贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试题

2023-2024学年贵州省安顺市高二（下）期末数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 2．函数f（x）＝2x﹣lnx在点（1，2）处的切线倾斜角为（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 3．下列说法正确的是（　　） A．某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人 B．数据2，3，3，5，7，8，10，12的第80百分位数为8 C．线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强 D．线性回归模型分析中，模型的决定系数R2越小，模型的拟合效果越好 4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝f'（0）•x2﹣x，则f（x）的最大值为（　　） A． B．0 C． D．1 5．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来．若同学顺序不变，则不同的插入方式有（　　） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 6．你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（　　） A． B． C． D． 7．（3x﹣y）n的展开式中各项系数和为32，则展开式中含x2y3的项是（　　） A．﹣90x2y3 B．90x2y3 C．﹣180x2y3 D．180x2y3 8．已知a＝0.02，b＝e﹣0.96，c＝ln1.03，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，B＝{a，a2}．若A∩B≠∅，则实数a可取值（　　） A．﹣2 B． C．﹣1 D．0 （多选）10．已知随机变量X服从正态分布N（0，2），定义函数f（x）为X取值不超过x的概率，即f（x）＝P（X≤x），则下列说法正确的有（　　） A． B．f（1）+f（﹣1）＝1 C．f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数 D．∃x∈R，使得f（2x）＝2f（x） （多选）11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线．例如：四叶草曲线C：（x2+y2）3＝x2y2就是其中一种（如图）．则下列结论正确的是（　　） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线C所围的区域面积大于 D．四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 m 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为＝3.1x+54.2，则实数m＝　 　． 13．函数的所有极值之和为 　 　． 14．已知椭圆C：和双曲线E：在第一象限的交点为P，椭圆C的右焦点为F，在方向上的投影向量为，则椭圆C的离心率为 　 　；双曲线E的渐近线方程为 　 　． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．若数列是等差数列，且满足a1＝1，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{anan+1}的前99项和T99 16．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长．在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍．所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 （1）根据以上数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ （2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望． 参考公式；，其中n＝a+b+c+d． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．五面体ABC﹣A1DC1为直三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一个三棱锥D﹣A1B1C1后得到的几何体、AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，D为BB1的中点，F为线段A1D的中点，点E满足（0≤λ≤1）上． （1）若BF⊥CE，求实数λ的值； （2）若P是线段AC的中点，求平面ABC与平面PBF夹角的正弦值． 18．（17分）如图，在斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为60°，定义向量在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对（x，y），记为．在斜坐标系xOy中，完成如下问题： （1）若斜坐标系xOy中，，且，求实数m的值； （2）若斜坐标系xOy中，，求向量的夹角θ的余弦值． 19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为．当c＝1时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）求sh（x）与ch（x）的导数； （2）证明：sh（x）≥x在x∈[0，+∞）上恒成立； （3）求的零点． 参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数（i为虚数单位），则z的虚部是（　　） A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可． 