【单元讲义】第三单元小数除法（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

第三单元小数除法 （知识梳理+专项练习） 1、小数除法的意义：已知两个因数的（积）与其中的一个因数，求另一个因数的运算。 如：0.6÷0.3 表示已知两个因数的积 0.6 与其中的一个因数 0.3，求另一个因数的运算。 2、小数除以整数的计算方法： 小数除以整数，先按整数除法的方法计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 3、除到被除数的末尾有余数的小数除法： （1）计算除数是整数的小数除法时，除到被除数的末尾仍有余数，根据小数的性质（小数的末尾添上 0 或去掉 0，小数的大小不变）在商的个位后点上小数点，在余数后面添 0 继续除。 （2）小数除以整数如果整数部分不够除，商写上 0，点上小数点再除。0在个位起占位作用。 二、一个数除以小数 1、除数是小数的除法的计算方法： （1）先移动除数的小数点，使它变成整数。 （2）除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数的末尾用 0 补足）。 （3）然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 易错点：如果被除数的位数 2、除法中的变化规律： （1）商不变性质：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0 除外），商不变。例如：56÷7=（56×5）÷（7×5） 56÷7=（56÷9）÷（7÷9） （2）除数不变，被除数扩大，商随着扩大。 （3）被除数不变，除数缩小，商扩大。 3、商和被除数的大小关系 （1）被除数除以一个小于 1 的除数时，商会比被除数大。 （2）被除数除以一个大 除法性质1：被除数，除数同扩同缩商不变 A÷B=(A×C)÷(B×C) A÷B=(A÷D)÷(B÷D) 除法性质2：连续除以两个数等于除以这两个数的乘积: A÷B÷C=A÷(B×C) 三、商的近似数 3、求商的近似数时，一般先除到比需要保留的小数位数多一位，在按照“四舍五入”法取商的近似值。 易错点：求近似数时，其中小数末尾的“0”不能去掉。例如:保留一位小数时，整数3要写成3.0 四、循环小数&用计算器探索规律 1、循环小数 一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 注意：循环小数必须满足两个条件，一：这个小数是无限的；二：有循环节 2、循环节 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字。如 6.3232……的循环节是 32。 3、循环小数的表示方法 写循环小数时，可以只写第一个循环节。并在这个循环节的首位和末位数字上面各记一个圆点。 4、小数的分类 小数部分的位数是有限的小数，叫做有限小数。小数部分的位数是无限的小数，叫做无限小数。 循环小数一定是无限小数 无限小数不一定是循环小数，因为无限小数包含了无限不循坏小数，无限循环小数（也叫循坏小数）。 五、解决问题 先审题，要明白题目中已知什么？要求什么？再根据其关系式进行列出算式， （列算式时多问自己为什么要这样列式）接着进行计算，在计算的过程中， 要细心、细心、再细心，最后根据实际情况决定用“进一法”还是“去尾法”。 例如一匹布可以做多少件衣服，用去尾法。 一堆苹果用多少个袋子装，用进一法。 一、选择题 1．小马虎在计算一个数除以1.8时，忘记点商的小数点，结果等于49，小马虎算的题目可能是（    ）。 A． B． C． 2．下面算式中商大于1的是（    ）。 A．0.96÷0.3 B．4.25÷5 C．0.52÷1.3 3．商大于1的算式是（　　） A．5.85÷5.9 B．2.43÷2.4 C．4.95÷5.1 4．6.273273…的循环节是（    ）。 A．273 B．6.27 C．0.273 5．下面与1.68÷2.4的结果相等的算式是（ ）． A．1.68÷24 B．0.168÷0.24 C．16.8÷24 6．24.7÷35的商是0.7，余数是（    ）。 A．2 B．0.2 C．0.02 二、填空题 7．在括号里填上“＜”“＞”或“＝”。 7.06×0.9( )7.06        4.8÷0.1( )4.8×10       8.7÷1.5( )8.7÷3.5 0.8÷0.2( )0.8×0.2     1.3×1.2( )1.2           29.7÷1.9( )29.7 8．