精品解析：重庆市九龙坡区育才中学初2024级八年级上学期期中数学试题

重庆育才中学教育集团初2024届初二（上）半期自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑. 1. 下列四个汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，积的乘方和幂的乘方，掌握相关运算法则是解题关键．根据合并同类项，积的乘方和幂的乘方法则判断即可． 【详解】解：A、，故该选项错误； B、，故该选项正确； C、，故该选项错误； D、，故该选项错误； 故选：B． 3. 下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 1，2，3.5 B. 4，5，9 C. 5，8，15 D. 6，8，9 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：A．，不能组成三角形，不符合题意； B．，不能够组成三角形，不符合题意； C．，不能组成三角形，不符合题意； D．，能组成三角形，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，注意用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 4. 如图，，A和B，C和D是对应顶点，如果，那么等于（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵，A和B，C和D是对应顶点， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，根据对应顶点找准对应边是解题的关键． 5. 如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 【答案】B 【解析】 【分析】由题意得∠CAD=90°，∠C=30°，从而求得∠CAE=70°，由平行线的性质得∠CBF=∠CAE=70°，利用三角形的外角性质求得∠CHB=40°，从而可求∠2的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：∠CAD=90°，∠C=30°， ∵∠1=20°， ∴∠CAE=180°-∠CAD-∠1=70°， ∵ab, ∴∠CBF=∠CAE=70°， ∵∠CBF是△CBH的外角， ∴∠CHB=∠CBF-∠C=40°， ∴∠2=180°-∠CHB=140°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 6. 如图，在△ABC与△EDF中，∠B=∠D=90°，∠A=∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC△EDF的是（　　） A. AB=ED B. AC=EF C. AC∥EF D. BC=DF 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：∵∠B=∠D=90°，∠A=∠E， 当AB=ED时，可根据“ASA”判断△ABC△EDF，故选项A不符合题意； 当AC=EF时，可根据“AAS”判断△ABC△EDF，故选项B不符合题意； 当BC=DF时，可根据“AAS”判断△ABC△EDF，故选项D不符合题意； 当AC∥EF时，∠ACB=∠EFD，不能判断△ABC△EDF，故选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边． 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算． 详解：多边形的外角和是360°，根据题意得： 180°•（n-2）=3×360° 解得n=8． 故选A． 点睛：本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决． 8. 下列命题中，正确的是（　　） A. 三个角分别相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 有两边及一个角分别相等的两个三角形全等 【答案】C 【解析】 【分析】判定三角形全等的方法有：等，根据这些判定方法逐一进行判断即可得出答案； 【详解】解：A、三个角分别相等的两个三角形相似，但不一定全等，选项不符合题意； B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意； C、根据判定定理知，三边分别相等的两个三角形全等，选项符合题意； D、有两边及夹角相等的两个三角形全等，但有两边及一个角分别相等的两个三角形不一定全等，选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题的真假判断、全等三角形的判定，熟练并正确理解全等三角形的判定条件是解题的关键． 9. 将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第7个“龟图”中“〇”的个数为（　　） A. 44 B. 47 C. 50 D. 53 【答案】B 【解析】 【分析】设第n个“龟图”中有个“〇”（n为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“（n为正整数）”，再代入即可得出结论． 【详解】解：设第n个“龟图”中有个“〇”（n为正整数）． 观察图形，可知：，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了图形的规律，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“（n为正整数）”是解题的关键． 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（ ） A. 57° B. 58° C. 59° D. 60° 【答案】B 【解析】 【分析】求出∠CDB的度数，再根据翻折求出∠ADE的度数即可． 【详解】解：∵∠C＝90°，∠CBD＝26°， ∴∠CDB=90°-∠CBD＝64°， ∴∠ADB=116°， 由翻折可知，∠ADE=∠BDE=58°； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称和三角形内角和，解题关键是明确翻折角相等的性质，熟练运用三角形内角和解决问题． 11. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A. B. C. 0 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先解一元一次不等式组，再根据不等式组的解集为，从而可得，进而可得，然后再把两个二元一次方程相加可得，再结合已知可得 ，从而可得，进而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ， ③+④得： ， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，而为整数， ∴， ∴满足条件的所有整数a的和， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12. 关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】计算，令常数项为0可判断①；计算，令x3项系数为0可判断②；由当时，；当时，列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出d和的值，可判断④和⑤． 【详解】解：＝ ＝， ∵是关于x的三次三项式，， ∴， 解得，故①正确； ＝， ∵中不含， ∴， ∴，故②正确； ∵时，；当时，， ∴， 解得，，故③正确； 在中，令得： ， ∴，故④正确； 在中，令得： ， ∵， ∴，故⑤正确， ∴正确的有①②③④⑤，共5个， 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则． 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请把正确答案直接填在答题卷上相应的横线上. 13. 若，，则_____． 【答案】15 【解析】 【分析】由，，根据同底数幂的乘法可得，继而可求得答案． 【详解】∵，， ∴， 故答案为15. 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键.本题中要注意掌握公式的逆运算． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求_____． 【答案】14 【解析】 【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ = ＝14， 故答案为：14． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 15. 已知，如图，中，，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，则的长为 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，根据等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质可证得是等边三角形，从而可得，进一步计算即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵是的垂直平分线，是的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质，以及等腰三角形的性质是解题的关键． 16. 临近“天猫双11”，某超市开展为期2天的限时抢购活动，活动规定：11月10日，全场9折；11月11日，全场8折；其余时间不打折．小育计划购买A、B、C三种糖果，他发现11月9日购买2千克A，4.2千克B的总价与11月11日购买1千克A，2千克B，3千克C的总价相等，也等于11月10日购买5千克A，4.5千克B，2千克C的总价的，且4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种糖果的单价均为正整数．那么在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款 _____元． 【答案】24 【解析】 【分析】设糖果A的价格为x元/千克，糖果B的价格为y元/千克，糖果C的价格为z元/千克，根据题意可得关于x，y，z的三元 一次方程组，求出x，y，z之间的关系，再由4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，即可得出关于x的一元一次不等式组，求出x得取值范围，最后根据三种糖果的单价均为正整数，进而得出x，y，z的值，利用x，y，z的值求出最后结果． 【详解】解：设糖果A的价格为x元/千克，糖果B的价格为y元/千克，糖果C的价格为z元/千克，根据题意可得： ， ∴， ∵4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元， ∴， ∴， ∵三种糖果的单价均为正整数． ∴y必须是6的倍数，x必须是23的倍数，才能使x，y均为正整数， x必须是23的倍数且满足， ∴， 则在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款： （元）， 故答案为：24． 【点睛】本题考查列三元一次方程组和一元一次不等式的应用以及因数与倍数的关系，根据题意的等量关系列出三元一次方程组和利用每种糖果的单价都为正整数与的关系求出x，y是解题的关键． 三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算乘方，再算多项式乘单项式即可； （2）根据多项式除以单项式计算即可． 【小问1详解】 = = 【小问2详解】 = = 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 18. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据单项式乘多项式法则：分别用单项式乘多项式中的每一项，再把所得的积相加即可求解； （2）根据多项式乘多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加即可求解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，多项式乘多项式，掌握单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则是解题的关键． 四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19. 如图，点C在线段上，，，，交于点G． （1）尺规作图：过点A做线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结论） （2）求证． 证明：∵ ① 在和中， ② ， ∵ ③ ④ ∵ ． 