1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章空间向量与立体几何 1.4.1用空间向量研究空间直线、平面的位置关系 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 一、教材分析 前面，已经学习了平面向量和立体几何初步，又研究了空间向量及其运算、空间向量基本定理，本节主要是利用空间向量解决立体几何问题，而利用空间向量表示点、直线、平面等空间几何基本图形是首要一步. 利用空间向量表示点、直线、平面，就是将平面几何、立体几何初步中关于确定点、直线、平面的条件“向量化”,其中的主要思想是取定空间一个点作为基准点，再利用向量集大小与方向于一身的特征，发挥方向的作用，得到空间点、直线、平面的向量表示式： (1)对空间任意一点,向量称为点的位置向量； (2)是直线的方向向量，在直线上取,设是直线上的任意一点，，都称为空间直线的向量表示式； (3)称为空间平面的向量表示式. 利用空间向量研究空间直线、平面的位置关系，本质上就是利用向量的方向表示直线、平面的方向，再通过向量的运算得出方向之间的关系，进而判断直线、平面的关系. 另外，用向量方法解决几何问题具有程序性特点，所用的知识就是向量的加减法、数乘、数量积以及基本定理，为解决立体几何问题提供了一种通法，这也是向量法的优势所在.因为向量的“自由性”,可以将相关向量平移到共起点或形成向量回路，但用综合法研究问题时，常常需要添加辅助线才能把相关几何元素联系起来，所以向量方法是解决立体几何问题的简便之法，为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决三维空间中图形位置关系与度量问题的有效工具. 二、学情分析 问题诊断 学生在立体几何初步中，已经学习了空间基本几何体的结构特征，学习了空间基本元素点、直线、平面的位置关系，已经熟悉了直线、平面的平行与垂直的判定定理和性质定理，能够用综合法解决一些立体几何问题.本章前面，学生在学习空间向量的概念及线性运算之后，已感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，学会了运用类比的方法研究空间向量及其运算.这些都为本单元的学习奠定了基础.本节学习可能存在如下问题： (1)学生对抽象的几何问题的分析能力尚有欠缺，在建立基本图形中的元素与向量之间的联系、用向量表示空间图形相关元素的过程中，需要使用构造性方法，这对学生是一个难点. (2)学生对直线的方向向量、平面的法向量理解不深，还达不到灵活运用的程度，不易找到解决问题的思路.例如，对于空间中直线、平面所成角的研究，由于角度是对两个方向差的度量，需要利用向量的自由性，构造出相应的角，找到与所求角相关的几何元素并用向量表示出来，再利用向量的数量积进行求解.这个过程中，构造方向向量、法向量，把相关的几何元素联系起来等，学生都会存在困难. (3)虽然学生在前面已系统学习了空间向量的相关内容，但学生对于空间向量的认识是不到位的，比如空间向量基本定理，学生能从形式上把握这一定理，但在解决具体问题时，需要根据问题的条件选择合适的“基”,需要准确把握条件及其相互关系，对于基底的选择与建立，学生还需要积累经验，提升对基底的认识，形成对“合适的基底”的敏感和直觉.另外，学生对向量法与坐标法的理解较为模糊，常将两者混为一谈，对坐标法的运用较熟练，而对向量在解决问题中所起到的工具性作用认识不到位. 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 ②能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系。 ③能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面位置关系的判定定理。 ④能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题(参见案例16)和简单夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 （二）课时目标要求 (1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. (2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义. (3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量. 四、重点难点 教学重点：空间中点、直线和平面的向量表示. 教学难点：建立空间基本图形与向量之间的关系，求平面的法向量. 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 情境一： 任何一种工具的发明,都是为了方便解决问题,蒸汽机的发明推动了工业革命;计算机的出现解决了复杂的运算问题,提升了运算速度;网络的发明与发展促进了全球化的发展与“地球村”的形成.向量作为一种工具,它在立体几何中的应用又体现在哪些方面呢?通过前面的学习，我们已经利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题.我们发现,建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键.我们知道,点、直线和平面是空间的基本图形,点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素.因此,为了用空间向量解决立体几何问题,首先要用向量表示空间中的点、直线和平面. 【设计意图】通过实际问题创设情境，引出课题空间中直线、平面等位置关系的探讨，进一步引发学生学习的兴趣. 情境二：赤道式日晷：依照使用地的纬度，使晷面平行于赤道面，且晷针与晷面垂直，是中国古代最经典的计时仪器.如图1. 图1 图2 如图.2，如何用向量表示点的位置?如何用向量表示投影直线的位置?如何用向量表示晷面的位置? 