第十三章 全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十三章 全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴） 01 压轴总结 目录 题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 题型二　与全等三角形有关的多结论问题 6 题型三　全等三角形中的动点最值问题 12 题型四　全等三角形中的动点综合问题 14 题型五　全等三角形中的新定义型综合问题 23 02 压轴题型 题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，若与全等，则t的值为 ． 2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当t= 秒时，与全等． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒． 题型二　与全等三角形有关的多结论问题 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 题型三　全等三角形中的动点最值问题 例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    2.（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 题型四　全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题： 已知：如图，在正方形中，，点G是射线上的一个动点．以为边向右作正方形，作于点H． (1)填空： ； (2)若点G在点B的右边． ①求证：； ②试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 巩固训练 1．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 题型五　全等三角形中的新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 巩固训练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 全等三角形压轴训练（多解、动点、新定义型压轴） 01 压轴总结 目录 题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 1 题型二　与全等三角形有关的多结论问题 6 题型三　全等三角形中的动点最值问题 12 题型四　全等三角形中的动点综合问题 14 题型五　全等三角形中的新定义型综合问题 23 02 压轴题型 题型一　利用三角形全等求时间或线段长的多解问题 例题：（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在四边形中，，．动点P以的速度从点A出发沿边向点D匀速移动，动点Q以的速度从点B出发沿边向点C匀速移动，动点M从点B出发沿对角线向点D匀速移动，三点同时出发．连接，当动点M的速度为 时，存在某个时刻，使得以P、D、M为顶点的三角形与全等． 【答案】或 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，平行线的性质，解二元一次方程组，设运动的时间为，动点M的速度为，则，进而得到，再分当时，当时，两种情况根据全等三角形对应边相等建立方程组求解即可． 【详解】解：设运动的时间为，动点M的速度为， 由题意得，， ∴． ∵， ∴． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 当时，则， ∴， 解得， ∴， 解得． 综上所述，动点M的速度为或， 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，若与全等，则t的值为 ． 【答案】2或12/12或2 【分析】本题考查了全等三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得． 【详解】解：∵， ∴当时，根据证得， 由题意得：， ∴， ∵， ∴当时，根据证得， 由题意得：， 解得． 所以，当t的值为2或12时．与全等． 故答案为：2或12． 2．（23-24七年级下·辽宁铁岭·阶段练习）如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒， ，故不合题意舍去； ③当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为6或12或18， 故答案为：6或12或18． 3．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）如图，，垂足为点A，射线，垂足为点B，，．动点E从A点出发以的速度沿射线运动，动点D在射线上，随着E点运动而运动，始终保持．若点E的运动时间为，则当t= 秒时，与全等． 【答案】2或6或8 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，学会分类是解题的关键． 【详解】当点E与点A重合时，此时，与全等．但，舍去； 当时，则， ∵，，，．动点E的速度为， ∴， ∴， ∴； 当时，则，且点E在点B的右侧时， ∵，，，．动点E的速度为， ∴， ∴， ∴； 当时，则，且点E在点B的右侧时， ∵，，，．动点E的速度为， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2或6或8． 4．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则 秒． 【答案】或 【分析】本题考查了四边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，一元一次方程的应用； 分情况讨论：①当点在延长线上时，②当点在线段上时，，证明，可得此时，用含的式子表示出和，然后得出方程，解方程即可. 【详解】解：①当点F在延长线上时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵， ∴，解得． ②当点F在之间时：设t时刻，P、Q分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，． ∵，， ∴，解得． 综上，或． 题型二　与全等三角形有关的多结论问题 例题：（23-24七年级下·江西吉安·期末）如图，在和中，与相交于点，与相交于点，与相交于点，，，．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ）    A．①③④ B．①②③④ C．①②③ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查了两个全等三角形的判定及性质，根据已知条件判定两个三角形全等，可得到对应边及对应角相等，据此可判断①③，再结合条件证明两个三角形全等，可得到④，即可求得结果，灵活运用两个全等三角形的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴①③都正确， 在中， ， ∴， 故④正确， 根据已知条件无法证明②是否正确， 故①③④正确， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川巴中·期末）如图，在中，点M，N分别是边上的点，且M，N两点满足，交于点P，过点P作交延长线于点Q，交于点F，与交于点E，若，则下列结论：①连接，则平分；②；③；④．成立的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 先证明可得，再证明可得，进而证明得到即可判定①；由可得，然后证明即可判定②；由全等三角形的性质可得，再结合三角形外角的性质即可判定③；先证明可得，再证明可得，然后证明可得，再说明，最后根据线段的和差及等量代换即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴, ∵， ∴， ∴. ∵，, ∴，即②正确； ∴, ∵，， ∴, ∵, ∴, ∴，即平分，故①正确； ∵， ∴，， ∵，, ∴,即③正确； ∴ ∴， ∴, ∴， ∵，， ∴,即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴, ∴， 如图：连接 ∵,, ∴， ∴, ∵, ∴, ∴,即④正确． 故选D． 2．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，在中，，于，平分交于，在上，并且，则下列四个结论： ①，②，③，④，其中正确的结论有（　　） A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义；根据证明，再利用三角形全等的性质证明，，进而得出，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解此题的关键． 【详解】解：平分交于， ， 在和中， ， ，故④正确； ，故②③正确； ，于， ，， ， ，故①正确； 综上所述，正确的有①②③④， 故选：D． 3．（22-23七年级下·江苏南通·期末）如图，在中，，高与角平分线相交于点，的平分线分别交，于点，，连接，下列结论：①；②；③；④，其中所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据已知条件无法判定与相等，进而可对结论进行判断； 先根据角平分线的定义得，进而得，，，据此可对结论进行判断； 先证和全等得，然后根据平角的定义得，据此可对结论进行判断； 根据为的高得：，，根据已知条件无法判定与相等，对此可对结论进行判断． 此题主要考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握三角形的内角和定理、全等三角形的判定方法和三角形的面积公式． 【详解】根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确； 是的角平分线， ， 为的高，， ，， 又， ， 结论正确； 由结论正确得：， 平分， ， 在和中， ，，， ， ， ， ， ， 即：， 结论正确； 为的高， ，， 根据已知条件无法判定与相等， 无法判定与相等， 结论不正确． 综上所述：正确的结论是． 故选：B． 题型三　全等三角形中的动点最值问题 例题：（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，钝角的面积为12，最长边，平分，点M、N分别是上的动点，则的最小值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．过点C作于点E，交于点M，过点M作于N，则当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长．再根据三角形的面积公式求出的长，即可． 【详解】解：过点C作于点E，交于点M，过点M作于N， ∵平分，，， ∴， ∴， 即当点C，M，N三点重合时，取得最小值，最小值为的长． ∵的面积为12，最长边， ∴，即， ∴ 即的最小值为3． 故答案为：3． 巩固训练 1.（23-24七年级下·广东河源·期末）如图，点P是的平分线上一点，于点B，且，，点E是上的一动点，则的最小值为 ．    【答案】3 【分析】本题考查角平分线的性质、垂线段最短，过P作于H，利用角平分线的性质定理得到即可，根据垂线段最短得到时最小，进而可求解． 【详解】解：过P作于H，    ∵点P是的平分线上一点，于点B，，， ∴， ∵当时，的值最小，最小值为的长， ∴的最小值为3， 故答案为：3． 2.（23-24八年级上·河北唐山·期末）如图，中，，用尺规作图法作出射线，交于点，，为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图、角平分线的性质、垂线段最短，熟练掌握角平分线的性质是解答本题的关键．过点作于点，由尺规作图痕迹可知，为的平分线，则，由图可知，当点与点重合时，取得最小值，即可得出答案． 【详解】解：过点作于点， 由尺规作图痕迹可知，为的平分线， ， ， 为上一动点， 当点与点重合时，取得最小值， 的最小值为2． 故答案为：2 题型四　全等三角形中的动点综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在小学，我们知道正方形具有性质“四条边都相等，四个内角都是直角”，请适当利用上述知识，解答下列问题： 已知：如图，在正方形中，，点G是射线上的一个动点．以为边向右作正方形，作于点H． (1)填空： ； (2)若点G在点B的右边． ①求证：； ②试探索：的值是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①见解析；②的值是定值， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据题意得到，由平角的定义即可得到结论； （2）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； ②根据全等三角形的性质得到，根据线段的和差即可得到结论． 【详解】（1）解：正方形， ， ， 故答案为：； （2）解：①， ， ， ， ， 正方形和正方形， ， ， 在和中，， ； ②的值是定值， 由①可得，， ， ， ， ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·安徽宿州·期末）在中，，点是射线上的一动点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，使，，连接． (1)如图1，当点在线段上，且时，那么 度； (2)设，． ①如图2，当点在线段上，时，请你探究与之间的数量关系，并证明你的结论； ②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整，并直接写出此时与之间的数量关系（不需证明）． 【答案】(1)90 (2)①，证明见解析；②，图见解析 【分析】（1）根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据直角三角形两个锐角互余即可求解； （2）①根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形内角和是180°即可求解； ②根据题意可得；根据全等三角形的判定和性质可得，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和推得，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）①解：，理由如下： ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； ∴； ②如图：； 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质；熟练掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等是解题的关键． 2．（23-24七年级下·河南郑州·期末）已知在中，，，．点D为边上一点，且，过点B作射线，动点E从点B出发，以1个单位/秒的速度沿射线的方向运动，连接． (1)如图1，当时，线段与相等吗? 请说明理由． (2)当线段与的其中一边垂直时，求出点E运动的时间t的值． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)3或8 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，同角的余角相等．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键． （1）证明，即得出； （2）分类讨论：当时和时，分别证明，即可求解． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ∵，，， ∴， ∴； （2）解：分类讨论：当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴， ∴． 综上可知t的值为3或8． 3．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）已知：中，为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． (1)如图1，当点在线段上时，过点作于，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接交直线于点．试探究与的数量关系，并说明理由． (3)当点在射线上时，连接交直线于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，三角形的面积计算； （1）求出，即可利用证明； （2）作交的延长线于点，求出，证明，可得，然后再证即可； （3）分情况讨论：当点在的延长线上时，作交的延长线于点，求出，证明，可得，，然后求出，再证，可得，设，表示出和，然后根据三角形的面积公式列式即可；当点在线段上时，同理求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，，， ， ， 在和中，， ； （2）； 理由：如图2，作交的延长线于点， ，，， ，， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ； （3）解：如图3，当点在的延长线上时，作交的延长线于点，则， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 设，则， ， ， ， ，， ， 的值为； 如图4，当点在线段上时，设，则， ， ， ， ，， ， 综上所述，的值为或． 题型五　全等三角形中的新定义型综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁本溪·期末）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，P为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，与为积等三角形，若，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 （3）如图3，在中，过点C作，点是射线上一点，以为边作，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】（1）2；（2）2；（3）是积等三角形，证明见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）证明，推出，利用三角形的三边关系即可解决问题； （3）过过点作于点，先证明 则，然后再依据积等三角形的定义进行证明即可. 【详解】（1）解：过点作于， 与是积等三角形， ， ， ， ； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， 在和中， ， 在中 为正整数， ； （3）是积等三角形 证明：如图3，过点作于点，      在和中， ， 与为积等三角形． 巩固训练 1．（2024八年级下·全国·专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，和为“同源三角形”，，，与为“同源角”． (1)如图1，和为“同源三角形”，试判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若“同源三角形”和上的点，，在同一条直线上，且，则______°． (3)如图3，和为“同源三角形”，且“同源角”的度数为时，分别取，的中点，，连接，，，试说明是等腰直角三角形． 【答案】(1)，详见解析 (2)45 (3)见解析 【分析】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识， （1）由“同源三角形”的定义可证，然后根据证明即可； （2）由“同源三角形”的定义和可求出，由（1）可知，得，然后根据“8”字形图形即可求出的度数； （3）由（1）可知，可得，根据证明，可得，进而可证结论成立； 熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【详解】（1）． 理由：∵和是“同源三角形”， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． （2）∵和是“同源三角形”， ∴． ∵， ∴． 由（1）可知， ∴． ∵， ∴． 故答案为：45； （3）由（1）可知， ∴，． ，的中点分别为， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形． 2．（23-24七年级下·陕西宝鸡·期末）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】 (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是______； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是______； (3)若是的“边垂角”，且．如图2，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且，求证：． 【答案】(1) (2)或 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，四边形内角和定理： （1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：延长交于点， 是的“边垂角”， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ； 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【阅读理解】 定义：在同一平面内，点A，B分别在射线，上，过点A垂直的直线与过点B垂直的直线交于点Q，则我们把称为的“边垂角”． 【迁移运用】    (1)如图1，，分别是的两条高，两条高交于点 F，根据定义，我们知道是的“边垂角”或是的“边垂角”，的“边垂角”是 ； (2)若是的“边垂角”，则与的数量关系是 ； (3)若是的“边垂角”，且． ①如图2，已知，交于点E，点C关于直线对称点为点F，连接，，且 ，，求证：； 对于上述问题，小明有这样的想法：在上截取，连接，如图3．你明白小明的做法吗？接下来请你求证． ②如图4，若，直接写出四边形ABDC的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)①见解析；② 【分析】（1）根据“边垂角”的定义即可得到答案； （2）分两种情况画出图形，根据四边形的内角和定理以及等角的余角相等即可得出结论； （3）①延长交于点，先证明，再证明，依据题意得出，即可得到结论； ②连接，过点作与延长交于点，根据等腰三角形性质证明即可得到答案． 【详解】（1）解：根据“边垂角”的定义，的“边垂角”是； （2）解：若是的“边垂角”，分两种情况 ①如图，是的“边垂角”， ， ， ， ，    ②如图， 是的“边垂角”， ， ， ， ，    综上所述，与的数量关系是或； （3）解：①延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点关于直线对称点为点， ， ， ；    ②连接，过点作与延长交于点， 是的“边垂角”， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点， ， ， ．    【点睛】本题主要考查新定义，四边形的内角和定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练理解“边垂角”的定义是解题的关键． 4．（22-23七年级下·江苏淮安·阶段练习）我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转α()得到，把绕点A逆时针旋转β得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    (1)【探索一】如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，探索与的数量关系． 在探索这个问题之前，请先阅读材料： 【材料】如图2在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E，使，连结．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．中线的取值范围是　 ． 请仿照上面材料中的方法，猜想图1中与的数量关系，并给予证明． (2)【探索二】如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，探索是否是的“旋补中线”，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由． 【答案】(1)；，证明见解析； (2)是的“旋补中线”， 证明见解析 【分析】（1）材料：三角形三边关系可得，进而可得中线的取值范围； 探索一：延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （2）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”． 【详解】（1）解：材料：由题意得：，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， 故答案为：； 探索一：； 证明：如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）是的“旋补中线”； 证明：如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴是的“旋补中线”． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$