1.2 课时2 矩形的判定 课件 2024-2025学年 北师大版数学九年级上册

1.2 课时2 矩形的判定 22200 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握矩形的判定定理. 2.能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题. 学习目标 22200 小华想做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是他用两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制成矩形，你有什么办法可以验证他做的是矩形相框吗？ 新课导入 22200 探究1：定义证明 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 有一个角 是直角 平行四边形 矩形 用矩形的定义判定：一个平行四边形有一个角是直角，这个图形是矩形． 知识讲解 22200 探究2：对角线相等的平行四边形是矩形 动手操作，拿一个可以活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点． 知识讲解 22200 思考：(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？ 答：随着∠α的增大，较长的对角线会变短，较短的对角线会变长． α 知识讲解 22200 (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？你能证明吗？ 矩形 知识讲解 22200 分析：要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可. 已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.求证:平行四边形ABCD是矩形. D B C A 知识讲解 22200 证明：∵四边形ABCD是平行四边形. ∴AB=CD, AB∥CD. 又∵AC=DB, BC=CB. ∴ △ABC≌△DCB. ∴∠ABC=∠DCB. 又∵AB∥CD. ∴∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=∠DCB=90°. ∴□ABCD是矩形.(矩形的定义). D B C A 知识讲解 22200 归纳总结 矩形的判定1： 定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 知识讲解 22200 矩形的四个角都是直角，反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形才是矩形呢？ 猜想 一个四边形至少有3个角是直角时，这个四边形是矩形． A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 探究3：有三个角是直角的四边形是矩形 知识讲解 22200 分析：利用同旁内角互补，两直线平行来证明四边形是平行四边形，可使问题得证． 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°． 求证：四边形ABCD是矩形． D B C A 知识讲解 22200 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC, AB∥CD. ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴四边形ABCD是矩形. D B C A 知识讲解 22200 归纳总结 矩形的判定2： 定理：有三个角是直角的四边形是矩形． 知识讲解 22200 例1.如图，在□ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4cm，求□ABCD的面积． A B C D O 分析：先根据“对角线相等的平行四边形是矩形”判定□ABCD是矩形，再求出BC的长，从而可得□ABCD的面积． 经典例题 22200 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝AC，BO＝BD. ∵AO＝BO， ∴□ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)． 在Rt△ABC中，AB＝4cm，AC＝2AO＝8cm， ∴BC＝＝4(cm)． ∴S□ABCD＝AB·BC＝4×4＝16(cm2)． A B C D O 经典例题 22200 例2.如图，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线，AE⊥BE，AD⊥BD，垂足分别为点E，D. 求证：四边形AEBD是矩形． 分析：根据角平分线的性质和平角的定义，得到∠EBD＝90°，再结合AE⊥BE，AD⊥BD，可以确定四边形的三个内角都是直角，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”就可以证明此四边形是矩形． A B E D P C 经典例题 22200 证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线， ∴∠ABD＋∠ABE＝ (∠ABC＋∠ABP)＝90°， 即∠EBD＝90°. 又∵AE⊥BE，AD⊥BD， ∴∠AEB＝∠ADB＝90°， ∴四边形AEBD是矩形(有三个角都是直角的四边形是矩形). A B E D P C 经典例题 22200 例3.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点，且AE=BF=CG=DH． 求证：四边形EFGH是矩形． B C D E F G H O A 经典例题 22200 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD(矩形的对角线相等), AO=BO=CO=DO(矩形的对角线互相平分), ∵ AE=BF=CG=DH, ∴OE=OF=OG=OH, ∴四边形EFGH是平行四边形, ∵EO+OG=FO+OH, 即EG=FH, ∴四边形EFGH是矩形. B C D E F G H O A 经典例题 22200 1. 下列各句判定矩形的说法是否正确？ （1）对角线相等的四边形是矩形；（ ） （2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（ ） （3）有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （5）有三个角是直角的四边形是矩形；（ ） （6）四个角都相等的四边形是矩形；（ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（ ） （4）有三个角都相等的四边形是矩形；（ ） （8）一组对角互补的平行四边形是矩形．（ ） × × × × √ √ √ √ 知识讲解 22200 2.如图，□ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件_________________________(只添加一个即可)，使□ABCD是矩形． AC＝BD (答案不唯一) 随堂练习 22200 3．如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H四点． 求证：四边形EFGH是矩形． A B C D H E D G 随堂练习 22200 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∴∠DAB＋∠ABC＝180°. ∵□ABCD的四个内角平分线分别相交于E，F，G，H四点，由角平分线性质，得∠HAB＝ ∠DAB，∠ABH＝ ∠ABC， ∴∠HAB＋∠ABH＝ (∠DAB＋∠ABC)＝90°， ∴∠H＝90°. 同理可求得∠HEF＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． A B C D H E D G 随堂练习 22200 4．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，延长OA到N，使ON＝OB，再延长OC至M，使CM＝AN．求证：四边形NDMB为矩形． 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AO＝OC，OD＝OB. ∵AN＝CM，ON＝OB， ∴ON＝OM＝OD＝OB， ∴四边形NDMB为平行四边形，MN＝BD， ∴平行四边形NDMB为矩形． 随堂练习 22200 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 对角线相等的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 运用定理进行计算和证明 定义 判定定理 矩形的判定 课后总结 22200 $$