1.2.2矩形的判定 教学设计 2023-2024学年北师大版数学九年级上册

初 三 级 数学 备课组集体备课 课 题 矩形的判定 备课形式 集体备课 个人备课（二次备） 学习目标 1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。 2. 能熟练应用矩形的性质、判定等知识进行有关证明和计算. 重点难点 重点： 掌握并会运用矩形的判定 难点： 运用矩形的判定进行简单的推理与计算。 教学方法 练习 教学设备 多媒体 课时安排 1课时 教 学 过 程 一、情景导入 小明想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形相框？看看谁的方法可行！ 二、合作探究 探究点一：对角线相等的平行四边形是矩形 如图所示，外面的四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，里面的四边形MPNQ的四个顶点都在矩形ABCD的对角线上，且AM＝BP＝CN＝DQ.求证：四边形MPNQ是矩形． 解析：要证明四边形MPNQ是矩形，应先证明它是平行四边形，由已知可再证明其对角线相等． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD. ∵AM＝BP＝CN＝DQ， ∴OM＝OP＝ON＝OQ. ∴四边形MPNQ是平行四边形． 又∵OM＋ON＝OQ＋OP， ∴MN＝PQ. ∴平行四边形MPNQ是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 方法总结：在判断四边形的形状时，若已知条件中有对角线，可首先考虑能否用对角线的条件证明矩形． 探究点二：有三个角是直角的四边形是矩形 如图，GE∥HF，直线AB与GE交于点A，与HF交于点B，AC、BC、BD、AD分别是∠EAB、∠FBA、∠ABH、∠GAB的平分线，求证：四边形ADBC是矩形． 解析：利用已知条件，证明四边形ADBC有三个角是直角． 证明：∵GE∥HF， ∴∠GAB＋∠ABH＝180°. ∵AD、BD分别是∠GAB、∠ABH的平分线， ∴∠1＝∠GAB，∠4＝∠ABH， ∴∠1＋∠4＝(∠GAB＋∠ABH)＝×180°＝90°， ∴∠ADB＝180°－(∠1＋∠4)＝90°. 同理可得∠ACB＝90°. 又∵∠ABH＋∠FBA＝180°， ∠4＝∠ABH，∠2＝∠FBA， ∴∠2＋∠4＝(∠ABH＋∠FBA)＝×180°＝90°，即∠DBC＝90°. ∴四边形ADBC是矩形． 方法总结：矩形的判定方法和矩形的性质是相辅相成的，注意它们的区别和联系，此判定方法只要说明一个四边形有三个角是直角，则这个四边形就是矩形． 探究点三：有一个角是直角的平行四边形是矩形 如图所示，在△ABC中，D为BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD.连接BF. (1)BD与DC有什么数量关系？请说明理由； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由． 解析：(1)根据“两直线平行，内错角相等”得出∠AFE＝∠DCE，然后利用“AAS”证明△AEF和△DEC全等，根据“全等三角形对应边相等”可得AF＝CD，再利用等量代换即可得BD＝CD；(2)先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可知∠ADB＝90°.由等腰三角形三线合一的性质可知△ABC满足的条件必须是AB＝AC. 解：(1)BD＝CD.理由如下： ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DCE. ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中， ∴△AEF≌△DEC(AAS)， ∴AF＝DC. ∵AF＝BD， ∴BD＝DC； (2)当△ABC满足AB＝AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下： ∵AF∥BD，AF＝BD， ∴四边形AFBD是平行四边形． ∴AB＝AC，BD＝DC， ∴∠ADB＝90°. ∴四边形AFBD是矩形． 方法总结：本题综合考查了矩形和全等三角形的判定方法，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键． 当堂训练 ( O D C B A )例1. 如图，□ ABCD的对角线AC、BD交于点O，△AOB是正三角形，AB=4cm. (1) 求证□ ABCD是矩形. (2) 求□ ABCD的面积. 2．已知：如图 ，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得 DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形吗？说明理由。 1．下列说法正确的是（ ） A.有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B.有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 C.对角线互相平分的四边形是矩形 D.对角互补的平行四边形是矩形 2. 矩形各角平分线围成的四边形是（ ） A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3. 下列判定矩形的说法是否正确 1.有一个角是直角的四边形是矩形 （ ） 2.四个角都是直角的四边形是矩形 （ ） 3.四个角都相等的四边形是矩形 （ ） 4.对角线相等的四边形是矩形 （ ） 5.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形 （ ） 6.对角线相等且互相平分的四边形是矩形 （ ） 4. 在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可) 本课小结 矩形的判定： 1. 对角线相等的平行四边形是矩形 2. 有三个角是直角的四边形是矩形 3. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 课后作业 板书设计 矩形的判定： 1. 对角线相等的平行四边形是矩形 2. 有三个角是直角的四边形是矩形 3. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 课后反思 通过探索与交流，得出矩形的判定定理，使学生亲身经历知识的发生过程，并会运用定理解决相关问题．通过开放式命题，尝试从不同角度寻求解决问题的方法．通过动手实践、合作探索、小组交流，培养学生的逻辑推理能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$