精品解析：重庆市开州区文峰初中教育集团2023-2024学年九年级上学期开学考试数学试题

开州区文峰初中教育集团2023年暑期作业检查 数学试卷 （全卷共三个大题，满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4.考试结束，由监考人员将答题卡收回. 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列各式中最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（ ） A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 4.5米 3. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 5. 估计的值应该在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 6. 八年级1班班主任从全班选出名同学参加合唱训练，已知名同学组成的合唱队成员的身高如下： 身高（cm） 人数 2 3 5 2 2 1 则该合唱队名同学的身高的众数和中位数分别是（ ） A. 160，163 B. 163，163 C. 163，164 D. 165，164 7. 已知，是一次函数图象上的点，若时，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如下图，四边形是矩形，有一动点P从点B出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，的面积S随时间t变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接，取的中点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则.以上结论正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 二次根式中x的取值范围是________． 12. 如图，O是菱形的对角线、的交点，E是的中点，连接．若，则_____． 13. 若是关于x的一次函数，则实数________． 14. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示． 测试项目 综合素质 普通话 才艺展示 测试成绩 根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5∶3∶2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为_______分． 15. 如图，在四边形中，于点E，且点E为的中点．若，，，，则四边形的面积为_______． 16. 已知关于x的分式方程有整数解，且一次函数图像经过第一、二、三象限，则整数a的值为________． 17. 如图，，四边形是正方形，若，，则的面积等于______． 18. 一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小5，个位上的数字比十位上的数字小3，则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数7241，，，是“三五律数”，此时，． （1）四位正整数6130是“三五律数”，则______． （2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的4次方，则符合条件的为______． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. （1）计算 （2）化简 20. 如图，在平行四边形中，． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ∴且_________， ∵， ∴_____________． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． ∵平分， ∴____________， ∴． ∴____________， ∴四边形是菱形． 21. 海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛．现从两队中各随红队10人比赛成机抽取10名队员的比赛成绩（百分制）作样本进行整理和分析（用x表示成绩得分，并分成四组：A．，B．，C．，D．），得到如图统计图，还知道两队的平均数都是92，红队的众数是98，蓝队成绩在D组中的数据：96，96，97，96，96，96；红队成绩在C组中的数据是：92，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数； （2）你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是多少？ 22. 某中学计划购买某种品牌的A，B两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励．若购买2盒A种型号的盲盒和1盒B种型号的盲盒需用68元；若购买1盒A种型号的盲盒和2盒B种型号的盲盒需用64元． （1）求每盒A种型号的盲盒和每盒B种型号的盲盒各多少元； （2）学校决定购买以上两种型号的盲盒共100盒，总费用不超过2240元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的盲盒？ 23. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 24. 如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（动点P在点A和点C时，的面积记为0）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； （3）根据图象直接写出当时的取值范围． 25. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，点B的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标； （3）一次函数有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程． 26. 已知，在中，，． （1）如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数； （2）如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接、，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； （3）如图3，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，猜想：之间的数量关系并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 开州区文峰初中教育集团2023年暑期作业检查 数学试卷 （全卷共三个大题，满分：150分考试时间：120分钟） 注意事项： 1.试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3.