7.3.1 复数的三角表示式 说课稿-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

《7.3.1 复数的三角表示式》说课稿 一、说教材的地位和作用 复数的三角表示式是其代数表达式的延伸，同时也是复数几何意义的拓展。一方面它丰富了复数的表达形式，同时三角表达式的引入对于复数指数形式构建有重要意义。另一方面，代数形式下复数加减几何意义容易刻画，也就是向量的加减。但是复数乘除几何意义难以在代数形式下描述，因此三角表达式的引入成功解决了该问题！ 二、学生学习情况分析 显性知识层面：学生通过高一上学期的学习已经掌握了向量、三角函数以及三角恒等变换等相关知识，这为推导复数三角表示式奠定了基础。 隐形思想层面：他们具有运用数形结合、化归与转化、类比等思想方法解决数学问题的意识。但是在具体情境的应用中，比如本节在探究复数三角表达式中，学生使用这些方法可能会遇到困难。 三、教学目标以及重难点分析 教学目标： ①经历复数的代数表达式、复数两种几何意义的学习理解复数的三角表达式。 ②通过建立象限角的坐标表示、向量与复数代数形式之间的关系体验数学新旧知识之间的紧密联系，提升学生类比归纳、数形结合的能力，培养其相关核心素养，为大学学习复变函数等高等数学知识打好基础。 教学重点：复数三角表达式的概念、复数三角表达式与代数表达式的互化。 教学难点：复数三角表示式的推导、三角表示式概念的辨析、三角表示式与代数表示式的互化。 四、教学方法分析 问题探究法：根据学生认知规律，在教学中按照提出问题——分析问题——解决问题次序进行。本节课中按照复数被模长和辅角决定——复数与模长、辅角之间等量关系的建立——复数的三角表达式的建立来完成课时教学 练习法：是指在教师指导下巩固与应用知识，掌握技能与技巧的方法。本节中学生通过完成教师设置的练习题来内化相关概念和知识。 5、 教学过程分析 引言：复数运算在工业上的应用 设计意图：我们生活中有很多交流电，比如，架空电力线里的电流、手机发射的信息、电子无线电传输等等都和交流电密切相关。而交流电电压的计算往往利用复数运算更为简单。可是这种形式的复数运算既不是代数形式运算、也不是向量形式的运算。而是复数三角形式的运算。由此，引入学习的主题——复数三角表达式。 ①复习旧知 问题1： 角顶点在坐标原点，始边在 轴非负半轴，为终边上一点（不同于坐标原点），则如何用表示？ 问题2：复数的表现形式多样化，有代数形式，几何形式（点和向量）。向量是具有大小和方向的量，在平面中知道了向量的模长和方向就可以确定该向量了。作为与向量一一对应的复数，其______对应向量的模长，其_______对应向量的方向。 设计意图：问题1的设置引起学生对旧知的回忆，对接下来三角形式的推导起到促进作用。问题2的设置，使得学生提取决定复数的两个关键信息：“模长”和“角度”。通过两个问题的设置学生可以轻松应对接下来三角形式的推导过程！ ②构建新知（一）——复数的三角表示式的概念 问题3：复数的角度怎么理解？ 问题4：在几何意义下有了复数的模和角度，就可以从新的角度刻画复数，那么该怎么表达呢？ 设计意图：通过类比象限角的概念，在问题3中，复数——向量——有向线段——从点出发的射线，角度指的是轴非负半轴为始边射线为终边的角。问题4的解决也是可以类比已知象限角的表示方法，这培养了学生类比归纳和数形结合的能力。 且。 一般地任何一个复数都可以表示成的形式。 其中，为复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数 的三角表达式。 ②构建新知（二）——复数三角表示式概念的辨析 问题5：复数的辐角有多少个？范围如何？这些角度之间有没有统一的表达式？此时复数与其三角表达式之间是否一一对应？如何一一对应？ 问题6：的范围如何？是否为三角表示式？如何改进就可以变为三角形式？ 问题7：三角表示式中的正余弦部分角度是否可以不同？是否为三角表示式？如何改进就可以变为三角形式？ 问题8：位置是否可以互换？是否为三角表示式？如何改进就可以变为三角形式？ 问题9：表达式中“＋”可否改为“-”? 是否为三角表示式？如何改进就可以变为三角形式？ 设计意图：在问题5中学生通过联系角相关概念类比归纳总结出这些辐角之间都相差，因此复数代数形式和其三角形式没办法一一对应，为此规定范围内的辐角为辐角主值。这样便可以和复数一一对应！问题5、6、7、8、9的设置便于学生从本质上辨析三角表达式的概念，培养其数学抽象核心素养。三角表示式的概念可以总结为：“模非负，角相同，余弦前，加号连”！ ②构建新知（三）——复数代数形式与三角形式互化 问题10：根据三角表示式的形式可知为复数的实部和虚部，也就是三角形式经过简单的计算、化简就可以转化为代数表达式。那么，复数的代数形式如何转化为三角形式？ 问题：如何将复数表示成三角形式？ 变式一：如何将复数表示成三角形式？ 变式二：如何将复数表示成三角形式？ 变式三：如何将复数表示成三角形式？ 问题11：用自己的语言总结代数式与三角式互化注意事项。 设计意图：通过训练，使得学生认识到两种结构具有辩证统一关系，从而对三角形式的认识得到进一步升华！ ③例题精讲 例 1.：画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式 ； 例2：分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应向量，并把这些复数表示成代数形式 设计意图：从数形结合角度，再一次帮助学生巩固了知识， 例2的设置促进学生反向思维的发展！ ④小结与作业布置 小结：（1）复数三角表示式的概念以及概念的辨析 （2）复数代数表示式与三角表示式的互化 作业布置：（1）必做题：课本86页2、3 （2）思考题：比较复数几种表示法的优缺点 学科网（北京）股份有限公司 $$