设计意图：引导学生回忆向量的要素，引入基点，得到位置向量；引导学生回顾共线向量定理，得到直线的向量表示，并得到直线的方向向量；启发学生考虑两相交直线的方向向量 环节二：学习新知 问题1如何用向量表示空间中的一个点? 师生活动:如图1.4-1,在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量来表示.我们把向量称为点的位置向量. 老师讲解：位置是几何的最为原始、基本的概念.在几何学中，通常用点来标记位置，所以点就是位置的抽象.要表示位置需要有基点，确定了基点，向量就与点一一对应了.用向量表示点，是用向量表示直线和平面的基础，具有奠基作用. 【设计意图】使学生明确用向量表示空间的一个点的关键是选定空间一个点作为基准点. 问题2：空间中给定一个点和一个方向就能唯一确定一条直线，你能将空间中确定直线的这组条件转化为向量表示吗? 师生活动:方法一：如图1.4-2,是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，由向量共线的条件可知，点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 方法二：如图1.4-3,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是： 存在实数,使.① 将代入①式，得 ② ①②两式都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线可以由直线上的一点以及直线的方向向量唯一确定. 教师提醒学生注意：点与向量不仅能确定直线的位置，还可以表示出直线上的任意一点.方法二具有一般性，方法一是方法二中点与点重合时的特例.在空间任取一点作为基准点可以给解决问题带来方便，这是需要重视的一种思想方法. 【设计意图】直线是点的集合，由点的向量表示法过渡到直线的向量表示法是自然的，也为后续平面的向量表示做好铺垫. 问题3：我们知道，两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 师生活动：如图1.4-4,设两条直线相交于点,它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序实数对,使得 这样,点与向量和不仅可以确定平面,还可以具体表示出内的任意一点.这种表示在解决几何问题时有重要作用. 如图1.4-5,取定空间任意一点,可以得到,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使 ③ 我们把③式称为空间平面的向量表示式. 由此可知,空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. 【设计意图】通过将教科书中确定平面的公理的推论转化为向量表示，使学生在建立知识联系的过程中，了解平面的向量表示的多样性，进一步加深对平面向量基本定理的理解 问题4：我们知道,给定空间一点和一条直线,则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.由此得到启发,我们能否利用点和直线的方向向量来确定平面呢？ 师生活动：教师引导学生回顾立体几何初步中的命题：给定空间中一点和一条直线,则过点且垂直于直线的平面是唯一确定的.将它转化为向量表示，我们可以利用直线的方向向量来确定平面。 如图1.4-6,直线.取直线的方向向量,我们称向量为平面的法向量(normalvector).给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 追问：如果另有一条直线,在直线上任取向量，与有什么关系? 师生活动：由命题：垂直于同一平面的两条直线平行，故当两条直线，满足，时，直线的方向向量与直线的方向向量共线，故平面的法向量并不唯一，它们的模长可以不同，其方向相同或相反.与具体问题背景结合时，可以利用向量的“自由性”,根据问题的条件灵活确定表示法向量的有向线段. 【设计意图】：通过问题引导学生将视野拓展到空间，得出空间中平面的多种向量表示方法，在获得新的表示方法的过程中，建立相关知识的联系，为后续用向量方法解决立体几何问题打下基础。 环节三：根据新知，简单应用 例1：如图1.4-7在长方体中，，，，是的中点．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． （1）求平面当的法向量； （2）求平面的法向量． 分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量． 解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量． （2）因为，，，M是的中点， 所以M，C，的坐标分别为，，． 因此，． 设是平面的法向量，则，． 所以所以 取，则，． 于是是平面的一个法向量． 练习 方法规律： 1.求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如； (2)设平面的法向量为； (3)联立方程组，并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 2.求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 变式训练： 1.在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】求得坐标，设出法向量，根据即可求解. 【详解】由题可得， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 则平面的一个法向量为. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：利用空间直线的向量表示式解决问题 1.已知，若直线的一个方向向量为，则_________. 【答案】 【详解】根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 2.