解：＝， 则z的虚部是1． 故选：B． 2．函数f（x）＝2x﹣lnx在点（1，2）处的切线倾斜角为（　　） A．45° B．60° C．120° D．135° 【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解． 解：设倾斜角为α，α∈[0，π）， f（x）＝2x﹣lnx， 则f'（x）＝2﹣， f'（1）＝2﹣1＝1， 故tanα＝1，解得α＝45°． 故选：A． 3．下列说法正确的是（　　） A．某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人 B．数据2，3，3，5，7，8，10，12的第80百分位数为8 C．线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强 D．线性回归模型分析中，模型的决定系数R2越小，模型的拟合效果越好 【分析】结合分层抽样的定义，百分位数的定义，相关系数、决定系数的定义，即可求解． 解：按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人， 则样本中女生占3人， 故该班女生共有人，故A错误； 数据2，3，3，5，7，8，10，12，共8个， 8*80%＝6.4， 故该组数据的第80百分位数为10，故B错误； 线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强，故C正确； 线性回归模型分析中，模型的决定系数R2越小，模型的拟合效果越差，故D错误． 故选：C． 4．已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）＝f'（0）•x2﹣x，则f（x）的最大值为（　　） A． B．0 C． D．1 【分析】先求出f′（x）＝2f′（0）x﹣1，令x＝0求出f′（0）的值，进而得到f（x）的解析式，再结合二次函数的性质求解． 解：∵f（x）＝f'（0）•x2﹣x， ∴f′（x）＝2f′（0）x﹣1， 令x＝0得，f′（0）＝﹣1， ∴f（x）＝﹣x2﹣x， 当x＝﹣＝﹣时，f（x）取得最大值． 故选：C． 5．高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来．若同学顺序不变，则不同的插入方式有（　　） A．21种 B．27种 C．30种 D．42种 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 解：5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）． 故选：D． 6．你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（　　） A． B． C． D． 【分析】结合全概率公式，即可求解． 解：由题意可知，答对这道选择题的概率为：． 故选：A． 7．（3x﹣y）n的展开式中各项系数和为32，则展开式中含x2y3的项是（　　） A．﹣90x2y3 B．90x2y3 C．﹣180x2y3 D．180x2y3 【分析】利用二项式系数的性质可求得n＝5，进而可求得展开式中含x2y3的项． 解：∵（3x﹣y）n的展开式中各项系数和为32， ∴（3×1﹣1）n＝32，解得n＝5， ∴（3x﹣y）5的展开式中含x2y3的项是：（﹣y）3（3x）2＝﹣90x2y3． 故选：A． 8．已知a＝0.02，b＝e﹣0.96，c＝ln1.03，则a，b，c的大小关系是（　　） A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c 【分析】通过y＝ex的单调性得出b的近似值，再比较出b和a，再设出函数，根据其导数求解单调性，即可求出c的取值范围，再与a比较即可． 解：因为a＝0.02，b＝e﹣0.96，因为e≈2.718＞1， 所以e﹣0.96＞e﹣1＝≈0.367＞0.02， 即b＞a； 对于c＝ln（1+0.03），设f（x）＝ln（1+x）， 对其求导：， 因为x＝0.03＞0， 所以f'（x）＝， 这说明函数f（x）＝ln（1+x）在x＝0.03处单调递增． 所以f（0.03）＞f（0）， f（0）＝ln（1+0）＝0， f（0.03）＝ln（1+0.03）＞0， 又因为a＝0.02， 设m＝ln（1+x）﹣x，其中x＞﹣1， 则m′＝， 当m′＝0，解得x＝0， 当x＞0时，m′＜0，即m在[0，+∞）上单调递减； 当x＜0时，m′＞0，即m在（﹣1，0]上单调递增， 又因为当x＝0时，m＝0， 所以当x＞0时，m恒大于0，即ln（1+x）﹣x＞0， 所以ln（1+x）＞x在x∈[0，+∞）上恒成立， 所以ln（1+0.02）＞0.02， 又因为ln（1+x）在其定义域上单调递增， 所以ln（1+0.03）＞ln（1+0.02）， 所以ln（1+0.03）＞0.02， 即c＞a． 综上，b＞c＞a． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，B＝{a，a2}．若A∩B≠∅，则实数a可取值（　　） A．﹣2 B． C．﹣1 D．0 【分析】求出集合A，结合交集定义求解． 解：合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{a，a2}．A∩B≠∅， 对于A，a＝﹣2时，B＝{﹣2，4}，A∩B＝∅，故A错误； 对于B，a＝﹣时，B＝{﹣，2}，A∩B＝{﹣}，故B正确； 对于C，a＝﹣1时，B＝{﹣1，1}，A∩B＝{﹣1}，故C正确； 对于D，a＝0时，B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，故D错误． 故选：BC． （多选）10．已知随机变量X服从正态分布N（0，2），定义函数f（x）为X取值不超过x的概率，即f（x）＝P（X≤x），则下列说法正确的有（　　） A． B．f（1）+f（﹣1）＝1 C．