1.4.1 空间中点、直线和平面的向量表示（第1课时）（教学课件）-【上好课】高二数学选择性必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

·选择性必修第一册· 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示 第一章 空间向量与立体几何 1.4.1 用空间向量 研究空间直线、 平面的位置关系 1 2 学习目标 课程标准要求： 能用向量语言描述直线和平面,理解直线的方向向量与平面的法向量。 课时目标要求： (1)能用向量语言表示空间中的点、直线与平面. (2)能用自己的语言解释直线的方向向量、平面的法向量的含义. (3)能说出求解直线的方向向量与平面的法向量的一般步骤，会求直线的方向向量与平面的法向量. 引入新知 赤道式日晷：依照使用地的纬度，使晷面平行于赤道面，且晷针与晷面垂直，是中国古代最经典的计时仪器.如图1. 图1 图2 如图2，如何用向量表示点B的位置?如何用向量表示投影直线的位置?如何用向量表示晷面的位置? 新课探究 我们知道，点、 直线和平面是空间的基本图形，点、 线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、 直线和平面． 新课探究 问题1:　在空间中，如何用向量表示空间中的一个点？ O P 图1.4-1 新课探究 问题2:　我们知道， 空间中给定一个点 A 和一个方向就能唯一确定一条直线 l ．你能将空间中确定直线 l 的这组条件转化为向量表示吗? A P l 用向量表示直线 l ,就是要利用点 A 和直线 l 的方向向量表示直线上的任意一点 P． 新课探究 图1.4-2 新课探究 图1.4-3 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点A及直线的方向向量 唯一确定． 新课探究 问题3:　我们知道，两条相交直线能确定一个平面，类比空间直线的向量表示，你能将上述确定一个平面的条件转化为向量表示吗? 图1.4-4 新课探究 图1.4-5 我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式． 由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 新课探究 问题4:　给一个定点和一个定方向（向量），能确定一个平面在空间中的位置吗？ 我们知道，给定空间一点 A 和一条直线 l ，则过点 A 且垂直于直线 l 的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面． 新课探究 图1.4-6 新课探究 总结新知 空间中点线面的向量表示小结 1. 空间一点P： 2. 直线上一点：P为直线BC1 3. 平面内一点：P为平面BCC1B1上一点 l A P 4. 直线的方向向量：在直线l上取( t 也是直线l的方向向量) 5. 平面的法向量：若l⊥α，则l的方向向量称为平面的法向量。 (t 也是平面的法向量；法向量常用，，等表示) 应用新知 图1.4-7 应用新知 图1.4-7 应用新知 图1.4-7 应用新知 方法规律 应用新知 方法规律 求平面法向量的常见类型 (1)已知平面内三个点的坐标,求这三个点确定的平面的法向量; (2)一个几何体中存在线面垂直关系,在建立空间直角坐标系后,平面的垂线的方向向量即为平面的法向量; (3)在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量,然后求平面的法向量. 应用新知 变式训练： A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解： 应用新知 变式训练： A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解： 应用新知 变式训练： A B C D D1 A1 B1 C1 x y z 解： 能力提升 例题 题型一 利用空间直线的向量表示式解决问题 解析 能力提升 例题 题型一 利用空间直线的向量表示式解决问题 A B C D D1 A1 B1 C1 O 解析 能力提升 方法总结 能力提升 变式训练 题型一 利用空间直线的向量表示式解决问题 能力提升 题型一 利用空间直线的向量表示式解决问题 解析 能力提升 题型一 利用空间直线的向量表示式解决问题 解析 能力提升 例题 题型二 空间平面的向量表示式 解析 能力提升 例题 题型二 空间平面的向量表示式 解析 能力提升 方法总结 能力提升 方法总结 能力提升 变式训练 题型二 空间平面的向量表示式 解析 能力提升 题型二 空间平面的向量表示式 解析 变式训练 课堂小结 作业布置 巩固作业：教科书第29页练习第1题 ； 教科书第41页习题第1、2题.  