作图（包括作辅助线）请一律用黑色签字笔完成； 4.考试结束，由监考人员将答题卡收回. 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑. 1. 下列各式中最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含能开方的因数或因式，被开方数不含分母，判断即可． 【详解】解：，故不符合题意； ，故不符合题意； ，故不符合题意； ，故符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式，掌握被开方数不含能开方的因数或因式，被开方数不含分母是解题的关键． 2. 把5米长的梯子斜靠在墙上，若梯子底端离墙4米，则梯子顶端到离地面（ ） A. 2米 B. 3米 C. 4米 D. 4.5米 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理求解即可． 【详解】解：梯子的长度为5米，梯子底端离地面4米， 将梯子长度看作直角三角形的斜边，梯子底端离地面距离看作一条直角边， 梯子顶端到地面的距离为：（米）， 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理的实际应用，理解题意将实际问题转化为数字问题是解题的关键． 3. 下列算式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的加减法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的性质对每一项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴正确， 故项符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； ∵， ∴错误， 故项不符合题意； 故选． 【点睛】本题考查了二次根式的加减法运算法则，二次根式的除法运算法则，二次根式的性质，熟记对应法则是解题的关键． 4. 将字母“”，“”按照如图所示得规律摆放，依次下去，则第④个图形中字母“”的个数是（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】本题是一道关于图形变化来进行数字猜想的问题，通过归纳与总结，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2，得到其中的规律． 【详解】解：第①个图形中字母“”的个数是4， 第②个图形中字母“”的个数是6， 第③个图形中字母“”的个数是8，下一个图形中字母“”的个数是上一个图形中字母“”的个数加2， 则第④个图形中字母“”的个数是10， 故选：A． 【点睛】本题考查了从图形规律到数字猜想的问题，需要通过归纳总结，得到其中的规律需要考生细心观察，仔细求证解决本题． 5. 估计的值应该在（ ） A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的估算方法，不等式的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的估值，不等式性质的综合，掌握无理数的估算方法，不等式的性质是解题的关键． 6. 八年级1班班主任从全班选出名同学参加合唱训练，已知名同学组成的合唱队成员的身高如下： 身高（cm） 人数 2 3 5 2 2 1 则该合唱队名同学的身高的众数和中位数分别是（ ） A. 160，163 B. 163，163 C. 163，164 D. 165，164 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数，中位数的定义直接求解即可得． 【详解】解：∵身高的同学有5个，人数最多 ∴该合唱队名同学的身高的众数是， 根据中位数的定义，将所给数据从小到大排列，中位数为该组数据的第8个，第8个数为， 故选：B． 【点睛】本题考查了众数，中位数，解题的关键是掌握众数，中位数的定义． 7. 已知，是一次函数图象上的点，若时，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：一次函数， 随的增大而增大，当时，， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大． 8. 如下图，四边形是矩形，有一动点P从点B出发，沿路线绕矩形的边匀速运动，当点P到达点A时停止运动．在点P的运动过程中，的面积S随时间t变化的函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可． 【详解】解：由点P的运动可知，当点P在边上时的面积中底逐渐增大，高不变， 因为为常数，因此面积逐渐变大，且为一次函数． 由点P的运动可知，当点P在边上时的面积不变， 由点P的运动可知，当点P在边上时的面积逐渐减少， 故选：B． 【点睛】本题为动点问题的函数图象判断题，考查学生对于动点运动过程中函数图象的变化趋势的判断．解答关键是注意动点到达临界点前后的图象变化． 9. 如图，在正方形中，点E在上，点F在的延长线上．满足，连接，取的中点G，连接，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由正方形的性质得，，再由直角三角形性质得 ，，然后证明，得，，从而可证得，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∵G是的中点， ∴ ，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理，得 ， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理．利用证是解题的关键． 10. 有n个依次排列的整式：第1项是，用第1项乘，所得之积记为，将第1项加上得到第2项，再将第2项乘得到，将第2项加上得到第3项……以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，得到下列4个结论：①第4项为；②；③若第2023项的值为0，则.以上结论正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘法的规律探索．根据题干所提供的运算方法，分别计算出第2项，的值；第3项，的值，第4项，的值，第5项，的值，……由规律可判断每个结论的正误即可． 【详解】解：根据题意，第1项为，， 第2项为，， 第3项为，， 第4项为，故①正确； ，故②错误； 若第2023项的值为0，即， ∴， 即，故③正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上. 11. 二次根式中x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数． 12. 如图，O是菱形的对角线、的交点，E是的中点，连接．若，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，则，再由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 13. 若是关于x的一次函数，则实数________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的定义得到，即可得到答案． 