专题10 三角形5种常考题型归类-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（吉林专用）

专题10 三角形 （原卷版） 与三角形有关的线段 1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 2．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点在格点上． 与三角形有关的角 3．（2023·吉林·中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 4．（2020·吉林·中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    6．（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为 度． 7．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 全等三角形 8．（2023·吉林长春·中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 9．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 10．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（2021·吉林长春·中考真题）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米． 14．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 15．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 16．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 17．（2023·吉林·中考真题）如图，点C在线段上，在和中，． 求证：．    18．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 19．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 20．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：． 21．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 22．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、． （1）求证：． （2）若，，求的值． 23．（2020·吉林·中考真题）如图，是等边三角形，，动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，过点作，交折线于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． （1）的长为______（用含的代数式表示）． （2）当点落在边上时，求的值． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 24．（2020·吉林·中考真题）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接． 求证：． 等腰三角形 25．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 26．（2020·吉林·中考真题）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则的长为 （结果保留）． 27．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 28．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 29．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 30．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    31．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形； （2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形． 32．（2020·吉林长春·中考真题）如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒． （1）当点与点重合时，求的值． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）当为锐角三角形时，求的取值范围． （4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值． 直角三角形及勾股定理 33．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 34．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    35．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，，点B在第一象限．标记点B的位置后，将沿x轴正方向平移至的位置，使经过点B，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为 ． 36．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 37．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 38．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 39．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 与三角形有关的线段 40．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 41．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性 42．（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（2024·吉林长春·一模）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 44．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 45．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形中，，，，，则对角线的长度可能是 ．（写出一个即可） 与三角形有关的角 46．（2024·海南·一模）如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 47．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 48．（2024·吉林长春·模拟预测）如图为商场某品牌椅子的实物图和侧面图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 49．（2024·吉林长春·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 50．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形的顶点在射线上，顶点在射线上，，则的度数为 ． 51．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，已知，则的度数为 ． 52．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为 ． 全等三角形 53．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点C． ③画射线即为所求． 以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．SAS C．SSS D．全等三角形对应角相等 54．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）． 55．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，于点D，于E点，与交于F，连接，，下列结论：①，②，③，④若，则，其中，正确的结论序号是 ．    56．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 57．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：． 58．（2024·吉林·三模）两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示方式放置，图②是由图①抽象出的几何图形，其中，，，点B、C、E在同一条直线上．连接．求证：． 59．（2024·吉林·二模）如图，已知 于， 于， ．求证：． 等腰三角形 60．（2024·吉林长春·模拟预测）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　） A． B．或 C．或 D． 61．（2024·吉林长春·模拟预测）某学校的花坛形状如图所示，与的半径均为6米，且经过的圆心．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为 米．（结果保留） 62．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，点是上一点，延长至点，使，连接交于点，过点作，垂足为点，交于点，连接．下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论有 ． 63．（2024·吉林长春·二模）如图，在中，点 E是边上一点， 且 交于点F， P是延长线上一点，给出下面四个结论： ①平分 ； ②； ③； ④当 时，， 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 64．（2024·吉林长春·一模）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 直角三角形及勾股定理 65．（2024·吉林长春·模拟预测）在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 66．（2024·吉林长春·二模）如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行， 踏板长为，与地面的夹角，支架长为，，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离为（     ） A． B． C． D． 67．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 68．（2024·吉林长春·模拟预测）两块直角三角板按如图方式放置，、相交于点，给出下面四个结论：①点、、、在同一个圆上；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 69．（2024·吉林·三模）如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东，且在点E的正北方，，米，米．求的长（参考数据：，，）． 70．（2024·吉林·三模）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是1，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．    (1)在图①中以线段为边画一个等腰三角形且三边长均是无理数； (2)在图②中以线段为边画一个只是轴对称的四边形，使其面积为9． 71．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形中，对角线和相交于点E，且． (1)求证：； (2)如图2，点F在边上，与相交于点G，，若，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点M，若，求线段的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 三角形 （解析版） 与三角形有关的线段 1．（2023·吉林·中考真题）如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ． 【答案】三角形具有稳定性 【分析】根据三角形结构具有稳定性作答即可． 【详解】解：其数学道理是三角形结构具有稳定性． 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形具有稳定性，解题的关键是熟练的掌握三角形形状对结构的影响． 2．（2020·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以为边画． 要求： （1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形； （2）三个图中所画的三角形的面积均不相等； （3）点在格点上． 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等． 【详解】经计算可得下图中：图①面积为；图②面积为1；图③面积为，面积不等符合题目要求（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）． 故本题答案如下： 【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可． 与三角形有关的角 3．（2023·吉林·中考真题）如图，，是的弦，，是的半径，点为上任意一点（点不与点重合），连接．若，则的度数可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴的度数可能是 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2020·吉林·中考真题）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 5．（2023·吉林长春·中考真题）如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为 度．    【答案】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 6．（2021·吉林长春·中考真题）将一副三角板按如图所示的方式摆放，点D在边AC上，，则的大小为 度． 【答案】 【分析】根据两直线平行，得同位角相等，根据三角形外角性质求得，利用平角为即可求解． 【详解】设交于点G 故答案为． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，平角的概念，解题的关键是构建未知量和已知量之间的关系． 7．（2021·吉林·中考真题）如图①，在中，，，是斜边上的中线，点为射线上一点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）若．直接写出的长（用含的代数式表示）； （2）若，垂足为，点与点在直线的异侧，连接，如图②，判断四边形的形状，并说明理由； （3）若，直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）菱形，见解析；（3）或 【分析】（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得； （2）由题意可得，，由“直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半”，得，得，则四边形是平行四边形，再由折叠得，于是判断四边形是菱形； （3）题中条件是“点是射线上一点”，因此又分两种情况，即点与点在直线的异侧或同侧，正确地画出图形即可求出结果． 【详解】解：（1）如图①，在中，， ∵是斜边上的中线，， ∴． （2）四边形是菱形． 理由如下： 如图②∵于点， ∴， ∴； 由折叠得，， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴， ∴四边形是菱形． （3）如图③，点与点在直线异侧， ∵， ∴； 由折叠得，， ∴； 如图④，点与点在直线同侧， ∵， ∴， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴． 综上所述，或． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质、轴对称的性质、平行四边形及特殊平行四边形的判定等知识与方法，在解第（3）题时，应进行分类讨论，解题的关键是准确地画出图形，以免丢解． 全等三角形 8．（2023·吉林长春·中考真题）如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图可得，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：根据作图可得，故A，C正确； ∴在的垂直平分线上， ∴，故D选项正确， 而不一定成立，故B选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． 9．（2023·吉林长春·中考真题）如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点O为、的中点，只要量出的长度，就可以道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是（    ） A．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 C．两条直线被一组平行线所截，所的对应线段成比例 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】根据题意易证，根据证明方法即可求解． 【详解】解：O为、的中点， ，， （对顶角相等）， 在与中， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，正确使用全等三角形的证明方法是解题的关键． 10．（2022·吉林长春·中考真题）如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线，根据垂直平分线的性质和角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质进行判断即可． 【详解】根据尺规作图痕迹，可得DF垂直平分AB，BE是的角平分线， ， ， ， 综上，正确的是A、C、D选项， 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．（2021·吉林长春·中考真题）在中，，．用无刻度的直尺和圆规在BC边上找一点D，使为等腰三角形．下列作法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图逐一判断即可得． 【详解】解：A．此作图是作∠BAC平分线，在中，，，无法得出为等腰三角形，此作图不正确，符合题意； B．此作图可直接得出CA＝CD，即为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； C．此作图是作AC边的中垂线，可直接得出AD＝CD，此作图正确，不符合题意； D．此作图是作BC边的中垂线，可知AD是BC上的中线，为等腰三角形，此作图正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查作图−基本作图，解题的关键是掌握直角三角形的性质、中垂线的性质、角平分线的尺规作图． 12．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．按下列步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点；②作直线，与边相交于点，连结．下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理一一判断即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ，， ，， ， ， ， ， 故选项A，B，D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 13．（2022·吉林长春·中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形和等边三角形组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若厘米，则这个正六边形的周长为 厘米． 【答案】54 【分析】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，再证明△FMN、△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形即可求解． 【详解】设AB交EF、FD与点N、M，AC交EF、ED于点G、H，BC交FD、ED于点O、P，如图， ∵六边形MNGHPO是正六边形， ∴∠GNM=∠NMO=120°， ∴∠FNM=∠FMN=60°， ∴△FMN是等边三角形， 同理可证明△ANG、△BMO、△DOP、△CPH、△EGH是等边三角形， ∴MO=BM，NG=AN，OP=PD，GH=HE， ∴NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB，GH+PH+OP=HE+PH+PD=DE， ∵等边△ABC≌等边△DEF， ∴AB=DE， ∵AB=27cm， ∴DE=27cm， ∴正六边形MNGHPO的周长为：NG+MN+MO+GH+PH+OP=AB+DE=54cm， 故答案为：54． 【点睛】本题考查了正六边的性质、全等三角形的性质以及等边三角形的判定与性质等知识，掌握正六边的性质是解答本题的关键． 14．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在四边形中，，是边的中点，．求证：四边形是矩形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定及矩形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．利用可证明，得出，根据得出，即可证明四边形是平行四边形，进而根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明四边形是矩形． 【详解】证明：∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 15．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，点O是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，先根据平行四边形对边平行推出，再由线段中点的定义得到，据此可证明，进而可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∴， ∴． 16．（2023·吉林长春·中考真题）【感知】如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为__________度．                   【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点P在上（点P不与点A、C重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证． 下面是小明的部分证明过程： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， 请你补全余下的证明过程． 【应用】如图③，是的外接圆，，点P在上，且点P与点B在的两侧，连结、、．若，则的值为__________． 【答案】感知：；探究：见解析；应用：． 【分析】感知：由圆周角定理即可求解； 探究：延长至点E，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证； 应用：延长至点E，使，连结，通过证明得，可推得是等腰直角三角形，结合与可得，代入即可求解． 【详解】感知： 由圆周角定理可得， 故答案为：； 探究： 证明：延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． 是等边三角形． ， ， ∴，， ， 是等边三角形， ， ， 即； 应用： 延长至点E，使，连结， 四边形是的内接四边形， ． ， ． ， ， ∴，， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，邻补角，全等三角形的判定和性质，等边三角形、等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形；解题的关键是做辅助线构造，进行转换求解． 17．（2023·吉林·中考真题）如图，点C在线段上，在和中，． 求证：．    【答案】证明见解析 【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明． 【详解】解：在和中， ∴ ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 18．（2022·吉林长春·中考真题）【探索发现】在一次折纸活动中，小亮同学选用了常见的A4纸，如图①，矩形为它的示意图．他查找了A4纸的相关资料，根据资料显示得出图①中．他先将A4纸沿过点A的直线折叠，使点B落在上，点B的对应点为点E，折痕为；再沿过点F的直线折叠，使点C落在上，点C的对应点为点H，折痕为；然后连结，沿所在的直线再次折叠，发现点D与点F重合，进而猜想． 【问题解决】 (1)小亮对上面的猜想进行了证明，下面是部分证明过程： 证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 请你补全余下的证明过程． 【结论应用】 (2)的度数为________度，的值为_________； (3)在图①的条件下，点P在线段上，且，点Q在线段上，连结、，如图②，设，则的最小值为_________．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)见解析 (2)22.5°， (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得AD=AF，，由HL可证明结论； （2）根据折叠的性质可得 证明是等腰直角三角形，可求出GF的长，从而可得结论 ； （3）根据题意可知点F与点D关于AG对称，连接PD，则PD为PQ+FQ的最小值，过点P作PR⊥AD，求出PR=AR=，求出DR，根据勾腰定理可得结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ∴． 由折叠可知，，． ∴． ∴． 由折叠得，， ∴ ∴ 又AD=AF，AG=AG ∴ （2）由折叠得，∠ 又∠ ∴∠ 由得，∠ ∠ 又∠ ∴∠ ∴∠ ∴ 设则 ∴ ∴ ∴ （3）如图，连接 ∵ ∴AG是FD的垂直平分线，即点F与点D关于AG轴对称， 连接PD交AG于点Q，则PQ+FQ的最小值为PD的长； 过点P作交AD于点R， ∵∠ ∴∠ ∴ 又 ∴ ∴ 在中， ∴ ∴的最小值为 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，最短路径问题，矩形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． 19．（2022·吉林长春·中考真题）如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，其顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．      (1)网格中的形状是________； (2)在图①中确定一点D，连结、，使与全等： (3)在图②中的边上确定一点E，连结，使： (4)在图③中的边上确定一点P，在边BC上确定一点Q，连结，使，且相似比为1：2． 【答案】(1)直角三角形 (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析 (4)翙解析 【分析】（1）运用勾股定理分别计算出AB，AC，BC的长，再运用勾股定理逆定理进行判断即可得到结论； （2）作出点A关于BC的对称点D，连接BD，CD即可得出与全等： （3）过点A作AE⊥BC于点E，则可知： （4）作出以AB为斜边的等腰直角三角形，作出斜边上的高，交AB于点P，交BC于点Q，则点P，Q即为所求． 【详解】（1）∵ ∴, ∴是直角三角形， 故答案为：直角三角形； （2）如图，点D即为所求作，使与全等：      （3）如图所示，点E即为所作，且使：    （4）如图，点P，Q即为所求，使得，且相似比为1：2．    【点睛】本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定，熟练掌握相关定理是解答本题的关键． 20．（2022·吉林·中考真题）如图，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】先利用三角形全等的判定定理（定理）证出，再根据全等三角形的性质即可得． 【详解】证明：在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解题关键． 21．（2020·江苏南京·中考真题）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE 【答案】证明见详解． 【分析】根据“ASA”证明△ABE≌△ACD，然后根据全等三角形的对应边相等即可得到结论. 【详解】证明：在△ABE和△ACD中， ∵, △ABE≌△ACD (ASA)， ∴AE=AD， ∴BD=AB–AD=AC-AE=CE． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 22．（2020·吉林长春·中考真题）如图，在中，是对角线、的交点，，，垂足分别为点、． （1）求证：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）见解析1；（2） 【分析】（1）根据题意由平行四边形性质得，由ASA证得，即可得出结论； （2）根据题意由（1）得OE=OF，则OE=2，在Rt△OEB中，由三角函数定义即可得出结果． 【详解】解：（1）证明：在中， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ （2）∵， ∴ ∵ ∴ 在中，，. 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的性质与全等三角形的判定是解题的关键． 23．（2020·吉林·中考真题）如图，是等边三角形，，动点从点出发，以的速度沿向点匀速运动，过点作，交折线于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧．设点的运动时间为，与重叠部分图形的面积为． （1）的长为______（用含的代数式表示）． （2）当点落在边上时，求的值． （3）求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）根据“路程速度时间”即可得； （2）如图（见解析），先根据等边三角形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，最后在中，利用直角三角形的性质列出等式求解即可得； （3）先求出点Q与点C重合时x的值，再分、和三种情况，然后分别利用等边三角形的性质、正切三角函数、以及三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）由题意得： 故答案为：； （2）如图，和都是等边三角形 ，即 ， 在和中， 在中， ，即 解得； （3）是等边三角形 当点Q与点C重合时， 则，解得 结合（2）的结论，分以下三种情况： ①如图1，当时，重叠部分图形为 由（2）可知，等边的边长为 由等边三角形的性质得：PQ边上的高为 则 ②如图2，当时，重叠部分图形为四边形EFPQ 则在中，， 在中，，即 则 ③如图3，当时，重叠部分图形为 同②可知，， 在中，，即 则 综上，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质、直角三角形的性质、正切三角函数等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键． 24．（2020·吉林·中考真题）如图，在中，，点在边上，且，过点作并截取，且点，在同侧，连接． 求证：． 【答案】证明见详解 【分析】根据SAS即可证得． 【详解】证明：∵， ∴∠A=∠EDB， 在△ABC和△DEB中， ， ∴（SAS）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 等腰三角形 25．（2022·吉林·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】连接，先根据点的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， 点的坐标为， ， 由同圆半径相等得：， 是等腰三角形， ， （等腰三角形的三线合一）， 又点位于轴正半轴， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同圆半径相等、等腰三角形的三线合一、点坐标等知识点，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键． 26．（2020·吉林·中考真题）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则的长为 （结果保留）． 【答案】 【分析】根据题意，求出OB的长；根据弧长的公式，代入数据，即可求解． 【详解】由题意知：，， ∴ABC和ADC是等腰三角形，AC⊥BD． ∵， ∴OD=，OA= ∴OB=． ∵∠ABD=， ∴∠EBF=， = ． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和弧长的公式，正确掌握等腰三角形的性质和弧长的公式是解题的关键． 27．（2024·吉林·中考真题）小明在学习时发现四边形面积与对角线存在关联，下面是他的研究过程：    【探究论证】 （1）如图①，在中，，，垂足为点D．若，，则______． （2）如图②，在菱形中，，，则______． （3）如图③，在四边形中，，垂足为点O．若，，则______；若，，猜想与a，b的关系，并证明你的猜想． 【理解运用】 （4）如图④，在中，，，，点P为边上一点． 小明利用直尺和圆规分四步作图： （ⅰ）以点K为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点R，I； （ⅱ）以点P为圆心，长为半径画弧，交线段于点； （ⅲ）以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点，K在同侧； （ⅳ）过点P画射线，在射线上截取，连接，，． 请你直接写出的值． 【答案】（1）2，（2）4，（3），，证明见详解，（4）10 【分析】（1）根据三角形的面积公式计算即可； （2）根据菱形的面积公式计算即可； （3）结合图形有，，即可得，问题随之得解； （4）先证明是直角三角形，由作图可知：，即可证明，再结合（3）的结论直接计算即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2； （2）∵在菱形中，，， ∴， 故答案为：4； （3）∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：， 猜想：， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （4）根据尺规作图可知：， ∵在中，，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴根据（3）的结论有：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，菱形的性质，作一个角等于已知角的尺规作图，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，掌握作一个角等于已知角的尺规作图方法，是解答本题的关键． 28．（2024·吉林·中考真题）如图，在中，，，，是的角平分线．动点P从点A出发，以的速度沿折线向终点B运动．过点P作，交于点Q，以为边作等边三角形，且点C，E在同侧，设点P的运动时间为，与重合部分图形的面积为．    (1)当点P在线段上运动时，判断的形状（不必证明），并直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点E与点C重合时，求t的值． (3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)等腰三角形， (2) (3) 【分析】（1）过点Q作于点H，根据“平行线+角平分线”即可得到，由，得到，解得到； （2）由为等边三角形得到，而，则，故，解得； （3）当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，，则，此时；当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，此时，因此，故可得，此时；当点P在上，重合部分为， 此时，，解直角三角形得，故，此时，再综上即可求解． 【详解】（1）解：过点Q作于点H，由题意得：    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图，    ∵为等边三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 即， ∴； （3）解：当点P在上，点E在上，重合部分为，过点P作于点G，    ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由（2）知当点E与点C重合时，， ∴； 当点P在上，点E在延长线上时，记与交于点F，此时重合部分为四边形，如图，    ∵是等边三角形， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 当点P与点D重合时，在中，， ∴， ∴； 当点P在上，重合部分为，如图，    ∵， 由上知， ∴， ∴此时， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点P与点B重合时，， 解得：， ∴， 综上所述：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 29．（2023·吉林长春·中考真题）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，当四边形是菱形时．的长为__________． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（1）由题意可知易得，即，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明； （2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；由菱形得对角线平分对角得，再由三角形外角和易证即可得，最后由求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可知， ，， ， 四边形地平行四边形； （2）如图，在中，，，， ，， 四边形是菱形， 平分， ， ， ， ， ， ， 故答案为：．    【点睛】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余，三角形外角及等角对等边；解题的关键是熟练掌握相关知识综合求解． 30．（2023·吉林·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．    【答案】见解析 【分析】根据勾股定理可得，结合题意与网格的特点分别作图即可求解． 【详解】解：如图所示，    如图①，，则是等腰三角形，且是锐角三角形， 如图②，，，则，则是等腰直角三角形， 如图③，，则是等腰三角形，且是钝角三角形， 【点睛】本题考查了勾股定理与网格问题，等腰三角形的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 31．（2021·吉林·中考真题）图①、图2均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，点，点均在格点上，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，以点，，为顶点画一个等腰三角形； （2）在图②中，以点，，，为顶点画一个面积为3的平行四边形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的定义画出图形即可：如以为顶点，为 底边，即可做出等腰三角形； （2）作底为1，高为3的平行四边形即可． 【详解】解：（1）如图①中，此时以为顶点，为底边，该即为所求（答案不唯一）． （2）如图②中，此时底，高，因此四边形即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和平行四边形的性质，解题的关键掌握等腰三角形和平行四边形的基本性质． 32．（2020·吉林长春·中考真题）如图①，在中，，，．点从点出发，沿折线以每秒5个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，点到达点时，点、同时停止运动．当点不与点、重合时，作点关于直线的对称点，连结交于点，连结、．设点的运动时间为秒． （1）当点与点重合时，求的值． （2）用含的代数式表示线段的长． （3）当为锐角三角形时，求的取值范围． （4）如图②，取的中点，连结．当直线与的一条直角边平行时，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）或；（3）或；（4）或. 【分析】（1）由题意直接根据AB=4，构建方程进行分析求解即可； （2）由题意分两种情形：当点P在线段AB上时，首先利用勾股定理求出AC，再求出AE即可解决问题．当点P在线段BC上时，在Rt△PCE中，求出CE即可； （3）根据题意求出两种特殊情形下△PDQ是等腰直角三角形时t的值，即可求解当△PDQ为锐角三角形时t的取值范围； （4）根据题意分两种情形：如图7，当点P在线段AB上，QM∥AB时以及如图8，当点P在线段BC上，QM∥BC时，分别求解即可． 【详解】解：（1）当点与点重合时，．解得． （2）在中，，，所以，，． 如图3，当点在上时，在中，． 所以． 如图4，当点在上时，在中，，． 所以． （3）先考虑临界值等腰直角三角形，那么． 如图5，当点在上时，在中，． 而， 由，得．解得． 如图6，当点在上时，在中，． 而， 由，得，解得． 再数形结合写结论． 当为锐角三角形时，，或． （4）的值为或． 如图7，当点在上时，延长交于点． 作于，作于． 由，是的中点，可知是的中点． 在中，，所以． 在中，． 由，解得． 如图8，当点在上时，作于． 由，是的中点，可知． 在中，，所以． 在中，． 由，得，解得． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查解直角三角形，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题. 直角三角形及勾股定理 33．（2022·吉林·中考真题）如图，在中，，，．以点为圆心，为半径作圆，当点在内且点在外时，的值可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】先利用勾股定理可得，再根据“点在内且点在外”可得，由此即可得出答案． 【详解】解：在中，，，， ， 点在内且点在外， ，即， 观察四个选项可知，只有选项C符合， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题关键． 34．（2023·吉林·中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为 ．    【答案】 【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 35．（2021·吉林长春·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，，点B在第一象限．标记点B的位置后，将沿x轴正方向平移至的位置，使经过点B，再标记点的位置，继续平移至的位置，使经过点，此时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件结合等腰直角三角形的性质先求出点B ，点，即可得出点向右每次平移个单位长度，而为点B向右平移2个单位后的点，根据点平移规律即可得到答案 【详解】如图过点B作， 为等腰直角三角形，斜边在轴上， ， 向右平移至，点B在上，同理可得点的坐标为 每次向右平移1个单位，即点向右每次平移个单位， 为点B向右平移2个单位后的点 点的坐标为 故答案为： 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，以及坐标与图像变换—平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图像上某点的平移相同，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减． 36．（2024·吉林·中考真题）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中，于点C，尺，尺．设的长度为x尺，可列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，运用勾股定理建立方程是解题的关键． 设的长度为x尺，则，在中，由勾股定理即可建立方程． 【详解】解：设的长度为x尺，则， ∵， 由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 37．（2024·吉林长春·中考真题）【问题呈现】 小明在数学兴趣小组活动时遇到一个几何问题：如图①，在等边中，，点、分别在边、上，且，试探究线段长度的最小值． 【问题分析】 小明通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述几何问题． 【问题解决】 如图②，过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线．在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： （1）证明：； （2）的大小为 度，线段长度的最小值为________． 【方法应用】 某种简易房屋在整体运输前需用钢丝绳进行加固处理，如图③．小明收集了该房屋的相关数据，并画出了示意图，如图④，是等腰三角形，四边形是矩形，米，．是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳，点在上，点在上．在调整钢丝绳端点位置时，其长度也随之改变，但需始终保持．钢丝绳长度的最小值为多少米． 【答案】问题解决：（1）见解析（2）30，；方法应用：线段长度的最小值为米 【分析】（1）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，根据平行四边形性质证明结论即可； （2）先证明，根据垂线段最短求出最小值； （3）过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接，求出，进而得，利用垂线段最短求出即可． 【详解】解：问题解决：（1）证明：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线， 四边形是平行四边形， ； （2）在等边中，， ； 当时，最小，此时最小， 在中， ， 线段长度的最小值为； 方法应用：过点、分别作、的平行线，并交于点，作射线，连接， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 当时，最小，此时最小， 作于点R， 在中， ， 在中， ， 线段长度的最小值为米． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质，垂线段最短及矩形性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 38．（2024·吉林长春·中考真题）如图，在中，，．点是边上的一点（点不与点、重合），作射线，在射线上取点，使，以为边作正方形，使点和点在直线同侧． (1)当点是边的中点时，求的长； (2)当时，点到直线的距离为________； (3)连结，当时，求正方形的边长； (4)若点到直线的距离是点到直线距离的3倍，则的长为________．