我国人均耕地面积约0.1公顷，按我国现有人口14亿计算，我国耕地面积约是( )万公顷。我国耕地面积是日本耕地面积的2.6倍，日本耕地面积是( )万公顷。而日本人口只相当于我国人口的十分之一，日本人均耕地面积约是( )公顷，是我国人均耕地面积的( )倍。 9．根据，在括号里填上合适的数。 ( )    ( ) 10．的积是( )位小数，的商的最高位在( )位上。 11．计算除数是小数的除法时，要先根据商不变的规律，转化为( )数是( )数的除法来算，商的小数点要和( )数的小数点对齐。 12．一部电影时长100分钟，是( )小时。（填循环小数） 13．14.1÷11的商的最高位在( )位上，3.1×2.8的积有( )位小数。 14．两数相除的商是2.4，被除数和除数同时扩大10倍，商是( )。 15．若1欧元兑换人民币7.32元，48欧元可兑换人民币( )元，100元可兑换( )欧元。（保留两位小数） 16．大小两个数的和是31.24，较大数的小数点向左移动一位就等于较小的数，这两个数分别是( )和( )。 三、判断题 17．0.51313…的循环节是513。( ) 18．0.32÷0.07的商是无限循环小数。( ) 19．0.2323232323是循环小数，也是无限小数。            ( ) 20．3.232323，2.777…，0.472…，都是循环小数。( ) 21．一根木头，锯成3段要付锯板费3元；如果锯成9段，则要付锯板费9元．( )． 四、计算题 22．直接写出得数。                     23．列竖式计算下面各题。 6.7×1.02        2.07÷0.023 24．计算下面各题，能简算的要简算。 2.5×32×12.5    9.9＋99.9＋999.9    4.37÷4÷0.25 3.9×101   2.5×4.3＋0.25×67－2.5   7.89×99＋7.89 五、解答题 25．一套服装原价105元，是现价的1.4倍，这套服装现价多少元？ 26．李老师有一根长75.2米的绳子，做长跳绳时用去了25.4米，剩下的绳子用来做短跳绳。如果每根短跳绳长1.5米，还能做多少根短跳绳？ 27．李妈妈在菜市场买了2.5千克豆角，付出10元，找回2.5元，每千克豆角多少钱？ 28．小明一家三口开车从天津去距离560千米的外公家。汽车每行100千米耗油8升，按照这个耗油量，到达外公家一共耗油多少升？（列综合算式不计算） 29．五（2）班42名同学帮果农伯伯收荔枝，平均每人收7.2千克，要将这些荔枝全部装进纸箱运走，每个纸箱最多可以装55千克，总共需要多少个纸箱？ 30．在地球表面，海洋面积大约是陆地面积的2.4倍。已知地球表面积为5.1亿平方千米，海洋面积和陆地面积各多少亿平方千米？ 31．某停车场收费标准如下。李叔叔开车从17：00开始停车，到第二天7：00开走。李叔叔开车出停车场时要交多少元停车费？ 收费标准 ①2小时及以内5元。 ②超过2小时的部分，每0.5小时0.8元。 32．大客车2.6小时行驶170.3km，小汽车3.5小时行驶255.5km，大客车和小汽车相比，谁的速度快？平均每小时快多少千米？ 33．某地的出租车起步价是5元，2千米以后按每千米1.8元计费（不足1千米按1千米计算）。王叔叔坐出租车用了26.6元车费，他最远行了多少千米？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】根据题意可知，一个数除以1.8所得的商是小数，和的商都为整数，所以题目可能是，据此选择即可。 【详解】小马虎在计算一个数除以1.8时，忘记点商的小数点，结果等于49，小马虎算的题目可能是； 故答案为：C。 【点睛】解答本题的关键是明确一个数除以1.8所得的商是小数，再进行选择。 2．A 【分析】在除法中，被除数大于除数（0除外），商大于1；被除数小于除数（0除外），商小于1。 【详解】A．因为0.96＞0.3，所以0.96÷0.3＞1； B．因为4.25＜5，所以4.25÷5＜1； C．因为0.52＜1.3，所以0.52÷1.3＜1。 算式中商大于1的是0.96÷0.3。 故答案为：A 【点睛】本题考查不计算通过比较被除数和除数的大小关系判定商和1的关系。 3．B 【详解】试题分析：比较除数和被除数的大小，当被除数大于除数时，商大于1． 解：A、5.85＜5.9，那么5.85÷5.9＜1； B、2.43＞2.4，那么2.43÷2.4＞1； C、4.95＜5.1，那么4.95÷5.1＜1； 故选B． 点评：当被除数和除数都不为0时： 被除数＞除数，商大于1；被除数=除数，商=1；被除数小于除数，商＜1． 4．