【详解】解：是关于x的一次函数， ∴， 解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解题的关键． 14. 某校招募校园活动主持人，甲候选人的综合素质、普通话、才艺展示成绩如表所示． 测试项目 综合素质 普通话 才艺展示 测试成绩 根据实际需求，该校规定综合素质、普通话和才艺展示三项测试得分按5∶3∶2的比例确定最终成绩，则甲候选人的最终成绩为_______分． 【答案】 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义，直接求解即可． 【详解】解：甲候选人的最终成绩为 ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查加权平均数的定义（一般的，若个数，，，的权分别为，，，，则叫做这个数的加权平均数），牢记加权平均数的定义是解题的关键． 15. 如图，在四边形中，于点E，且点E为的中点．若，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，先求出的长，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：连接， 为的中点，， ∴是的垂直平分线，， ∵， ， ∵， ， ∵，， ， ∴是直角三角形，， 四边形的面积 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形． 16. 已知关于x的分式方程有整数解，且一次函数图像经过第一、二、三象限，则整数a的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】求解分式方程，注意验根，确定的值，结合一次函数图象性质，，确定值． 【详解】解： ∴， ∵原方程有整数解 ∴ 时，，舍去 ∴ ∵一次函数图像经过第一、二、三象限 ∴ ∴ 故答案为：3 【点睛】本题考查分式方程的求解，一次函数的性质，熟练掌握分式方程的求解是解题的关键． 17. 如图，，四边形是正方形，若，，则的面积等于______． 【答案】3 【解析】 【分析】延长，过点作直线的垂线，垂足为，证明，推出，求得，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长，过点作直线的垂线，垂足为， 四边形是正方形， ，， ， ，， ∴，， 在和中，， ， ， ， ， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 18. 一个四位正整数满足百位上的数字比千位上的数字小5，个位上的数字比十位上的数字小3，则称为“三五律数”，将“三五律数”的千位和十位数字组成的两位数与百位和个位数字组成的两位数的和记为，将“三五律数”的千位和百位数字组成的两位数与十位和个位数字组成的两位数的差记为例如：四位正整数7241，，，是“三五律数”，此时，． （1）四位正整数6130是“三五律数”，则______． （2）若是“三五律数”，且满足是一个正整数的4次方，则符合条件的为______． 【答案】 ①. 73 ②. 6163 【解析】 【分析】（1）根据所给的新定义进行求解即可； （2）设（，，，均为整数），则，，进而得到，再由是一个正整数的4次方，，得到是3的4次方，即，据此求解即可． 【详解】解：（1），， ∴6130是“三五律数”， ∴， 故答案为：73； （2）设（，，，均为整数）， ∴， ， ∴， ，，，均为整数 且，均为整数 是一个正整数的4次方，， ∴是3的4次方， ，即， ，， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运用，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题：（本大题8个小题，第19题8分，其余各题10分，共78分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上. 19. （1）计算 （2）化简 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据有理数的乘方、二次根式的性质进行运算即可求解； （2）根据二次根式的运算性质即可求解． 【详解】解：（1）原式； （2）原式 【点睛】本题考查有理数的乘方、二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则，正确计算． 20. 如图，在平行四边形中，． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点E，在上截取，使（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形．请补全下面的证明过程． 证明：四边形为平行四边形， ∴且_________， ∵， ∴_____________． ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴． ∵平分， ∴____________， ∴． ∴____________， ∴四边形是菱形． 【答案】（1） 图形如图所示： （2）；；；． 【解析】 【分析】（1）根据要求作出图形即可； （2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 21. 海军陆战队分蓝队、红队进行专业科目比赛．现从两队中各随红队10人比赛成机抽取10名队员的比赛成绩（百分制）作样本进行整理和分析（用x表示成绩得分，并分成四组：A．，B．，C．，D．），得到如图统计图，还知道两队的平均数都是92，红队的众数是98，蓝队成绩在D组中的数据：96，96，97，96，96，96；红队成绩在C组中的数据是：92，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求a的值，并写出蓝队样本的众数和红队样本的中位数； （2）你认为该蓝队、红队哪一个比赛成绩较更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛活动，估计参加此次比赛活动成绩优秀的人数是多少？ 【答案】（1），蓝队样本的众数为96，红队样本的中位数为93.5 （2） 我认为蓝队比赛成绩好些（一条合理即得分）， 因为蓝队的中位数96大于红队的中位数93.5； （3）人 【解析】 【分析】（1）用“1”分别减去1其他三组所占比例可得的值；根据众数的定义可得蓝队样本的众数；根据中位数的定义可得红队样本的中位数； （2）根据中位数的意义解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【小问1详解】 解：由题意得：，故， 蓝队样本中，成绩中96出现的次数为5次，97出现1次，其他的都在95分以下， ∴蓝队样本的众数为96， 红队样本A、B、C、D的人数分别为：，，，， 样本是第5和第6个数据分别为93、94， ∴红队样本的中位数为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 两队抽取的20人中此次比赛活动成绩优秀的有人， 占样本的50%，该陆战队的蓝队、红队共100人参加了此次比赛， 所以估计成绩为优秀的军人有（人）． 【点睛】本题考查读扇形统计图的能力和利用统计图获取信息的能力，正确利用统计图获取信息，作出正确的判断和解决问题是解题关键． 