精品解析：陕西省安康市2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题

2023~2024学年度高一第二学期期中考试 数学 本试卷分选择题非选择题两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集和并集的定义求解，，即可根据元素与集合的关系逐一求解. 【详解】由，可得，， 所以，，，，故ABC错误，D正确， 故选：D 2. “”是“”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 首先解不等式，再根据集合的包含关系判断充分必要条件. 【详解】 解得：或 “”“或”，但反过来不成立， “”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查命题以集合形式时，判断充分不必要条件，意在考查基本的判断方法，属于基础题型. 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数、对数函数的单调性比较大小即得. 【详解】依题意，，，， 因此. 故选：C 4. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由，可得， 所以， 故选：B 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得，而， 因此， 所以. 故选：A 6. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积和横的坐标表示求出，再利用垂直关系的向量表示求解即得. 【详解】由向量，，得， 由，得， 所以. 故选：D 7. 函数的图象，是由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象平移可得，即可作出两个函数的图象，由交点个数即可求解. 【详解】由题意可得， 作出与的图象如下： 由图可知：与的图象有3个交点， 故选：C 8. 已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得， 取中点，连接，则，， ，，解得， 则，所以该圆锥的体积. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据周期求出，再由时求出，即可得到函数解析式，再由诱导公式判断即可. 【详解】由函数图象知，函数的最小正周期，则，解得，A错误； 当时，， 当时，，解得， 则，C正确； 当时，，解得， 则，B正确； 而，D错误. 故选：BC 10. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C. 一个梯形的直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用斜二测画法规则，逐项分析判断即可得解. 【详解】对于A，在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行，A正确； 对于B，若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为，B正确； 对于C，梯形平行的两边在直观图仍然平行，两腰不平行，在直观图仍然不平行， 因此一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确； 对于D，在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中可以垂直， 如正方体的直观图中，竖边与横边垂直，D错误. 故选：ABC 11. 已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】画出图象，根据图象可得的取值范围，再根据图象的局部对称性可得，且，故可判断各项的正误. 【详解】作出函数的图象，如图： 令，得或或， 由存在实数满足， 得直线与函数的图象有4个不同交点，由图象知，D正确； 由与关于对称，得，B正确； 由，得， 即，则， 整理得，C正确； ，由图象得，于是， 即，因此，A错误. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：分段函数的零点问题，可先刻画其图象，根据图象的性质可得各零点的性质，结合基本不等式等考虑目标代数式的范围等. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，为的共扼复数，则的虚部为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念可得，即可由复数的除法运算求解. 【详解】由可得，所以， 故，故虚部为， 故答案为： 13. 在中，，，，则面积_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理及同角公式求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理得， 则， 所以的面积. 故答案为： 14. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，设未知量，结合面积公式和勾股定理即可求解. 【详解】设该四棱锥的高为，底面边长为，侧面三角形底边上的高为， 根据题意得，该四棱锥的高为边长的正方形面积， 该四棱锥一个侧面三角形的面积， 又因，且，所以，即， 因此. 故选答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解即得. （2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圆半径即得. 小问1详解】 依题意，， 所以函数的最小正周期； 由，得， 所以函数的单调递增区间是. 【小问2详解】 由（1）知，，而，则， 由，得，解得， 由余弦定理得， 则外接圆的半径， 所以外接圆的面积为. 16. 已知，. （1）求在上的投影向量的坐标. （2）若，，求证：、、三点共线. （3）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，直接求出在上的投影向量的坐标. （2）利用向量共线证明三点共线. （3）利用向量夹角公式，结合向量共线列式计算即得. 【小问1详解】 依题意，在上的投影向量为. 【小问2详解】 依题意，不共线，由，，得， 即向量共线，且与有公共点， 所以、、三点共线. 【小问3详解】 依题意，，， 由与的夹角为钝角，得，且与不共线， 则且，解得，且， 所以实数的取值范围是. 17. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 【答案】（1） （2）， 万元 【解析】 【分析】（1）根据利润＝销售额－成本，结合分类讨论思想进行求解即可； （2）根据配方法、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 当时，， 综上，. 【小问2详解】 由（1）知，， 当时，， 因为，所以，当时，， 当时，， 当且仅当，即时取等号，此时，又， 所以，2023年产量为百辆时，企业所获利润最大，最大利润为万元. 18. 已知，，分别为内角，，的对边. （1）若，，，为边上的点. ①当平分边时，求的长度. ②当平分时，求的长度. （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 【答案】（1）①；②； （2）. 【解析】 【分析】（1）①利用余弦定理求出，再利用余弦定理求出；②利用三角形面积公式列式计算即得. （2）利用正弦定理边化角，再利用差角的正弦公式及正切函数的性质求解即得. 【小问1详解】 ①在中，由余弦定理得， 则，， 在中，，解得； ②由得：， 即，所以. 【小问2详解】 在锐角中，，且，则， 由正弦定理得， 显然，即有，因此， 所以的取值范围. 19. 已知函数（），函数为奇函数 （1）求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1），单调递增，证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，判断函数单调性，再利用单调性定义推理即得. （2）利用（1）的结论，脱去法则，转化为恒成立的不等式求解. 【小问1详解】 由函数为奇函数，得，即， 于是，解得， 函数在定义域上单调递增， ，且，， 由，得，则，因此， 所以函数在上单调递增. 小问2详解】 由是R上的奇函数， 得， 又在上单调递增，则，对恒成立， 显然，则，即恒有，因此， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023~2024学年度高一第二学期期中考试 数学 本试卷分选择题非选择题两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，则（ ） A B. C. 0 D. 1 5 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，.若，则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象，是由的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 下图是函数的部分图象，则（ ） A. B. C. D. 10. 关于斜二测画法，下列说法正确的是（ ） A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行 B. 若一个多边形的直观图面积为，则原图的面积为 C. 一个梯形直观图仍然是梯形 D. 在原图中互相垂直的两条直线，在对应的直观图中不再垂直 11. 已知函数，若存在实数（）满足，则正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若复数，为的共扼复数，则的虚部为___________. 13. 在中，，，，则的面积_____________. 14. 埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求外接圆的面积. 16. 已知，. （1）求在上的投影向量的坐标. （2）若，，求证：、、三点共线. （3）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本5000万元，每生产（百辆），需另投入成本（万元），且，已知每辆车售价15万元，全年内生产的所有车辆都能售完. （1）求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式； （2）2023年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润. 18. 已知，，分别为内角，，的对边. （1）若，，，为边上的点. ①当平分边时，求的长度. ②当平分时，求的长度. （2）若为锐角三角形，且，求的取值范围. 19. 已知函数（），函数为奇函数 （1）求出值，判断函数的单调性，并予以证明； （2）若对，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$