【答案】（1） 即为所求作； （2）①，②，③，④ 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握基本尺规作图——过已知直线外一点作已知直线的垂线，平行线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）作基本作图——过已知直线外一点作已知直线的垂线； （2）根据平行线性质，全等三角形性质，等腰三角形性质，等腰三角形判定，填空． 【小问1详解】 在直线的另一侧取点P，以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点M、N，分别以点M、N为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点H，作射线，交于点F， 【小问2详解】 略 20. 先化简，再求值：，其中实数x满足． 【答案】，9 【解析】 【分析】先去括号，再合并同类项，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴当， 原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算—化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 21. 已知：如图，三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）关于x轴对称的图形为，请画出； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2）2.5 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质画图即可； （2）根据三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 =2.5 【点睛】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积的计算，根据要求正确画出图形是解题的关键． 22. 如图，在△ABC中，AE是BC边上的高． （1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm²，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）DC＝6cm；（2）∠DAE=15°． 【解析】 【分析】（1）利用三角形的中线平分三角形面积得出S△ADC=15cm2，进而利用三角形面积得出CD的长． （2）依据∠B=30°，∠C=60°，可知△ABC为直角三角形，再根据AD为角平分线，即可得到∠BAD的度数，即可得到∠ADE的度数，进而得出∠DAE的度数． 【详解】解：（1）∵AD，AE分别是边BC上的中线和高，AE=5cm，S△ABC=30cm2 ∴S△ADC=15cm2， ∴×AE×CD=15， ∴×5×CD=15， 解得：CD=6（cm）； （2）∵∠B=30°，∠C=60°， ∴∠BAC=90°， 又∵AD为∠BAC的平分线， ∴， ∴∠ADE=30°+45°=75°， 又∵AE⊥BC， ∴∠DAE=90°75°=15°． 【点睛】此题主要考查了三角形的面积以及三角形中线、角平分线、以及高线的性质，根据已知得出S△ADC是解题关键． 23. 如图，中，平分，且于E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，过点D作交延长线于F， ∵平分，， ∴，， 在和中， ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）7 【解析】 【分析】（1）由角平分线的性质知，利用证得得到，根据即可得证； （2）证得，由知，根据得，据此可得，继而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平分， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 24. 一个多位数m（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被整除，则这个多位数就一定能被整除．例如：判断能不能被整除，这个数的末三位数字是，末三位以前的数字所组成的数是，则，能被整除，因此，也一定能被整除．反之，若一个多位数m（数位大于等于4）能被整除，则m的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被整除． （1）＝　 　， 　 　（能或不能）被整除． （2）若两个四位数m，n均为的倍数，且，n的千位数字为，百位数字为5，十位数字为5，个位数字为．规定，当时，求的最小值． 【答案】（1），能 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出，再判断出能被整除，得出结论； （2）由题意可知，，m，n均为四位数，，，根据，可得，再根据m是的倍数，可得，，可得，根据b，c均为整数，且满足，，可得，，则b可以取5，6，7，8，9，10，根据可知，b越大，越小，依此即可求解． 【小问1详解】 解：（1）， ． 故能被整除． 故答案为：，能； 【小问2详解】 解：由题意可知，，m，n均为四位数，，， ∵， ∴， ， ， ∵m是的倍数，能被整除， ∴， ∴， ∴，代入结果能被整除，符合题意， 代入 ∵b，c均为整数，且满足，， ∴，， ∴， b可以取5，6，7，8，9，10， 根据可知，b越大，越小，依此b取，的最小值为． 【点睛】此题主要考查了新定义运算，整除问题，能被13整除的数的特征，求出是解本题的关键． 25. 在中，且，点E为平面内一点，把绕着点A逆时针旋转后得到线段． （1）如图1，点E在线段上且平分，连接，射线与相交于点F．当，时，求的长． （2）如图2，点E为外一点，连接、、，点G为线段的中点，射线与相交于点H．求证：． （3）如图3，点E在线段上， ，，．点M在射线上，点N在线段上，且，连接、．当最小时，直接写出与的面积和． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）作，可推出，，进一步求得结果； （2）延长至N，使，先证得，再证得，从而得出，进一步得出结论； （3）延长到点，使，连接，，交于，可证得，从而，故当点在处时，最小，此时与的面积和为的面积为：． 