22. 某中学计划购买某种品牌的A，B两种型号的盲盒作为学生参加活动的奖励．若购买2盒A种型号的盲盒和1盒B种型号的盲盒需用68元；若购买1盒A种型号的盲盒和2盒B种型号的盲盒需用64元． （1）求每盒A种型号的盲盒和每盒B种型号的盲盒各多少元； （2）学校决定购买以上两种型号的盲盒共100盒，总费用不超过2240元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的盲盒？ 【答案】（1）每盒A种型号的盲盒24元，每盒B种型号的盲盒20元 （2）60盒 【解析】 【分析】（1）设每盒A种型号的盲盒x元，每盒B种型号的盲盒y元，根据题意，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可； （2）设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买盒B种型号的颜料，根据总费用不超过2240元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设每盒A种型号的盲盒元，每盒B种型号的盲盒元， 由题意得， 解得， 答：每盒A种型号的盲盒24元，每盒B种型号的盲盒20元； 【小问2详解】 解：设该中学可以购买m盒A种型号的盲盒，则可以购买盒B种型号的盲盒， 由题意得， 解得， 答：该中学最多可以购买60盒A种型号的盲盒． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意找出对应关系，正确列出二元一次方程组及一元一次不等式． 23. 在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里． （1）求点A与点B之间的距离； （2）若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）． 【答案】（1）海里 （2）最多能收到29次信号 【解析】 【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离； （2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数； 【小问1详解】 由题意，得：； ∴； ∵； ∴海里； 【小问2详解】 过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里． ∵； ∴； ∵； ∴； ∵； ∴； 则信号次数为（次）． 答：最多能收到29次信号． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键． 24. 如图，中，，，，动点P从点A出发，沿着折线匀速运动，到达C点时停止，设点P运动路程为x，的面积为y（动点P在点A和点C时，的面积记为0）． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； （3）根据图象直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象见下图； 性质：当时，y随着x的增大而增大．（任写一条性质即可） （3）和 【解析】 【分析】（1）根据题意分类讨论：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时； （2）根据函数解析式描点作出函数图象，再写出一条性质即可； （3）根据函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 当点P在边上运动时，（）， （）； 当点P在边上运动时，（）， ，（）； 综上，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由图象可得， 当时，可得一元一次不等式组，解得和． 【点睛】本题考查三角形综合应用、一次函数图象和性质，读懂题意，应用分类讨论思想写出函数关系式是解题的关键． 25. 如图，一次函数的图象交x轴于点A，，与正比例函数的图象交于点B，点B的横坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点C在y轴上，且满足，求点C的坐标； （3）一次函数有一点D，点D的纵坐标为1，点M为坐标轴上一动点，在函数上确定一点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一个情况的过程． 【答案】（1） （2）点的坐标为， （3） 解：由题意，得：点； 当点在轴上时，设； ①点的对应点为点，点的对应点为点，纵坐标都减少1，则的纵坐标为2，点在函数上， ∴； ②点的对应点为点，点的对应点为点，纵坐标都减少3，则的纵坐标为－2，点在函数上， ∴； 当点在轴上时，设； ①点的对应点为点，点的对应点为点，横坐标都增加3，则的横坐标为2，点在函数上， ∴； ②点的对应点为点，点的对应点为点，横坐标都增加1，则的横坐标为－2，点在函数上， ∴． 综上所述，点的坐标为，． 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求直线解析式即可； （2）由题意可得，求点坐标即可； （3）先得出，分当点在轴上时，设，当点在轴上时，设，每种都需要进行分类讨论． 【小问1详解】 解：∵点B在函数上，点B的横坐标为； ∴； ∵； ∴， 由题意，得， 解之，得； ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：设点C的坐标为， ∵； ∴； 则； 点的坐标为，； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． 26. 已知，在中，，． （1）如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接、，若，且，求的度数； （2）如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接、，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； （3）如图3，M为射线上一点，N为射线上一点，且始终满足，过点C作的垂线交的延长线于点P，连接，猜想：之间的数量关系并证明你的结论． 【答案】（1） （2） 证明：延长至点，使，连接． ∵， ， ∵， ， ， ． 在和中， ∴， ，． ∵， ， ， ， 即． 在和中， ， ， ． （3） 解：数量关系为：，理由如下： 过点A作交的延长线于Q． ∵， ， ． 在和中， ，． ∵， ． 又， ， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定和性质， （1）根据等边对等角得出，再由全等三角形的判定和性质得出，利用三角形内角和定理求解即可； （2）延长至点，使，连接，根据等边对等角及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质即可证明； （3）过点A作交的延长线于Q．根据全等三角形的判定得出，，再由其性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ． 在和中， ． ， 又∵，， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $