1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 导学案 一、学习目标 (1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. (2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义. (3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量. 二、重点难点 教学重点：空间中点、直线和平面的向量表示. 教学难点：建立空间基本图形与向量之间的关系，求平面的法向量. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 情境一： 任何一种工具的发明,都是为了方便解决问题,蒸汽机的发明推动了工业革命;计算机的出现解决了复杂的运算问题,提升了运算速度;网络的发明与发展促进了全球化的发展与“地球村”的形成.向量作为一种工具,它在立体几何中的应用又体现在哪些方面呢?通过前面的学习，我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 情境二：赤道式日晷：依照使用地的纬度，使晷面平行于赤道面，且晷针与晷面垂直，是中国古代最经典的计时仪器.如图1. 图1 图2 如图.2，如何用向量表示点的位置?如何用向量表示投影直线的位置?如何用向量表示晷面的位置? 环节二：学习新知 问题1如何用向量表示空间中的一个点? 问题2：空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，你能将空间中确定直线的这组条件转化为向量表示吗? 问题3：我们知道，两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 问题4：我们知道,给定空间一点和一条直线,则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发,我们能否利用点和直线的方向向量来确定平面呢？ 如图1.4-6,直线.取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量(normalvector).给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 追问：如果另有一条直线,在直线上任取向量，与有什么关系? 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.4-7在长方体中，，，，是的中点．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量． 解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为，，，M是的中点， 所以M，C，的坐标分别为，，． 因此，． 设是平面的法向量，则，． 所以所以 取，则，． 于是是平面的一个法向量． 练习 方法规律： 1.求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如； (2)设平面的法向量为； (3)联立方程组，并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 2.求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 变式训练： 1.在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】求得坐标，设出法向量，根据即可求解. 【详解】由题可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则平面的一个法向量为. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：利用空间直线的向量表示式解决问题 1.已知，若直线的一个方向向量为，则_________. 【答案】 【详解】根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 2.在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【答案】 【详解】解：因为，，， 如图 因为，， 所以 所以直线的一个方向向量为 规律小结：直线方向向量的表示方法 设是直线上的一点，是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，则 ①点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ②取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 ③取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 变式训练： 1.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）由点，点，得， 由向量为直线的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点的坐标是. 题型二：空间平面的向量表示式 3.已知点，，，，过点作平面，为垂足，则点的坐标是_________. 【答案】 【详解】设，则，， 因为平面，平面， 所以， 则，解得， 所以， 因为平面，为垂足， 所以四点共面， 则存在唯一实数对使得， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 小结：1.证明空间四点共面的方法 对空间四点,可通过证明下列结论成立来证明四点共面: (1)(为实数). (2)对空间任一点,(为实数). (3)对空间任一点，(为实数,且). (4)（或或） 2.空间中，平面的向量表示方法 设两条直线相交于点,所确定的平面为，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点,则： ①点在平面内的充要条件为存在唯一实数满足 ②取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使 ③给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 变式训练： 2．已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）直线的一个方向向量为. （2）是的法向量，所以， 即， 即. 3.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)如何用空间向量表示空间中的点、直线、平面?其中蕴含的数学思想方法是什么? (2)求平面法向量的一般步骤是什么?你能用一个框图表示吗? 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第29页练习第1题 教科书第41页习题第1、2题 巩固作业答案： 教科书第29页练习第1题 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） 【答案】 ①. √ ②. × ③. √ 【解析】 【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确； （2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确； （3）在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标平面Oxy的一个法向量，正确． 教科书第41页习题第1题 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. 【解析】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 教科书第41页习题1.4第2题 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量； (2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量. 【详解】易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 导学案 一、学习目标 (1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. (2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义. (3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量. 二、重点难点 重点：空间中点、直线和平面的向量表示. 难点：建立空间基本图形与向量之间的关系，求平面的法向量. 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 情境一： 任何一种工具的发明,都是为了方便解决问题,蒸汽机的发明推动了工业革命;计算机的出现解决了复杂的运算问题,提升了运算速度;网络的发明与发展促进了全球化的发展与“地球村”的形成.向量作为一种工具,它在立体几何中的应用又体现在哪些方面呢?通过前面的学习，我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 情境二：赤道式日晷：依照使用地的纬度，使晷面平行于赤道面，且晷针与晷面垂直，是中国古代最经典的计时仪器.如图1. 图1 图2 如图.2，如何用向量表示点的位置?如何用向量表示投影直线的位置?如何用向量表示晷面的位置? 环节二：学习新知 问题1如何用向量表示空间中的一个点? 问题2：空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，你能将空间中确定直线的这组条件转化为向量表示吗? 问题3：我们知道，两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 问题4：我们知道,给定空间一点和一条直线,则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发,我们能否利用点和直线的方向向量来确定平面呢？ 追问：如果另有一条直线,在直线上任取向量，与有什么关系? 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.4-7在长方体中，，，，是的中点．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 练习 方法规律： 1.求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如； (2)设平面的法向量为； (3)联立方程组，并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 2.求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 变式训练： 1.在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：利用空间直线的向量表示式解决问题 1.已知，若直线的一个方向向量为，则_________. 2.在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 变式训练： 1.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点的坐标． 题型二：空间平面的向量表示式 3.已知点，，，，过点作平面，为垂足，则点的坐标是_________. 2.空间中，平面的向量表示方法 设两条直线相交于点,所确定的平面为，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点,则： ①点在平面内的充要条件为存在唯一实数满足 ②取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使 ③给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 变式训练： 2．已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式． 3.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（） A． B． C． D． 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)如何用空间向量表示空间中的点、直线、平面?其中蕴含的数学思想方法是什么? (2)求平面法向量的一般步骤是什么?你能用一个框图表示吗? 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第29页练习第1题 教科书第41页习题第1、2题 巩固作业答案： 教科书第29页练习第1题 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） 教科书第41页习题第1题 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 教科书第41页习题1.4第2题 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$