在平行六面体中，，，，O是与的交点．以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量． 【答案】 【详解】解：因为，，， 如图 因为，， 所以 所以直线的一个方向向量为 规律小结：直线方向向量的表示方法 设是直线上的一点，是直线的方向向量，在直线上取，设是直线上的任意一点，则 ①点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ②取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 ③取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数,使 变式训练： 1.在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．若直线l经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点的坐标． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【详解】（1）由点，点，得， 由向量为直线的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而，则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点的坐标是. 题型二：空间平面的向量表示式 3.已知点，，，，过点作平面，为垂足，则点的坐标是_________. 【答案】 【详解】设，则，， 因为平面，平面， 所以， 则，解得， 所以， 因为平面，为垂足， 所以四点共面， 则存在唯一实数对使得， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 小结：1.证明空间四点共面的方法 对空间四点,可通过证明下列结论成立来证明四点共面: (1)(为实数). (2)对空间任一点,(为实数). (3)对空间任一点，(为实数,且). (4)（或或） 2.空间中，平面的向量表示方法 设两条直线相交于点,所确定的平面为，它们的方向向量分别为和，为平面内任意一点,则： ①点在平面内的充要条件为存在唯一实数满足 ②取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数,使 ③给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合. 变式训练： 2．已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的法向量，是平面内任意一点，试写出满足的关系式． 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）直线的一个方向向量为. （2）是的法向量，所以， 即， 即. 3.已知点是法向量为的平面内的一点，则下列各点中，不在平面内的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题4：回顾本节课的学习内容，回答下列问题 (1)如何用空间向量表示空间中的点、直线、平面?其中蕴含的数学思想方法是什么? (2)求平面法向量的一般步骤是什么?你能用一个框图表示吗? 师生活动：用空间向量表示空间中的点、直线和平面，都是取定空间一点作为基点，再以此为基准，利用向量的方向，将直线(平面)上的定点与直线(平面)上的任意一点关联起来，从而得出空间直线(平面)的向量表示式. 【设计意图】：本节课的主要内容是用向量表示空间中的基本图形——点、直线、平面，通过小结，让学生掌握其中的思想方法，认识向量的方向在其中所起的关键作用.通过小结，使学生明确，用向量表示几何图形的要素是解决立体几何问题的第一步.平面的法向量在解决立体几何问题具有重要作用，因此学生需要明确求平面法向量的一般步骤. 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第29页练习第1题 教科书第41页习题第1、2题 巩固作业答案： 教科书第29页练习第1题 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） 【答案】 ①. √ ②. × ③. √ 【解析】 【详解】（1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确； （2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确； （3）在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标平面Oxy的一个法向量，正确． 教科书第41页习题第1题 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. 【解析】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 教科书第41页习题1.4第2题 如图，在直三棱柱中，，，．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量； （2）求平面的一个法向量． 【答案】(1)； (2). 【解析】 【分析】(1)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量； (2)求出平面内的两个向量，，然后利用法向量与这两个向量的数量积都为0来求法向量. 【详解】易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为 环节七板书设计1.4空间中点、直线和平面的向量表示 1.空间中点的表示 例1. 2.空间中直线的表示 ① ② ③ 2. 空间中平面的表示 ① ② 3.法向量的求解方法 例3. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$