作业答案（教科书第29页练习第1题） 解析 √ × √ 作业答案（教科书第41页习题1.4第1题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第1题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第2题） 解析 作业答案（教科书第41页习题1.4第2题） 解析 本课结束 感谢您的聆听 ·选择性必修第一册· 1.求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如； (2)设平面的法向量为； (3)联立方程组，并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常 数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 已知，若直线的一个方向向量为，则___. 根据题意，,，若直线的一个方向向量为， 则设，即， 则，解得. 故答案为：． 直线方向向量的表示方法 设是直线上的一点，是直线的方向向量，在直线上取， 设是直线上的任意一点，则 ①点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即 ②取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数, 使. ③取定空间中的任意一点,点在直线上的充要条件是：存在实数, 使. 在空间直角坐标系中，已知向量，点，点． 若直线l经过点，且以为方向方量，是直线上的任意一点，为坐标原点． (1)求证：； (2)当，且时，求点的坐标． （1）由点，点，得， 由向量为直线的方向向量，得， 于是，而，消去得， 所以. （2）由（1）知，而， 则， 又，显然， 由，得，解得， 所以点的坐标是. 已知点，，，，过点作平面， 为垂足，则点的坐标是_________. 设，则，， 因为平面，平面， 所以， 则，解得，所以， 因为平面，为垂足， 所以四点共面， 已知点，，，，过点作平面， 为垂足，则点的坐标是_________. 则存在唯一实数对使得， 即， 所以，解得， 所以. 故答案为： 1.证明空间四点共面的方法 对空间四点,可通过证明下列结论成立来证明四点共面: (1)(为实数). (2)对空间任一点,(为实数). (3)对空间任一点，(为实数,且). (4)（或或） 2.空间中，平面的向量表示方法 设两条直线相交于点,所确定的平面为，它们的方向向量分别为和， 为平面内任意一点,则： ①点在平面内的充要条件为存在唯一实数满足 ②取定空间任意一点,空间一点位于平面内的充要条件是存在实数, 使 ③给定一个点和一个向量,那么过点,且以向量为法向量的平面完全确定, 可以表示为集合. 已知，，． (1)写出直线的一个方向向量； (2)设平面经过点，且是的法向量，是平面内 任意一点，试写出满足的关系式． （1）直线的一个方向向量为. （2）是的法向量，所以， 即， 即. 已知点是法向量为的平面内的一点，则下列 各点中，不在平面内的是（ ） A． B． C． D． 假设选项中的点为点， 对于A：，此时，点在平面内； 对于B：，此时，点不在平面内； 对于C：，此时，点在平面内； 对于D：，此时，点在平面内； 故选：B. 1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×” （1）零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量；（ ） （2）若是直线l的方向向量，则也是直线l的方向向量；（ ） （3）在空间直角坐标系中，是坐标平面Oxy的一个法向量．（ ） （1）零向量的方向不确定，所以不能作为直线的方向向量和平面的法向量，正确； （3） 在空间直角坐标系中，，平面Oxy，所以是坐标 平面Oxy的一个法向量，正确． （2）当时，，所以不一定是直线l的方向向量，不正确； 1. 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且． 设，，，求直线AE，BF的方向向量． 在△中，，，则， 在△中，，，则， ∵在△中，E是CD的中点， ∴，而，即， 1. 如图，在三棱锥中，E是CD的中点，点F在AE上，且． 设，，，求直线AE，BF的方向向量． 【答案】直线AE的方向向量，直线BF的方向向量. ∴在△中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、 2. 如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． 易知，，，. (1)，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则 ， 所以平面的一个法向量为； 2. 如图，在直三棱柱中，，，． 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系． （1）求平面的一个法向量；（2）求平面的一个法向量． (2) ，， 设面的法向量为，则 ， 即，取 ，则， 所以平面的一个法向量为 $$