200元，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 问题1 药品年平均下降额大能否说年平均下降率（百分数）就大呢？ 答：不能. 能过上面的计算，甲、乙两种药品的年平均下降率相等.因此我们发现虽然绝对量相差很多，但其相对量（年平均下降率）也可能相等． 问题2 从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢?也就说能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢? 问题3 你能总结出有关增长率和降低率的有关数量关系吗？ 类似地 这种增长率的问题在实际生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增长(或降低)百分率为x,增长(或降低)前的是a,增长(或降低)n次后的量是b,则它们的数量关系可表示为a(1±x)n=b(其中增长取“+”,降低取“－”). 变式1：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到0.1%） 解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为 x. 根据题意，得 解这个方程，得 答：每次降价的百分率为29.3%. 变式2:某药品两次升价，零售价升为原来的 1.2倍，已知两次升价的百分率一样，求每次升价的百分率（精确到0.1%） 解，设原价为a元，每次升价的百分率为x ， 根据题意，得 解这个方程，得 由于升价的百分率不可能是负数， 所以 (不合题意，舍去) 答：每次升价的百分率为9.5%. 例2 某公司去年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率． 解：设这个增长率为x.根据题意，得 答：这个增长率为50%. 200+200(1+x) +200(1+x)2=950 整理方程，得 4x2+12x-7=0， 解这个方程得 x1=-3.5（舍去），x2=0.5. 注意 增长率不可为负，但可以超过1. 例3：百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品要涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 分析：设商品单价为（50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x个，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)· [(50+x)－40]=8000. 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时,50+x =60，500－10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进贷量应为400；若售价为80元，则进贷量应为200个. 方法总结 总结 平均变化率： 平均增长(或降低)百分率为 x 增长(或降低) n 次前的量是 a 增长(或降低) n 次后的量是 b 链接中考 1.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是 5000 元，现在生产一吨药的成本是 4050 元.设生产成本的年平均下降率为 x，下面所列方程正确的是 （ ） A.5000(1 + x2) = 4050 B.4050(1 + x2) = 5000 C.5000(1 - x2) = 4050 D.4050(1 - x2) = 5000 C 当堂练习 基础练习 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 B 当堂练习 基础练习 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今、明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是 x，则可列方程为 .(不用化简) 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 3.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量 700 kg 的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008 kg 的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照 (1) 中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产达到 1200 kg，请通过计算说明他们的目标是否能实现. 解：(1) 设亩产量的平均增长率为 x， 依题意得 700(1 + x)² = 1008， 解得 x1 = 0.2 ，x2 = -2.2(不合题意，舍去). 答：亩产量的平均增长率为 20%. (2)1008×(1+20%) = 1209.6(kg). ∵ 1209.6 > 1200 ∴他们的目标能实现. 课后小结 ________ ________ ________ ________ 第 n 次增长 增长率问题 平均变化率问题 第一次增长 a(1 + x) 第二次增长 基数为 a，平均增长率/下降率为 x 第 n 次下降 下降率问题 第一次下降 第二次下降 a(1 + x)2 ________ a(1 + x)n ________ a(1 - x) a(1 - x)2 a(1 - x)n 布置作业 一、A组基础题： 1、课本P21复习巩固第2、3题 2、《练习册》第P19—P21 3、预习课本P20—P21（用红笔勾画出勾画出重点） 二、B组拓展题： 1、课本P21复习巩固第6、7题 2、《练习册》第P19—P21 3、预习课本P20—P21（用红笔勾画出勾画出重点）三、C组综合题： 1、课本P21复习巩固第7题，课本P25复习巩固第1题. 2、《练习册》第P19—P21 3、预习课本P20—P21（用红笔勾画出勾画出重点） $$