数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题专项训练 考向一 奇偶数列问题 1．（2023·全国II卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 3．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 4．（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 考向二 插项问题 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求． 2．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 3．（2024·河南郑州·一模）已知正项数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得，成等差数列，设数列，求数列的前项和． 4．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 考向三 最值问题 1．（2024·宁夏银川·三模）设数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值. 2．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足 (1)求数列{}的通项公式： (2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$数列：奇偶数列问题、插项问题、最值问题专项训练 考向一 奇偶数列问题 1．（2023·全国II卷）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)证明：当时，． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. （2）方法1：由（1）知，，， 当为偶数时，， ， 当时，，因此， 当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 方法2：由（1）知，，， 当为偶数时，， 当时，，因此， 当为奇数时，若，则 ，显然满足上式，因此当为奇数时，， 当时，，因此， 所以当时，. 2．（2024·江苏南京·模拟预测）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为， 所以 ， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列； （2）由（2）可得，即， ， 所以， 前项和， ， 两式相减可得， 化简可得． 3．（2024·福建厦门·三模）设为数列的前项和，已知，且为等差数列. (1)求的通项公式； (2)若，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为， 所以，即， 所以，即， 当时，， 当时，，满足上式，所以. （2）由（1）知 则 所以数列的前项和为. 4．（2024·湖南长沙·三模）若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由为“比差等数列”， 得， 从而. 设，则， 所以数列为等差数列. 因为， 所以为常数列， 因此，，即， 所以是首项为，公比为的等比数列， 因此. （2）当为偶数时， ； 当为奇数时，. 综上，. 考向二 插项问题 1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）设数列的前项和为． (1)求数列的通项公式； (2)在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数组成新数列，设为数列的前项和，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，即， 所以， 当时，符合， 所以； （2）依题意，， ， ， ︙ ． 所以， 即，① 则，② 由①②可得，， 所以． 2．（2024·云南昆明·一模）记为数列的前项和，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，，所以， 当时，， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 即. （2）由题意，，则， 记数列的前项和为， 所以. 3．（2024·河南郑州·一模）已知正项数列满足，，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)在和之间插入个数，使得，成等差数列，设数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得，即， 又数列各项为正，且，可得，即； 所以数列是以首项为，公差为的等差数列， 即； 又，所以， 两式相减可得， 所以； 当时，也符合上式，故； 所以数列和的通项公式； （2）设等差数列，的公差为， 则； 所以； 可得， ； 两式相减可得 ； 所以. 4．（2024·广东广州·二模）已知等差数列的前项和为，且为等差数列． (1)求的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，记数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为等差数列中，，又， 所以，即①， 因为为等差数列，所以， 令时，，即，则②， 结合①②，解出，则， 所以的通项公式为． （2）由题设得，即， 所以①， 则②， 由①-②得：， 所以， 因为，所以，所以，即证． 考向三 最值问题 1．（2024·宁夏银川·三模）设数列的前n项和为，已知， (1)求的通项公式； (2)记数列的前n项和为，求使得成立的n的最小值. 【答案】(1) (2)11 【详解】（1）解：当时，； 当时，由， 得， 两式相减得，即， 又，且， 所以是等比数列， 所以； （2）由（1）知：， 则数列的前n项和为， 所以不等式，即为， 即，所以， 所以使得成立的n的最小值为11. 2．（2024·福建厦门·一模）已知数列的前项和为，，当，且时，． (1)证明：为等比数列； (2)设，记数列的前项和为，若，求正整数的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)3. 【详解】（1）当时，，即， 又，故在上都成立，且， 所以是首项、公比均为2的等比数列. （2）由（1）知：，则， 所以， 则，即， 所以，可得，而，故，正整数的最小值为3. 3．（2024·云南曲靖·一模）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，其前项和为，求使得成立的的最小值． 【答案】(1)； (2)10. 【详解】（1）当时，， 所以，则，而， 所以，故是首项、公比都为2的等比数列， 所以. （2）由， 所以， 要使，即， 由且，则. 所以使得成立的的最小值为10. 4．（2022·江苏南通·模拟预测）已知正项数列{}中，，是其前n项和，且满足 (1)求数列{}的通项公式： (2)已知数列{}满足，设数列{}的前n项和为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）正项数列{}，，满足，所以， 所以数列{}是以1为首项1为公差的等差数列， 所以，所以， 当时，， 当时也成立， 所以. （2）因为 所以， 所以当为奇数时，； 当为偶数时，， 由{}递增，得， 所以的最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$