f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函数 D．∃x∈R，使得f（2x）＝2f（x） 【分析】根据正态分布曲线的性质可解． 解：因为随机变量X服从正态分布N（0，2），则该曲线的对称轴为μ＝0， 则f（x）＝P（X≤0）＝，故A正确； 又f（1）＝P（X≤1），f（﹣1）＝P（X≤﹣1）＝P（X≥1）， 则f（1）+f（﹣1）＝1，故B正确； 根据正态分布曲线的性质，当x增大时，f（x）也在增大，则f（x）在R上为增函数，故C正确； ∵f（2x）＝P（X≤2x）＜1， 2f（x）＝2P（X≤x）， 当x＜0时，f（x）＝P（X≤x），则2f（x）＜1， 故∃x∈R，使得f（2x）＝2f（x），故D正确． 故选：ABCD． （多选）11．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线．例如：四叶草曲线C：（x2+y2）3＝x2y2就是其中一种（如图）．则下列结论正确的是（　　） A．曲线C关于坐标原点对称 B．曲线C上的点到原点的最大距离为 C．四叶草曲线C所围的区域面积大于 D．四叶草曲线C恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【分析】通过方程中的x，y的变换，即可判断选项A；由y＝x与（x2+y2）3＝x2y2联立，解方程，结合两点的距离公式计算可判断B；由四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，计算可判断C；根据x的取值求解y，结合对称性，即可判断D． 解：对于A：四叶草曲线方程为（x2+y2）3＝x2y2，将x，y换为﹣x，﹣y，可得方程不变，则曲线关于原点对称，故A正确； 对于B：将x，y换为y，x，可得方程不变，则曲线关于直线y＝x对称， 由y＝x与（x2+y2）3＝x2y2联立，可得或， 即曲线C上的点到原点的最大距离为，故B正确； 对于C：四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内， 故四叶草面积小于，故C错误； 对于D：由B知，在第一象限，曲线C上的点到原点距离最远的点为，由于， 故在第一象限不存在整点，根据对称性可知，在其它象限也不存在整点， 由于x＝0时，代入方程得到y＝0，故（0，0）是曲线经过的唯一整点，故D不正确． 故选：AB． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x与数学成绩y进行数据收集如表： x 15 16 18 19 22 y 102 98 115 m 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为＝3.1x+54.2，则实数m＝　115　． 【分析】根据已知条件，结合线性回归方程的性质，即可求解． 解：由表中数据可知，， ＝， 线性回归方程为＝3.1x+54.2， 则，解得m＝115． 故答案为：115． 13．函数的所有极值之和为 　4　． 【分析】利用导数求出函数的单调性，从而可得函数的极值，相加即可得解． 解：函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， f′（x）＝1﹣＝，令f′（x）＝0，可得x＝， 当x∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，f′（x）＞0，当x∈（﹣，0）∪（0，）时，f′（x）＜0， 所以f（x）在（﹣∞，﹣），（，+∞）上单调递增，在（﹣，0），（0，）上单调递减， 所以f（x）的极大值为f（﹣），极小值为f（）， 所以函数的所有极值之和为f（﹣）+f（）＝﹣++2+++2＝4． 故答案为：4． 14．已知椭圆C：和双曲线E：在第一象限的交点为P，椭圆C的右焦点为F，在方向上的投影向量为，则椭圆C的离心率为 　　；双曲线E的渐近线方程为 　y＝　． 【分析】设椭圆C的半焦距为c，由题意得点P的横坐标为xP＝c，进而求得＝，将P点坐标代入双曲线E的方程得a2＝c2，b2＝c2，结合椭圆的离心率公式和双曲线的渐近线方程公式求解即可.. 解：设椭圆C：的半焦距为c， 则F（c，0），a2＝b2+c2①， 因为在方向上的投影向量为，点P在第一象限， 所以点P的横坐标xP＝c， 代入椭圆C的方程得＝， 又点P在双曲线E：上， 所以②， 由①②解得a2＝c2，b2＝c2， 所以椭圆C的离心率为e＝＝＝， 双曲线E的渐近线方程为y＝x＝x＝． 故答案为：；y＝． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．若数列是等差数列，且满足a1＝1，． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{anan+1}的前99项和T99 【分析】（1）由等差数列的通项公式，求得公差，进而得到所求； （2）由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 解：（1）数列是等差数列，设公差为d，满足a1＝1，， 可得＝+4d，即5＝1+4d，解得d＝1， 即有＝1+n﹣1＝n，即an＝； （2）anan+1＝＝﹣， 则前99项和T99＝1﹣+﹣+...+﹣＝1﹣＝． 16．由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长．在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍．所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 （1）根据以上数据，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ （2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望． 参考公式；，其中n＝a+b+c+d． 