有理数与定义新运算讲义2024-2025学年北师大版数学七年级上册

有理数与定义新运算 【知识梳理】 定义新运算：是指题中给出定义出来的新的运算规律，不一定是我们平常所熟知的加减乘除乘方等，符号也不局限常规的符号，但却有着其独特的运算思路，一定注意，新定义运算只能在本题中适用。 注意事项： 1 新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序。 2 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 解题思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算定律进行运算。 第一，一定要整明白题中给的新定义是什么，是如何转换成加减乘除乘方等运算的； 第二，理解题中给出的例子，找到其中的规律 第三，运算的顺序一定要清楚，题中没有特殊规定的，还是要利用题中的新定义依次计算，先算括号里面的，在算括号外面的。 【例题精讲与精练】 【例题1】对于有理数a,b定义运算※如下：a※b=(a+b)a-b，则（-3）※4=_________． 【例题精练】 1、若定义一种新的运算“△”，规定有理数a△b=3a+b，如2△3=3×2+3＝9 （1）求（-2）△（-3）的值 （2）求（-2）△（-3）的值 2、（2023广东佛山）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24. （1）求3*（-4）的值 （2）求（-2）*（6*3）的值 【例题2】（23-24七年级·山东济南·期中）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1） 直接写出计算结果：______，______； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算：． 【例题精练】 1、（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1) ______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 2、在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是_________． 3、在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 4、概念学习：规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“-3的4次商”.一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”. 初步探究 (1)直接写出结果：___________； (2)关于除方，下列说法错误的是__________； ①任何非零数的2次商都等于1； ②对于任何正整数n，； ③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数. 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：. (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式__________；__________； (4)计算：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 有理数与定义新运算 【知识梳理】 定义新运算：是指题中给出定义出来的新的运算规律，不一定是我们平常所熟知的加减乘除乘方等，符号也不局限常规的符号，但却有着其独特的运算思路，一定注意，新定义运算只能在本题中适用。 注意事项： 1 新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序。 2 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 解题思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算定律进行运算。 第一，一定要整明白题中给的新定义是什么，是如何转换成加减乘除乘方等运算的； 第二，理解题中给出的例子，找到其中的规律 第三，运算的顺序一定要清楚，题中没有特殊规定的，还是要利用题中的新定义依次计算，先算括号里面的，在算括号外面的。 【例题精讲与精练】 【例题1】对于有理数a,b定义运算※如下：a※b=(a+b)a-b，则（-3）※4=_________． 答案：解：根据题中的新定义得：（-3）※4=（-3+4）×（-3）-4=-7 故答案-7 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【例题精练】 1、若定义一种新的运算“△”，规定有理数a△b=3a+b，如2△3=3×2+3＝9 （1）求（-2）△（-3）的值 （2）求（-2）△（-3）的值 答案：（1）-9 （2）0 2、（2023广东佛山）若定义一种新的运算“*”，规定有理数a*b=4ab，如2*3=4×2×3=24. （1）求3*（-4）的值 （2）求（-2）*（6*3）的值 答案： （1）-48 （2）-576 【例题2】（23-24七年级·山东济南·期中）【概念学习】 定义新运算：求若干个相同的非零有理数的商的运算叫做除方．比如，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”；写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作；，读作“的圈次方”．特别地，规定：． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______，______； （2）若为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有______；（填写正确的序号） ①任何非零数的圈2次方都等于1； ②任何非零数的圈3次方都等于它的倒数； ③圈次方等于它本身的数是1或； ④负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）请把有理数的圈次方写成幂的形式：______； （4）计算：． 【答案】（1）1；（2）①②④；（3）；（4）12 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义． （1）根据题意，计算出所求式子的值即可； （2）根据题意，可以分别判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题； （3）根据题意，可以计算出所求式子的值． （4）根据题意，可以计算出所求式子的值． 【详解】解：（1）， ； （2）①因为，所以任何非零数的圈2次方都等于1，正确； ②因为，所以任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，正确； ③圈n次方等于它本身的数是1或，说法错误，； ④根据新定义以及有理数的乘除法法则可知，负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确； 故答案为：①②④； （3）， 故答案为：； （4） ． 【例题精练】 1、（2023春·江西景德镇·七年级统考期中）材料一：对任意有理数a，b定义运算“”，，如：，． 材料二：规定表示不超过a的最大整数，如，，． (1) ______，=______； (2)求的值： (3)若有理数m，n满足，请直接写出的结果． 答案：（1）根据材料1新定义的运算“”的概念即可求出的值，根据材料2中的定义即可求出的值； （2）根据新定义函数把变形为加减运算，再根据运算顺序即可求出的值； （3）根据求出的值和的范围，再求出的值，即可得出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：，； （2）依题意， ； （3）∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，理解新定义是解题的关键． 2、在学习完《有理数》后，小奇对运算产生了浓厚的兴趣．借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．下面给出了关于这种运算的几个结论：①；②；③；④，其中正确的是_________． 答案： 【详解】解：①解：∵， ∴；故①正确； ②∵， ∴ ；故②正确； ③ 例如：由①知 又∵ ∴， ④ 例如② ∴ ∴ 故答案为：．①② 【点睛】本题主要考查新运算，有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则及新定义的运用． 3、在有理数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：时，；时，．则当时，代数式的值为 ． 答案：解：把代入得： ＝ ＝. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算、新运算法则等知识点，读懂题意，理解新运算是解题的关键. 4、概念学习：规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的3次商”，记作，读作“-3的4次商”.一般地，我们把n个相除记作，读作“a的n次商”. 初步探究 (1)直接写出结果：___________； (2)关于除方，下列说法错误的是__________； ①任何非零数的2次商都等于1； ②对于任何正整数n，； ③； ④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数. 深入思考 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：. (3)试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方(幂)的形式__________；__________； (4)计算：. 答案： (1)； 故答案为：； (2)任何非零数的2次商等于这个数与它本身相除，结果为1， 任何非零数的2次商都等于1，故①正确； 对于任何正整数n，当n为奇数时，，当n为偶数时，， ②错误； ，， .③错误； 负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数， ④正确； 综上，说法错误的是：②③， 故答案为：②③； (3) ， ， 故答案为：；； (4)， =， . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$