（写出一个即可） 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握面积法是解题的关键；（1）根据等腰三角形三线合一性质，利用勾股定理即可求解；（2）利用面积法三角形面积相等即可；（3）设，则，，过点作于 ，根据，建立方程；即可求解；（4）第一种情况，，在异侧时，设，，则，证明，得到，即可求解；第二种情况，当，在同侧，设，则，，，求得，解方程即可求解； 【详解】（1）解：根据题意可知：， 为等腰三角形，故点是边的中点时，； 在中，； （2）根据题意作，如图所示； 当时，则， 设点到直线的距离为， ， 解得：； （3）如图，当时，点落在上， 设，则，， 过点作于 则， ， ， 解得： 故， 所以正方形的边长为； （4）如图，，在异侧时； 设，，则 三边的比值为， ， ， 当，在同侧 设，则，， 三边比为， 三边比为， 设，则，， 解得： 综上所述：的长为或 39．（2023·吉林长春·中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）以为底，设边上的高为，依题意得，解得，即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可； （2）由网格可知，，以为底，设边上的高为，依题意得，解得，将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点； （3）作，过点作，交于格点，连接A、B、C即可． 【详解】（1）解：如图所示， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 即点在上方且到距离为个单位的线段上的格点即可， 答案不唯一； （2）由网格可知， 以为底，设边上的高为， 依题意得： 解得： 将绕或旋转，过线段的另一个端点作的平行线，与网格格点的交点即为点， 答案不唯一， （3）如图所示， 作，过点作，交于格点，      由网格可知， ，， ∴是直角三角形，且 ∵ ∴． 【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理求线段长度，与三角形的高的有关计算；解题的关键是熟练利用网格作平行线或垂直． 与三角形有关的线段 40．（2024·吉林长春·一模）四边形结构在生活实践中有着广泛的应用，如图所示的升降机，通过控制平行四边形形状的升降杆，使升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是（    ） A．平行四边形的对边相等 B．平行四边形的对角相等 C．四边形的不稳定性 D．四边形的内角和等于 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的不稳定性，根据四边形的不稳定性求解即可． 【详解】解：升降机降低或升高，其蕴含的数学道理是：四边形的不稳定性， 故选：C． 41．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的（    ） A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．灵活性 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形具有稳定性，根据三角形具有稳定性，即可进行解答． 【详解】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性， 故选；C． 42．（2024·浙江嘉兴·二模）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当是等腰三角形时，对角线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系等知识点，分两种情况，由三角形的三边关系：三角形两边的和大于第三边即可解决问题，熟知三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】∵为等腰三角形， ∴或， 当时，满足三角形三边关系，符合题意； 当时，在中，，不构成三角形，不符合题意； ∴， 故选：C． 43．（2024·吉林长春·一模）三角形结构在生产实践中有着广泛的应用，如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间，线段最短 B．三角形的稳定性 C．三角形的任意两边之和大于第三边 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性，由三角形的稳定性，即可得到答案，掌握三角形的稳定性是解题的关键． 【详解】解：如图所示的斜拉索桥结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性 故选：B． 44．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，在生活中，为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，这是利用了 ． 【答案】三角形的稳定性 【分析】本题考查了三角形稳定性的特性，理解三角形的稳定性即可解题． 【详解】解：为了保证儿童的安全，通常儿童座椅主体框架成三角形，是利用了三角形的稳定性， 故答案为：三角形的稳定性． 45．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形中，，，，，则对角线的长度可能是 ．（写出一个即可） 【答案】9（答案不唯一） 【分析】本题考查三角形三边的关系，熟练掌握三角形一边的长大于另两边的差，且小于另两边的和是解题的关键． 在中，根据三角形三边的关系，得，在中，根据三角形三边的关系，得，从而得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：在中，根据三角形三边的关系，得， ∴，即， 在中，根据三角形三边的关系，得， ∴，即， ∴ ∴（答案不唯一）． 故答案为：9（答案不唯一）． 与三角形有关的角 46．（2024·海南·一模）如图，含角的三角板的直角顶点C在直尺的边上，斜边与直尺的两边分别交于点D，E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 47．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，数学课上，老师在黑板上画出了一个，要求学生们只用无刻度直尺和圆规比较与的大小，以下是同学们给出的4种做法，根据作图痕迹，其中错误的是（    ） A．方法一 B．方法二 C．方法三 D．方法四 【答案】C 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质．方法一：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法二：由作法得：，再由等腰三角形的性质和三角形外角的性质，可判断；方法三：由作法得：，再由等腰三角形的性质，可判断；方法四：由作法得：垂直平分，再由等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，可判断． 【详解】解：方法一：由作法得：， ∴， ∵ ∴，故方法一正确； 方法二：由作法得：， ∴， ∵， ∴，故方法二正确； 方法三：由作法得：， ∴， 根据题中条件，无法得到与的大小，故方法三错误； 方法四：由作法得：垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故方法四正确； 故选∶C 48．（2024·吉林长春·模拟预测）如图为商场某品牌椅子的实物图和侧面图．若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据题意推出，最后根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选B． 49．（2024·吉林长春·三模）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质与判定，三角板中角度的计算；设交于点，根据题意可得，则，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵， ∴ ∴ ∴， 故选：A． 50．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，正五边形的顶点在射线上，顶点在射线上，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是正多边形内角度数、三角形外角性质，解题关键是熟练掌握正多边形内角的计算方法． 先根据多边形内角和计算公式求出正五边形内角和，由此得出、，结合题中条件求出后，根据三角形外角等于与之不相邻的两个内角和即可求解． 【详解】解：正五边形中，， ∴ 即①， ∵②， ∴得 即， 将代入②可得 即， ∵是的外角， ∴， 即， 故答案为：． 51．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，已知，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义以及平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．根据三角形的外角的定义算出，再根据平行线的性质即可解答； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 52．（2024·吉林白城·模拟预测）如图，依据尺规作图的痕迹，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，角平分线的作图，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质．