A 【分析】一个无限小数的小数部分有一个或几个依次不断重复出现的数字，这样的小数就叫做循环小数；一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节，据此解答。 【详解】由分析得， 6.273273…的循环节是273。 故选：A 【点睛】此题考查的是循环小数的意义，掌握循环小数的意义是解题关键。 5．B 6．B 【分析】在有余数的除法中，根据被除数－除数×商＝余数，据此计算即可。 【详解】24.7－35×0.7 ＝24.7－24.5 ＝0.2 则余数是0.2。 故答案为：B 【点睛】本题考查小数除法，明确被除数、除数、商和余数之间的关系是解题的关键。 7． ＜ ＝ ＞ ＞ ＞ ＜ 【分析】一个数（0除外）乘大于1的数，结果比原来的数大；一个数（0除外）乘小于1的数，结果比原来的数小。一个数（0除外）除以大于1的数，结果比原来的数小；一个数（0除外）除以小于1的数，结果比原来的数大。据此解答即可。 【详解】由分析可知： 7.06×0.9（ ＜ ）7.06      4.8÷0.1（ ＝ ）4.8×10    8.7÷1.5（ ＞ ）8.7÷3.5 0.8÷0.2（ ＞ ）0.8×0.2     1.3×1.2（ ＞ ）1.2       29.7÷1.9（ ＜ ）29.7 【点睛】本题考查小数乘除法，明确小数乘除法的计算方法是解题的关键。 8． 14000 5385 0.38 3.8 【分析】根据：我国人口数×人均耕地面积＝我国耕地面积，求解第一空，注意整数的改写； 日本耕地面积＝中国耕地面积÷2.6； 十分之一即0.1，日本人均耕地面积＝日本耕地面积÷（中国人口数×0.1）； 最后一空：求一个数是另一个数的几倍，用除法计算，列式：日本人均耕地面积÷我国人均耕地面积。 【详解】14×0.1＝1.4（亿公顷）＝14000（万公顷） 14000÷2.6≈5385（万公顷）＝53850000（公顷） ，14×0.1＝1.4（亿人）＝14000（万人），5385÷14000≈0.38（公顷） 0.38÷0.1＝3.8 我国人均耕地面积约0.1公顷，按我国现有人口14亿计算，我国耕地面积约是14000万公顷。我国耕地面积是日本耕地面积的2.6倍，日本耕地面积是5385万公顷。而日本人口只相当于我国人口的十分之一，日本人均耕地面积约是0.38公顷，是我国人均耕地面积的 3.8倍。 【点睛】本题考查小数乘除法的实际应用，解题关键是找准题目中的数量关系。 9． 1.71 3.8 【分析】3.8×0.45看作将38×45中的38缩小到原来的，45缩小到原来的，则积缩小到原来的；同理可得：4.5×3.8＝17.1，根据积÷因数＝另一个因数，所以17.1÷3.8＝4.5；据此解答。 【详解】由分析可得：3.8×0.45＝1.71 17.1÷3.8＝4.5 【点睛】本题主要考查积的变化规律。 10． 三 个 【分析】在小数乘法中，如果积的末尾不是0，则因数中一共有几位小数，积就是几位小数； 计算除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。据此解答。 【详解】通过分析可得：的积的末尾不是0，则积是三位小数； 要转化为40.5÷15计算，先算40除以15，商要写在个位上，则商的最高位在个位上。 11． 除 整 被除 【分析】小数除法法则：先移动除数的小数点，使它变成整数。除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数（位数不够的补“0”），然后按照除数是整数的除法进行计算。 【详解】计算除数是小数的除法时，要先根据商不变的规律，转化为除数是整数的除法来算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。 如： 12． 【分析】根据1小时＝60分钟，用分钟数÷60，如果商的小数部分的某一位起，都是由一个或几个数字依照一定的顺序连续不断地重复出现，这样的小数叫做“无限循环小数”，简称“循环小数”。重复出现的一个或几个数字，叫做“循环节”。记数时，在第一个循环节的第一个数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循环小数的这几个（或一个）数字重复出现。这样的圆点叫做“循环点”。 【详解】100÷60＝（小时） 【点睛】关键是掌握小数除法的计算方法和循环小数的记数方法，单位小变大除以进率。 13． 个 两 【分析】根据小数乘除法的计算方法，分别求出14.1÷11的商和3.1×2.8的积，进而知道14.1÷11的商的最高位在什么位上，3.1×2.8的积有几位小数。 