第02讲 充要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年对口升学数学一轮复习讲练测（四川专用）

第2节 充要条件 【考纲要求】 1. 了解充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2. 了解命题中条件与结论的关系。 1．四种命题 (1)命题：数学中把用语言、符号或式子表达的，能够判断_真假__的陈述句叫作命题．其中判断为真_的语句叫真命题，_判断为假_的语句叫假命题．命题由_题设_和__结论_两部分构成． 2．充分条件和必要条件的概念 (1)如果p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的充要条件，记作p⇔q． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的充分不必要条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的必要不充分条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的既不充分也不必要条件． 注意：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系相同； (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价。 (3)若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (4) ①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 3．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 4．充要条件的传递性 (1)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的充要条件． (2)若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的充要条件． 考点一 充分、必要条件的判断 例1：指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0， q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似， q：两个三角形全等． (3)p：a＞b， q：ac＞bc. 【答案】(1)充分不必要条件．(2必要不充分条件．(3)既不充分也不必要条件． 【解析】(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似，故p是q的必要不充分条件． (3)a＞bac＞bc，且ac＞bca＞b，故p是q的既不充分也不必要条件． 变式：指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)在△ABC中，p：A>B， q：BC>AC； (2)p：a＝3， q：(a＋2)(a－3)＝0； (3)p：a<b， q：<1. 【答案】(1)充要条件； (2)充分不必要条件；(3既不充分也不必要条件． 【解析】(1)中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p是q的充要条件； (2)中，若a＝3，则(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件； (3)中，若a<b<0，则推不出<1，反之若<1，当b<0时，也推不出a<b，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件． 例2：已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】由得或，∴“”是“”的必要非充分条件，故选：B． 变式：已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件. 例3．“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】：，即，解得或， ，即，解得， 故“”不能推出“”，充分性不成立， “”能推出“”，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 变式：已知且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】“”时，若，则，不能得到“”. “”时，若，则，不能得到“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故选：D 例4：设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则必有，故是充分的，若，则或，故不必要．因此应是充分不必要条件． 变式：设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件. 例5：设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】，解得或，故“”推不出“”，反之“”可得出“”，故“”是“”的必要而不充分条件. 变式：设则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】解绝对值不等式可得，即，将分式不等式变形可得，解得，因为，所以“”是“”的必要而不充分条件. 考点二 充要条件与集合的关系 例1：集合，的关系如图所示，则是的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由韦恩图知：，∴是的充分不必要条件，故选：A. 变式1：设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 变式2:“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，若，当时，，所以“”是“”的充分不必要条件. 例2：已知，若是的必要而不充分条件，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若是的必要而不充分条件，只需找一个集合，使是其真子集，因为是的一个真子集． 变式：已知，若集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，集合，，可得，满足充分性，若，则或，不满足必要性，所以“”是“”的充分不必要条件. 例3：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】{a|－1≤a≤5} 【解析】因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，所以Q⊆P. 所以解得－1≤a≤5，即a的取值范围是{a|－1≤a≤5} 变式：已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】 【解析】解：由题知得，所以，解得，所以实数的取值范围为． 考点三 知识综合应用 例1：已知向量，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【解析】，故“”是“”充要条件. 变式1：向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】向量，，若，则，解得.所以“”是“”的充分不必要条件. 变式2：设是平面外的两条直线，且，那么是的（   ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【解析】充分性：若，结合，且在平面外，可得，是充分条件； 必要性：若，结合，且，是平面外，则，可以平行，也可以相交或者异面，所以不是必要条件．故是的充分非必要条件． 变式3：设，是两条不同的直线，，两个不同的平面.若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，当，且时，则必有；反之，当，时，则必有，所以当，时，则“”是“”的充要条件． 例2：设，，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】，则，，则，故是的充分而不必要条件. 变式：设，则“”是“”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由且且． 例3：是直线与直线平行且不重合的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【解析】充分性：时，直线与直线可化为：直线与直线，此时两直线平行.故充分性满足；必要性：因为直线与直线平行，所以，解得：m=1.故必要性满足. 变式：“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若直线：与直线：平行，则，， 当时，直线：与直线：，两直线重合，舍． 所以“直线：与直线：平行”等价于“”， 所以“”是“直线：与直线：平行”的既不充分也不必要条件． 例4：“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】方程表示椭圆，即且，所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 变式：“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，则且或且，此时方程表示的曲线一定为双曲线；则充分性成立；若方程表示的曲线为双曲线，则，则必要性成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2节 充要条件 【考纲要求】 1. 了解充分条件、必要条件、充要条件的概念； 2. 了解命题中条件与结论的关系。 1．四种命题 (1)命题：数学中把用语言、符号或式子表达的，能够判断 的陈述句叫作命题．其中 的语句叫真命题， 的语句叫假命题．命题由 和 两部分构成． 2．充分条件和必要条件的概念 (1)如果p⇒q，则称p是q的 ，q是p的 ． (2)如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的 ，记作 ． (3)如果p⇒q，但qp，那么称p是q的 条件． (4)如果pq，但q⇒p，那么称p是q的 条件． (5)如果pq，且qp，那么称p是q的 条件． 注意：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系相同； (2)以下五种表述形式：①p⇒q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价。 (3)若p是q的充要条件，则p⇔q，即p等价于q. (4) ①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论． ②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论． 3．充分条件和必要条件与集合的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)} 若p是q的充分不必要条件 则AB 若p是q的必要不充分条件 则BA 若p是q的充要条件 则A＝B 若p是q的既不充分也不必要条件 则AB之间没有子集关系 4．充要条件的传递性 (1)若p是q的充要条件，q是r的充要条件，即pq，qr，则有pr，即p是r的 条件． (2)若p是q的充要条件，即pq，则有qp，即q是p的 条件． 考点一 充分、必要条件的判断 例1：指出下列各题中p是q的什么条件． (1)p：x－3＝0， q：(x－2)(x－3)＝0. (2)p：两个三角形相似， q：两个三角形全等． (3)p：a＞b， q：ac＞bc. 变式：指出下列各组命题中，p是q的什么条件： (1)在△ABC中，p：A>B， q：BC>AC； (2)p：a＝3， q：(a＋2)(a－3)＝0； (3)p：a<b， q：<1. 例2：已知，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式：已知，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式：已知且，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4：设，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式：设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 例5：设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式：设则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点二 充要条件与集合的关系 例1：集合，的关系如图所示，则是的（    ） A． 充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1：设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2:“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2：已知，若是的必要而不充分条件，则可以是（    ） A． B． C． D． 变式：已知，若集合，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3：已知P＝{x|a－4<x<a＋4}，Q＝{x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，求实数a的取值范围． 变式：已知集合，且，若是的充分条件，求实数的取值范围. 考点三 知识综合应用 例1：已知向量，“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 变式1：向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式2：设是平面外的两条直线，且，那么是的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 变式3：设，是两条不同的直线，，两个不同的平面.若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例2：设，，则是的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 变式：设，则“”是“”的（   ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例3：是直线与直线平行且不重合的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 变式：“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例4：“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 变式：“”是“方程表示的曲线为双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$