本题先证明，求解，结合角平分线的作图以及三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：由作图可得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图可得：是的角平分线， ∴； ∵， ∴ 故答案为：． 全等三角形 53．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下： ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N； ②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点C． ③画射线即为所求． 以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是（    ） A．两点确定一条直线 B．SAS C．SSS D．全等三角形对应角相等 【答案】B 【分析】根据作图过程证明，得，所以是的平分线，进而可以进行判断．本题考查作图基本作图，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，两点确定一条直线等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：由作图过程可知：，， 在和中， ， ∴， ， 是的平分线． 作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是． 故选：B． 54．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，点E为正方形边上一点，连接，将绕点A逆时针方向旋转得到，点B对应点为F，点E对应点为G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当点E与点C重合时；④当点G落在边上时，；⑤当最短时，，其中正确的是 （填写序号）． 【答案】①②③④⑤ 【分析】根据旋转的性质即可判断①，利用正方形性质得到，结合旋转的性质得到，进而得到，即可得到，判断②，当点E与点C重合时，连接，证明为等边三角形，结合正方形性质证明，利用全等三角形性质以及等边三角形性质即可判断③，当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接，证明，结合旋转的性质得到，结合垂直平分线性质得到，利用直角三角形性质，以及解直角三角形的应用 表示出，，再根据即可判断④，在过点且垂直于的线段上运动，根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点，证明四边形为矩形，得到，结合直角三角形性质以及正方形性质即可判断⑤． 【详解】解：将绕点A逆时针方向旋转得到， ， 故①正确； 四边形为正方形， ， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 故②正确； 当点E与点C重合时，连接，如图所示： 由旋转的性质可知，，， 为等边三角形， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， 故③正确； 当点G落在边上时，作的垂直平分线交于点，连接， 四边形为正方形， ，， 由旋转的性质可知，， ， ， ， ， 的垂直平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在过点且垂直于的线段上运动， 根据垂线段最短，即当时，最短，过点作于点， ，，， 四边形为矩形， ， ， ， ， 故⑤正确； 综上所述，正确的有①②③④⑤． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，旋转的性质，全等三角形的性质和判定等，解直角三角形，准确的作出图形并作出辅助线是解题的关键． 55．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，于点D，于E点，与交于F，连接，，下列结论：①，②，③，④若，则，其中，正确的结论序号是 ．    【答案】②④ 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质和判定，等边三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键．① 证明，可得，根据，可得，由，可得．故①不符合题意；②过点D作于点G，于点H，证明可得，平分，又，，故②符合题意；由于，证明、是等腰直角三角形，得，，证明，，得，由是等腰直角三角形，，得到，故③不符合题意；延长到点P，使，连接，由，得到，证明，得，，，证明是等边三角形，得到，由，得，可得，故④符合题意； 【详解】解：①∵于点D，于E点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．故①不符合题意； ②过点D作于点G，于点H，    ∵， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴平分， 又， ∴， 故②符合题意； ③ ， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可得：是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故③不符合题意； ④延长到点P，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④符合题意； 故答案为：②④． 56．（2024·吉林长春·二模）如图，点为线段上一点，、都是等边三角形，、交于点，、交于点，、交于点，连结，给出下面四个结论：；；；．上述结论中，一定正确的是 （填所有正确结论的序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角形的性质推出，，判定是等边三角形。 由判定，推出，由对顶角的性质得到，由三角形内角和定理得到，由判定，推出，而，得到是等边三角形，因此，得到，推出，在变化，不一定是． 【详解】解：、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， 故符合题意； ，，， ， 故符合题意； ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 故符合题意； 在上的位置在变化， 在变化，不一定是， 故不符合题意． 正确的是． 故答案为：． 57．（2024·吉林松原·模拟预测）如图，在中，是斜边上的高线，于点F，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据题意，利用证明即可． 【详解】证明：在中，． ， ． ． ， ． 在和中， ， ． 58．（2024·吉林·三模）两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示方式放置，图②是由图①抽象出的几何图形，其中，，，点B、C、E在同一条直线上．连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解此题的关键． 由得到．由，，根据即可证明，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在与中， ∴． 59．（2024·吉林·二模）如图，已知 于， 于， ．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；根据证明，根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵于， 于， ∴ 在和中， ∴ ∴ 等腰三角形 60．（2024·吉林长春·模拟预测）等腰三角形的一个角是，则它的底角是（　　） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键． 分这个角为底角和顶角两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和求解即可． 【详解】解：当底角为时，则底角为， 当顶角为时，底角为：， 所以底角为或． 故答案为：B． 61．（2024·吉林长春·模拟预测）某学校的花坛形状如图所示，与的半径均为6米，且经过的圆心．已知实线部分为此花坛的周长，则花坛的周长为 米．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，弧长公式，等边三角形的性质和判定等知识点，能求出圆心角的度数是解此题的关键．连接，，，，，根据等边三角形的判定得出和是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出优弧所对的圆心角的度数，再根据弧长公式求出即可． 【详解】解：连接，，，，， 等圆与的半径为6米，经过的圆心， 米， 和是等边三角形， ， 优弧所对的圆心角的度数是， 花坛的周长为（米）， 故答案为：． 62．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在正方形中，点是上一点，延长至点，使，连接交于点，过点作，垂足为点，交于点，连接．下列四个结论： ①；②；③；④． 其中正确结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】根据正方形的性质可由定理证，即可判定是等腰直角三角形，进而可得，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得；由此即可判断①正确；再根据，可判断③正确，进而证明，可得，结合，即可得出结论④正确，由随着长度变化而变化，不固定，可 判断②不一定成立． 