【详解】14.1÷11＝1.28181⋯ 3.1×2.8＝8.68 则14.1÷11的商的最高位在个位上，3.1×2.8的积有两位小数。 【点睛】本题考查小数乘除法，明确小数乘除法的计算方法是解题的关键。 14． 2.4 15． 351.36 13.66 【分析】根据题意可知，48欧元可兑换人民币多少元，用48乘7.32即可求解；100元人民币可兑换多少欧元，则看100里面有多少个7.32，有几个就兑换多少欧元，保留两位小数，看小数点后的第三位，如果小数点后的第三位大于等于5，则进一，小于5，则舍去。 【详解】48×7.32＝351.36（元） 100÷7.32≈13.66（欧元） 则48欧元可兑换人民币351.36元，100元可兑换13.66欧元。 16． 2.84 28.4 【分析】根据小数点位置的移动引起小数大小的变化规律可知，较大数的小数点向左移动一位就等于较小的数，即较大的数是较小的数的10倍。大小两个数的和是31.24，较小的数就是31.24÷（10＋1），用两个数的和减去较小的数，求出较大的数。 【详解】31.24÷（10＋1） ＝31.24÷11 ＝2.84 31.24－2.84＝28.4 这两个数分别是2.84和28.4。 【点睛】本题考查小数点位置的移动引起小数大小的变化规律以及和倍问题，先明确较大的数是较小的数的10倍，再根据较小的数＝和÷（倍数＋1），较大的数＝和－较小的数解答。 17．× 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。 一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 【详解】0.51313…的循环节是13。 原题说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查循环小数的意义以及循环节的认识。 18．√ 【分析】一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数叫循环小数。用小数除法进行计算判断即可。 【详解】 循环节为571428，所以是无限循环小数，因此判断正确。 【点睛】本题关键在于对无限循环小数的理解，以及对小数除法的计算的掌握。 19．× 【分析】无限小数分为循环小数和无限不循环小数，据此解答即可。 【详解】0.2323232323不是一个无限小数，所以不是循环小数。 故答案为：× 【点睛】本题主要考查小数的分类。 20．× 【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的数位是有限的，无限小数的数位是无限的，无限小数分两种：一种是循环小数，即一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或多个数字依次不断重复出现，这样的数叫作循环小数；另一种是无限不循环小数，即无限不循环小数指小数点后有无限个数位，但没有周期性的重复或者说没有规律的小数，例如圆周率。 【详解】根据分析可知，3.232323是有限小数，0.472…是无限不循环小数，2.777…、是循环小数。所以原题干说法错误。 故答案为：× 【点睛】本题考查了有限小数、无限小数和循环小数的认识。 21．错误 【详解】试题分析：根据“锯成3段要付锯板费3元，也就是锯2次要付锯板费3元；，可求出锯1次要付钱数；要求锯成9段付的钱数，也就是求锯8次付多少钱，列式解答即可． 解：锯1次要付钱数：3÷（3﹣1）=1.5（元）； 锯成9段付的钱数：1.5×（9﹣1）=12（元）； 故答案为错误． 点评：解答此题的关键是，弄清题意，要联系实际生活中的具体实例，不能被表面的数字所迷惑． 22．540；10；0；26； 0.72；9.02；30.4；32 【解析】略 23．6.834；90 【分析】（1）计算小数乘法时，先按照整数乘法计算出积，再点小数点，看因数中一共有几位小数就从积的右边起数出几位点上小数点，位数不够时用0补足，小数部分末尾的0要去掉； （2）计算小数除法时，先移动除数的小数点使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位（位数不够的，在被除数末尾用0补足），然后按照除数是整数的小数除法进行计算。 【详解】6.7×1.02＝6.834        2.07÷0.023＝90          24．1000；1109.7；393.9 25；4.37；789 【分析】（1）把32拆分为（4×8），再根据乘法结合律简算； （2）因为三个数都是接近整十、整百、整千的数，所以变为10＋100＋1000－0.3，然后再计算； （3）运用除法性质简算； （4）运用乘法分配律进行简算； （5）根据积不变规律把0.25×67变为2.5×6.7，再运用乘法分配律简算； （6）运用乘法分配律进行简算. 