【小问1详解】 解：如图1， 作于点F， ∵平分，， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：如图2， 延长至点N，使， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3， 延长到点，使，连接，，交于，由题意可得， ∵，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴当点在处时，最小， 此时与的面积和为的面积为：． 【点睛】本题考查了角平分线性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆育才中学教育集团初2024届初二（上）半期自主作业 数学试卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卷上对应的位置涂黑. 1. 下列四个汉字是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列各组线段中，能组成三角形的是（　　） A. 1，2，3.5 B. 4，5，9 C. 5，8，15 D. 6，8，9 4. 如图，，A和B，C和D是对应顶点，如果，那么等于（ ） A. 4 B. 6 C. 5 D. 无法确定 5. 如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ） A. 150° B. 140° C. 130° D. 120° 6. 如图，在△ABC与△EDF中，∠B=∠D=90°，∠A=∠E，B、F、C、D在同一直线上，再添加一个下列条件，不能判断△ABC△EDF的是（　　） A. AB=ED B. AC=EF C. AC∥EF D. BC=DF 7. 如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 下列命题中，正确的是（　　） A. 三个角分别相等的两个三角形全等 B. 面积相等的两个三角形全等 C. 三边分别相等的两个三角形全等 D. 有两边及一个角分别相等的两个三角形全等 9. 将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第7个“龟图”中“〇”的个数为（　　） A. 44 B. 47 C. 50 D. 53 10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，沿DE翻折使得A与B重合，∠CBD＝26°，则∠ADE的度数是（ ） A. 57° B. 58° C. 59° D. 60° 11. 若关于x的不等式组的解集为，且关于y、z的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数a的和为（　　） A. B. C. 0 D. 3 12. 关于x的三次三项式（其中a、b、c、d均为常数），关于x的二次三项式（e、f均为非零常数），下列说法正确的个数是（　　） ①当是关于x的三次三项式时，则； ②当中不含x3时，则； ③当时，；当时，，则，； ④； ⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）在每个小题中，请把正确答案直接填在答题卷上相应的横线上. 13. 若，，则_____． 14. 如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求_____． 15. 已知，如图，中，，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，则的长为 _____． 16. 临近“天猫双11”，某超市开展为期2天的限时抢购活动，活动规定：11月10日，全场9折；11月11日，全场8折；其余时间不打折．小育计划购买A、B、C三种糖果，他发现11月9日购买2千克A，4.2千克B的总价与11月11日购买1千克A，2千克B，3千克C的总价相等，也等于11月10日购买5千克A，4.5千克B，2千克C的总价的，且4千克A在11月10日的总价不低于65元，也不超过100元，如果三种糖果的单价均为正整数．那么在不打折的情况下，小育购买1千克B和1千克C共需付款 _____元． 三、解答题：（本大题共2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 17. 计算： （1） （2） 18. 计算： （1） （2） 四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19. 如图，点C在线段上，，，，交于点G． （1）尺规作图：过点A做线段的垂线交于点F．（基本作图，保留作图痕迹，不写做法，不下结论） （2）求证． 证明：∵ ① 在和中， ② ， ∵ ③ ④ ∵ ． 20. 先化简，再求值：，其中实数x满足． 21. 已知：如图，三个顶点的坐标分别为、、，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度． （1）关于x轴对称的图形为，请画出； （2）求的面积． 22. 如图，在△ABC中，AE是BC边上的高． （1）若AD是边BC上的中线，AE=5cm，S△ABC=30cm²，求DC的长； （2）若AD是∠BAC的平分线，∠B=30°，∠C=60°，求∠DAE的度数． 23. 如图，中，平分，且于E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 24. 一个多位数m（数位大于等于4）的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，如果能被整除，则这个多位数就一定能被整除．例如：判断能不能被整除，这个数的末三位数字是，末三位以前的数字所组成的数是，则，能被整除，因此，也一定能被整除．反之，若一个多位数m（数位大于等于4）能被整除，则m的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被整除． （1）＝　 　， 　 　（能或不能）被整除． （2）若两个四位数m，n均为的倍数，且，n的千位数字为，百位数字为5，十位数字为5，个位数字为．规定，当时，求的最小值． 25. 在中，且，点E为平面内一点，把绕着点A逆时针旋转后得到线段． （1）如图1，点E在线段上且平分，连接，射线与相交于点F．当，时，求的长． （2）如图2，点E为外一点，连接、、，点G为线段的中点，射线与相交于点H．求证：． （3）如图3，点E在线段上， ，，．点M在射线上，点N在线段上，且，连接、．当最小时，直接写出与的面积和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $