第五章　一元一次方程　单元培优试卷　2024—2025学年人教版数学七年级上册

第五章《一元一次方程》单元培优试卷（含解答） （试卷满分：120分，时间：100分钟） 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．若是方程的一个根，则值满足（   ） A． B． C． D． 2．下列关于的方程说法不正确的是（   ） A．方程的解是 B．若的解是，则的解是 C．若，，则方程的解是 D．若方程的解和方程的解相同，则 3．下面是一个被墨水污染过的方程： ，答案显示此方程的解是x=-1， 被墨水遮盖的是一个常数，则这个常数是（   ） A．2 B．﹣2 C．﹣ D． 4． 某公交车从始发站经过、、、站到达终点站，各站上、下乘客人数如下表所示 （用正数表示上车的人数，负数表示下车的人数） 站点 始发站 终点站 上车人数 15 12 7 5 0 下车人数 0 则下列说法不正确的是（   ） A．该公交车在始发站时，上车人数为14人 B．从站开出时，车内人数最多 C．从站开出时，车内人数最少 D．从站开出时，车内人数为25人 5． 若关于的一元一次方程的解为， 则关于的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 6． 一家三口准备外出旅游，甲乙两家的旅行社的报价相同，为了竞争， 甲旅行社说：“父亲买全票，其它人可享受6折优惠”． 乙旅行社说：“家庭旅行可按团体票计价，按原价的优惠”，由此可以判断（   ） A．甲比乙优惠 B．乙比甲优惠 C．甲乙收费相同 D．以上都有可能 7． 如图是某年的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置的9个数 （如3，4，5，10，11，12，17，18，19）．若用这样的矩形圈圈这张日历表的9个数， 则圈出的9个数的和不可能为下列数中的（   ） A．81 B．90 C．108 D．216 8． 按下面的程序计算，若开始输入的值x为正数，最后输出的结果为283， 则满足条件的x不同值最多有（   ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 9． 如图，长方形ABCD被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为1， 其它正方形的边长分别为a，b，c，d，则长方形ABCD的面积为（   ）    A．48 B．121 C．125 D．143 10． 如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且， 动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中， M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有（    ） ①点B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，；    ④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变． A．2个 B．1个 C．4个 D．3个 二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．） 11．当 时，方程解是？ 12 .一列火车长300米，从车头进入隧道到车尾开出隧道，需要时间1分， 车身完全在隧道里的时间为30秒，则隧道的长度为 米． 13． 已知a、b、c、d为有理数，现规定一种新运算，如， 那么当时，则x的值为 . 14． 某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为 方． 月用水量 不超过12方部分 超过12方不超过18方部分 超过18方部分 收费标准（元/方） 2 2.5 3 15． 把75拆成4个数的和，使得第一个数加4，第二个数减4，第三个数乘4，第四个数除以4， 得到的结果都相等，拆成这四个数中最大的数是 ． 16 . 若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，那么 ． 三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解下列方程 （1）2（2x﹣3）﹣3（5﹣x）＝﹣7 （2）（x﹣1）＝2﹣（x+2） 18． 甲、乙两家电器商场以同样的价格出售同样的电器，但各自推出的优惠方案不同， 甲商场规定：凡超过4000元的电器，超出的金额按80%收取； 乙商场规定：凡超过3000元的电器，超出的金额按90%收取， 某顾客购买的电器价格是x（x＞4000）元． （1）分别用含有x的代数式表示在甲、乙两家商场购买电器所付的费用； （2）当x=6000时，该顾客应选择哪一家商场购买更优惠？说明理由． （3）当x为何值时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同？ 19． 我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”． 例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”． 请根据上述规定解答下列问题： (1) 方程________“和解方程”（填“是”或“不是”）； (2) 若关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值； (3) 若关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求的值． 20 .元旦期间，七（1）班的明明、丽丽等同学随家长一同到某公园游玩， 下面是购买门票时，明明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题： (1) 明明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2) 请你帮助明明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由． (3) 购完票后，明明发现七（2）班的张小涛等8名同学和他们的12名家长共20人也来购票， 请你为他们设计出最省的购票方案，并求出此时的购票费用． 21．如图的数阵是由88个偶数组成： (1) 观察数阵中平行四边形框内的四个数之间的关系， 在数阵中任意作一个相同的平行四边形框圈出四个数， 设其中最小的数为x，那么其他三个数怎样表示？ (2) 甲同学这样圈出的四个数的和为432，你能求出这四个数吗？ (3) 乙同学想用这样的框圈出和为172的四个数，可能吗？ (4) 你能用这样的框圈出和为352的四个数吗？若能，请写出这四个数；若不能，请说明理由． 22．公园门票价格规定如下表： 购票张数 1～50张 51～100张 100张以上 每张票的价格 13元 11元 9元 某校七年级（1）、（2）两个班共104人游园，其中（1）班有40多人，但不足50人． 经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付1240元． (1) 七年级（1）、（2）班各有学生多少人？ (2) 如果两个班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？ (3) 如果七年级（1）班单独组织去游园，作为组织者的你如何购票才最省钱？请说明理由． 23 . 如图，数轴上A，B两点对应的有理数分别为xA＝﹣5和xB＝6， 动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动， 同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在B，A之间往返运动．设运动时间为t秒． (1) 当t＝2时，点P对应的有理数xP＝______，PQ＝______； (2) 当0＜t≤11时，若原点O恰好是线段PQ的中点，求t的值； (3) 我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时， 直接写出此整点对应的数． 24． 为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现： 1、 乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球， 已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈， 甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球； 乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1） 求每套队服和每个足球的价格是多少元； （2） 若城区四校联合购买100套队服和a（a＞10）个足球， 请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花发费用； （3） 在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？ 参考解答 一、选择题：本题共10题，每题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1．C 2．D 3．A 4 .C 5 .． 6 .A. 7 .D 8 .B 9 .D 10 .D 二、填空题：（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．） 11．1 12 .900 13 .-3. 14 .20 15 . 16 . 三、解答题：（本大题共8个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．解:（1）2（2x﹣3）﹣3（5﹣x）＝﹣7 去括号，可得：4x﹣6﹣15+3x＝﹣7， 移项，合并同类项，可得：7x＝14， 系数化为1，可得：x＝2． （2）（x﹣1）＝2﹣（x+2） 去分母，可得：5（x﹣1）＝20﹣2（x+2）， 去括号，可得：5x﹣5＝20﹣2x﹣4， 移项，合并同类项，可得：7x＝21， 系数化为1，可得：x＝3． 18 .解：（1）在甲商场所付的费用：4000+（x﹣4000）×80%=0.8x+800（元）， 在乙甲商场所付的费用：3000+（x﹣3000）×90%=0.9x+300（元）； （2）当x=6000时， 在甲商场所付的费用：0.8x+800=0.8×6000+800=5600（元）， 在乙甲商场所付的费用：0.9x+300=0.9×6000+300=5700（元）， ∵5700＞5600， ∴在甲商场购买更优惠； （3）根据题意可得：0.8x+800=0.9x+300， 解得：x=5000， 答：当x为5000时，在甲、乙两家商场购买所付的费用相同． 19 .（1）解：∵， ∴， ∵， ∴方程不是“和解方程”； 故答案为：不是； （2）∵关于x的一元一次方程是“和解方程”， ∴， 又∵方程的解为， ∴， 解得； （3）∵关于x的一元一次方程是“和解方程” ∴ 又∵方程的解为 ∴即： 将和代入原方程，得： 解得； 又， ∴． 20 .（1）设一共去了x个成人，则学生人， ， 解得，． ∴， 答：一共去了8个成人，4个学生； （2）买团体票更省钱， 理由：∵购买团体票时，花费为：（元）， ∵， ∴买团体票更省钱； （3）家长和学生分别购票：元； 家长和学生一起购买团体票：元； 12名家长和4名学生一起购买团体票，4名学生购买学生票： 元． ∵， ∴12名家长和4名学生一起购买团体票，4名学生购买学生票最省钱，费用为348元． 21．(1)通过观察，设其中最小的数为x，则其它三个数分别为，x+2，x+14，x+16． (2)设其中最小的数为x，则其它三个数分别为，x+2，x+14，x+16，列方程得： x+x+2+x+14+x+16=432， 解得：x=100，x+2=102，x+14=114，x+16=116， 所以这四个数分别为：100，102，114，116． (3)设其中最小的数为x，则其它三个数分别为，x+2，x+14，x+16，列方程得： x+x+2+x+14+x+16=172， 解得：x=35，不是偶数， 所以不可能 (4)不能． 设其中最小的数为x，则其它三个数分别为x+2，x+14，x+16，列方程得： x+x+2+x+14+x+16=352， 解得：x=80， x+2=82， x+14=94， x+16=96， 最小的数80在最右边的一列，它的下一个数82在下一行的第一个数位置上，96在它的正下方，故不能． 22．（1）设（1）班有x个学生，则（2）班有个学生， ∵（1）班有40多人，但不足50人， ∴（2）班学生超过50人，不足100人， ∴（1）班按照每张票的价格为13元购票，（2）班按照每张票的价格为11元购票， 由题意得：， 解得：， ∴． 故七年级（1）班有48个学生，七年级（2）班有56个学生； （2）（元）； 故如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省304元钱． （3）（元），（元）， ∴， ∴如果七年级（1）班单独组织去游园，购买51张门票最省钱． 23 . 解：(1)当t＝2时，点P对应的有理数xP＝﹣5+1×2＝﹣3， 点Q对应的有理数xQ＝6﹣2×2＝2， ∴PQ＝2﹣(﹣3)＝5． 故答案为﹣3，5； (2)∵xA＝﹣5，xB＝6， ∴OA＝5，OB＝6． 由题意可知，当0＜t≤11时，点P运动的最远路径为数轴上从点A到点B，点Q运动的最远路径为数轴上从点B到点A并且折返回到点B． 对于点P，因为它的运动速度vP＝1，点P从点A运动到点O需要5秒，运动到点B需要11秒． 对于点Q，因为它的运动速度vQ＝2，点Q从点B运动到点O需要3秒，运动到点A需要5.5秒，返回到点B需要11秒． 要使原点O恰好是线段PQ的中点，需要P，Q两点分别在原点O的两侧，且OP＝OQ，此时t≠5.5． ①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，有AP＝t，BQ＝2t． 此时OP＝|5﹣t|，OQ＝|6﹣2t|． ∵原点O恰好是线段PQ的中点， ∴OP＝OQ， ∴|5﹣t|＝|6﹣2t|， 解得t＝1或t＝． 检验：当t＝时，P，Q两点重合，且都在原点O左侧，不合题意舍去；t＝1符合题意． ∴t＝1； ②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，要使原点O恰好是线段PQ的中点，点Q必须位于原点O左侧，此时P，Q两点的大致位置如下图所示． 此时，OP＝AP﹣OA＝t﹣5，OQ＝OA﹣AQ＝5﹣2(t﹣5.5)＝16﹣2t． ∵原点O恰好是线段PQ的中点， ∴OP＝OQ， ∴t﹣5＝16﹣2t， 解得t＝7． 检验：当t＝7时符合题意． ∴t＝7． 综上可知，t＝1或7； (3)①当0＜t＜5.5时，点Q运动还未到点A，当P，Q两点重合时，P与Q相遇，此时需要的时间为：秒， 相遇点对应的数为﹣5+＝﹣，不是整点，不合题意舍去； ②当5.5＜t≤11时，点P在数轴上原点右侧，点Q已经沿射线BA方向运动到点A后折返，当P，Q两点重合时，点Q追上点P，AQ＝AP， 2(t﹣5.5)＝t，解得t＝11， 追击点对应的数为﹣5+11＝6． 故当P，Q两点第一次在整点处重合时，此整点对应的数为6． 24.解：（1）设每个足球的定价是x元，则每套队服是（x+50）元． 根据题意得  2（x+50）＝3x． 解得 x＝100．x+50＝150． 答：每套队服150元，每个足球100元． （2）到甲商场购买所花的费用为：100a+14000（元）； 到乙商场购买所花的费用为：80a+15000（元）； （3）由100a+14000＝80a+15000， 得：a＝50，所以： ①当a＝50时，两家花费一样； ②当a＜50时，到甲处购买更合算； ③当a＞50时，到乙处购买更合算． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$