【详解】2.5×32×12.5 ＝（2.5×4）×（8×12.5） ＝10×100 ＝1000 9.9＋99.9＋999.9 ＝10＋100＋1000－0.3 ＝1110－0.3 ＝1109.7 3.9×101 ＝3.9×（100＋1） ＝3.9×100＋3.9×1 ＝390＋3.9 ＝393.9 2.5×4.3＋0.25×67－2.5 ＝2.5×4.3＋2.5×6.7－2.5×1 ＝2.5×（4.3＋6.7－1） ＝2.5×10 ＝25 4.37÷4÷0.25 ＝4.37÷（4×0.25） ＝4.37÷1 ＝4.37 7.89×99＋7.89 ＝7.89×（99＋1） ＝7.89×100 ＝789 25．75元 【详解】试题分析：根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法解答． 解：105÷1.4=75（元）， 答：这套服装现价75元． 点评：此题考查的目的是掌握小数除法的计算法则，并且能够根据小数除法的计算方法解决有关的实际问题． 26．33根 【分析】根据减法的意义，用绳子总长减去做长跳绳用去的长度，先算出做完长跳绳还剩多少米；再根据除法的意义，用剩下的绳子长度除以每根短跳绳的长度，即可求出能做短跳绳的根数。 【详解】（75.2－25.4）÷1.5 ＝49.8÷1.5 ≈33（根） 答：还能做33根短跳绳。 【点睛】本题考查学生对小数减法和小数除法的运用，取值时注意根据实际情况进行取值。 27．3元 【详解】（10—2.5）÷2.5=3（元） 28．或 【分析】根据题意，用560÷100求出一共消耗了几个8升，然后再乘8即可；也可以用8÷100求出每千米耗油量，再乘560即可。 【详解】或 【点睛】此题主要考查学生对混合运算的理解与应用。 29．6个 【分析】类似工程问题，利用归总法，平均每人收7.2千克作为效率，计算出42名同学可以收荔枝的总量，用这些总量除每个纸箱所装的重量，算出需要的纸箱数量。 【详解】荔枝的总千克数千克，纸箱的数量个，考虑实际情况，剩下的荔枝还需要找一个纸箱来装，所以需要的纸箱个。 答：总共需要6个纸箱。 【点睛】此题的解题关键是利用归总法计算出荔枝的总量，分析题意，列出关系式，算出纸箱的数量，同时还要考虑实际情况来取近似值。 30．3.6亿平方千米；1.5亿平方千米 【分析】因为“海洋面积约为陆地面积的2.4倍”，那么地球表面积就是陆地面积的：2.4＋1＝3.4（倍），用5.1除以3.4即可求出陆地面积，进而用陆地面积乘2.4即可求出海洋面积。 【详解】陆地面积：5.1÷（2.4＋1） ＝5.1÷3.4 ＝1.5（亿平方千米） 海洋面积：1.5×2.4＝3.6（亿平方千米） 答：地球上陆地面积是1.5亿平方千米，海洋面积是3.6亿平方千米。 【点睛】解决本题的关键是根据题意得出：地球表面积就是陆地面积的（2.4＋1）倍。 31．24.2元 【分析】由题可知，李叔叔开车从17：00开始停车，到第二天7：00开走，从17：00～19：00经过2小时，从19：00到第二天7：00经过12时，则共停车了12＋2＝14小时，要交的停车费用可以分为两部分：一部分为2小时的停车费，即5元；另一个部分为超过2小时的费用，即（14－2）÷0.5×0.8＝19.2元，再把这两部分相加即可。 【详解】从17：00开始到第二天7：00共有14小时 （14－2）÷0.5×0.8 ＝12÷0.5×0.8 ＝24×0.8 ＝19.2（元） 19.2＋5＝24.2（元） 答：要交24.2元停车费。 32．小汽车；7.5千米 【分析】根据平均数及小数除法，计算出小汽车和大客车的行驶速度，再比较速度大小，之后运用小数减法得到平均每小时快多少千米。 【详解】大客车的速度为：（千米/时）， 小汽车的速度为：（千米/时） （千米） 答：小汽车的速度快，平均每小时快7.5千米。 【点睛】本题主要考查的是平均数及小数除法，解题的关键是先利用小数除法计算出速度，再比较速度，进而得出答案。 33．14千米 【分析】用车费减去起步价即可求出超出2千米后的钱数，根据总价÷单价＝数量即可求出超过2千米的路程，再加上2千米即可。 【详解】（26.6－5）÷1.8＋2 ＝21.6÷1.8＋2 ＝12＋2 ＝14（千米） 答：他最远行了14千米。 【点睛】本题考查小数除法，求出超过2千米的路程是解题的关键。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$