附： α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【分析】（1）由题意，代入公式求出χ2的值，将其进行对比，进而即可求解； （2）先得到X的所有可能取值，求出相对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解． 解：（1）零假设H0：保护动物意识的强弱与性别无关， 易知χ2＝≈18.182＞6.635， 依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.01； （2）因为从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为＝， 易知X的所有可能取值为0，1，2，3， 此时P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝， 则X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故E（X）＝0×+1×+2×+3×＝． 17．五面体ABC﹣A1DC1为直三棱柱ABC﹣A1B1C1截去一个三棱锥D﹣A1B1C1后得到的几何体、AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，D为BB1的中点，F为线段A1D的中点，点E满足（0≤λ≤1）上． （1）若BF⊥CE，求实数λ的值； （2）若P是线段AC的中点，求平面ABC与平面PBF夹角的正弦值． 【分析】（1）根据给定条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用即可求解； （2）利用（1）中坐标系，求得平面PBF及平面ABC的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得． 解：（1）以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 则A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，0），A1（2，0，2），D（0，2，1），C1（0，0，2），，， 所以，， 因为， 所以， 所以＝（0，2λ，2﹣λ）， 因为BF⊥CE， ， 解得； （2）因为P是线段AC的中点，所以P（1，0，0）， 所以， 设平面PBF的一个法向量为， 则， 取x＝3，， 得， 显然平面ABC的一个法向量为， 设平面ABC与平面PBF的夹角为θ， 则＝＝， 所以． 即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为． 18．（17分）如图，在斜坐标系xOy中，，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为60°，定义向量在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对（x，y），记为．在斜坐标系xOy中，完成如下问题： （1）若斜坐标系xOy中，，且，求实数m的值； （2）若斜坐标系xOy中，，求向量的夹角θ的余弦值． 【分析】（1）由及条件建立方程求解即可； （2）由平面向量夹角的公式计算即可． 解：由题可得，， （1）因为，， 所以，， 因为，所以＝0， 即，即10+m+10+4m＝0，解得＝﹣4； （2）因为，， 所以，， 则＝＝﹣8+11﹣15＝﹣12， ＝＝， ＝＝， 所以＝． 19．（17分）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为．当c＝1时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质． （1）求sh（x）与ch（x）的导数； （2）证明：sh（x）≥x在x∈[0，+∞）上恒成立； （3）求的零点． 【分析】（1）由指数函数及复合函数的求导法则求解即可； （2）令g（x）＝sh（x）﹣x＝﹣x，x∈[0，+∞），利用导数求出g（x）的最小值即可得证； （3）先判断f（x）为奇函数，多次求导，利用导数确定函数的单调性，即可得解． 解：（1）因为，x∈R， 所以sh′（x）＝； 又因为，x∈R， 所以ch′（x）＝； （2）证明：令g（x）＝sh（x）﹣x＝﹣x，x∈[0，+∞）， 则g'（x）＝﹣1≥﹣1＝0，当且仅当x＝0时，等号成立， 所以g（x）在x∈[0，+∞）上单调递增， 所以g（x）≥g（0）＝0， 即sh（x）﹣x≥0在x∈[0，+∞）上恒成立， 所以sh（x）≥x在x∈[0，+∞）上恒成立， （3）因为＝﹣sinx﹣x3，x∈R， f（﹣x）＝﹣+sinx+x3＝﹣f（x）， 所以函数f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0， 当x＞0时， f'（x）＝﹣cosx﹣x2， 令h（x）＝﹣cosx﹣x2，x＞0， 则h'（x）＝+sinx﹣2x， 令m（x）＝+sinx﹣2x，x＞0， 则m'（x）＝+cosx﹣2， 令n（x）＝+cosx﹣2，x＞0， 所以n'（x）＝﹣sinx， 由（2）可知，当x＞0时，则有＞x， 所以n'（x）＝﹣sinx＞x﹣sinx， 令y＝x﹣sinx，x＞0， 则y'＝1﹣cosx＞0， 所以y＝x﹣sinx在（0，+∞）上单调递减， 所以x﹣sinx＞0， 即n'（x）＞0， 所以n（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以n（x）＞n（0）＝0， 即m'（x）＞0， 所以m（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以m（x）＞m（0）＝0， 即h'（x）＞0， 所以h（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）＝0， 即f'（x）＞0， 所以f（x）在（0，+∞）上单调递增， 又因为f（x）为奇函数， 所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递增， 所以f（x）只有一个零点，为x＝0． 学科网（北京）股份有限公司 $$