【详解】解：∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确；        又∵，， ∴， ∴， ∵，即：， ∴， ∴，故③正确， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故④正确， ∵若，则， 又∵， ∴， 而点E是上一动点，随着长度变化而变化，不固定， 而， 则故不一定成立，故②错误； 综上，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查三角形综合，涉及了正方形的性质，全等三角形、相似三角形的判定与性质，等腰三角形“三线合一”的性质，直角三角形的性质，熟练掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质是解题的关键． 63．（2024·吉林长春·二模）如图，在中，点 E是边上一点， 且 交于点F， P是延长线上一点，给出下面四个结论： ①平分 ； ②； ③； ④当 时，， 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握平行线的性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 由，可知，，则，由，可知是等腰三角形，由，可知，是的垂直平分线，平分 ，可判断①的正误；由，可得，如图，作的延长线于，则，可得，可判断④的正误；由题意知，无法判断的大小，可判断②的正误；由题意知，无法判断的大小；可判断③的正误． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 又∵， ∴，是的垂直平分线，平分 ，①正确，故符合要求； ∴， ， ∴； 如图，作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∴，④正确，故符合要求； 由题意知，无法判断的大小，②错误，故不符合要求； 由题意知，无法判断的大小；③错误，故不符合要求； 故答案为：①④． 64．（2024·吉林长春·一模）如图，在等腰中，顶角，点D是边的中点，连接，作于点E，再作交于点F．    (1)求证：； (2)若，则的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线，三角形中线的性质等知识，解题的关键是： （1）利用等腰三角形的性质得出，，利用余角的性质可得出，，利用等边对等角得出，，取中点G，连接，利用直角三角形斜边上中线的性质得出，利用等边对等角得出，然后利用含的直角三角形的性质即可得证； （2）利用（1）中求出，利用直角三角形斜边上中线的性质求出，则可求的面积，然后利用三角形中线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵，点D是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 取中点G，连接，    ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∵，G为中点， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， 故答案为：4． 直角三角形及勾股定理 65．（2024·吉林长春·模拟预测）在四边形中，，，，，，则四边形周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形． 过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F，通过证明，得出四边形是矩形，进而得出，，，即可解答． 【详解】解：过点A、点D分别作的垂线，垂足分别为点E、点F， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形周长， 故选：A． 66．（2024·吉林长春·二模）如图，图①、图②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行， 踏板长为，与地面的夹角，支架长为，，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了勾股定理，含角直角三角形的性质，解直角三角形的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 过点C作交于点M，交于点N，勾股定理和含角直角三角形的性质得到，解直角三角形得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点C作交于点M，交于点N ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∵，踏板长为， ∴ ∴． 故选：A． 67．（2024·吉林长春·模拟预测）如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段在直线上．若点恰好是线段中点，则的大小为 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线，含的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 过点作的垂线，垂足为，先证明为的中位线，和，再根据直角三角形中所对的直角边为斜边的一半即可得出，继而求出，以及的度数． 【详解】过点作的垂线，垂足为，如图： ∵点恰好是线段中点，，， ∴，， ∴， ∵两块等腰直角三角板完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 68．（2024·吉林长春·模拟预测）两块直角三角板按如图方式放置，、相交于点，给出下面四个结论：①点、、、在同一个圆上；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了圆的内接四边形，圆周角定理，解直角三角形． 根据，即可判断①；根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据三角形的外角定理，即可判断②；易得为四边形外接圆直径，不是四边形外接圆直径，即可判断③；根据含30度直角三角形的特征得出，再推出，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴点、、、在同一个圆上，故①正确，符合题意； ∵， ∴， ∵点、、、在同一个圆上， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ∵，点、、、在同一个圆上， ∴为四边形外接圆直径， ∵不经过中点， ∴不是四边形外接圆直径， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①②④， 故答案为：①②④． 69．（2024·吉林·三模）如图，五边形是一个公园沿湖的健身步道（步道可以骑行），是仅能步行的跨湖小桥．经勘测，点B在点A的正北方，点E在点A的正东方，点D在点B的北偏东，且在点E的正北方，，米，米．求的长（参考数据：，，）． 【答案】的长为 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，勾股定理及锐角三角函数，过点B作，则，根据得四边形是矩形，则，，根据点D在点B的北偏东得，根据得，在中，，米，米，根据勾股定理得，，在中，，，即可得，则，掌握矩形的性质，平行线的性质，勾股定理及锐角三角函数． 【详解】解：如图所示，过点B作， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵点D在点B的北偏东， ∴， ∵， ∴， 在中，，米，米，根据勾股定理得， ， 在中，，， 即， ∴， 答：的长为． 70．（2024·吉林·三模）图①、图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，小正方形的边长都是1，线段的端点均在格点上．在图①、图②中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，使所画图形的顶点均在格点上，不要求写出画法．    (1)在图①中以线段为边画一个等腰三角形且三边长均是无理数； (2)在图②中以线段为边画一个只是轴对称的四边形，使其面积为9． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可，然后利用网格及勾股定理求出边长为无理数； （2）作底为2和4，高为3的等腰梯形即可． 【详解】（1）解：如图①，即为所求作， ，三边均为无理数．    （2）解：如图，四边形即为所求．    面积为：． 71．（2024·吉林长春·一模）如图，在四边形中，对角线和相交于点E，且． (1)求证：； (2)如图2，点F在边上，与相交于点G，，若，试探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点M，若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)4 【分析】本题考查角度转化，等边对等角，三角形内角和定理，等边三角形判定及性质，全等三角形判定及性质，勾股定理 （1）根据题意可得，继而得到，再得到，即可得到本题答案； （2）在上截取，连接，证明是等边三角形，再证明，再利用边长关系即可得到本题答案； （3）设，结合（2）得，再表示出，作交于点K，作平分交于点L，即可得到四边形是平行四边形，再利用边长比例关系及勾股定理即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，在上截取，连接， ∵， ∴由（1）的方法，同理可求， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， 由（2）知：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 作交于点K，作平分交于点L， 则四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 过点B作于点W，过点Q作于点J， 则， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， 解得：舍 ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$