专题1.2 充要条件（考点精讲）-【中职专用】2025年职教高考数学一轮复习讲练测（福建专用）

专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：充分条件和必要条件 2 考点二：充要条件 3 【考纲要求】 1.了解充分条件和必要条件的概念，能判断已知条件和结论之间的关系。 2.了解充要条件和充分、必要条件的关系，能判断充分性和必要性。 【考向预测】 1.充分条件和必要条件 2.充要条件 【知识清单】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 2.充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB； （2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA； （3）p是q的充要条件⇔A＝B． 3.充要条件的两种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. （2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 【考点分类剖析】 考点一：充分条件和必要条件 例1. 设点，则且是点在直线上的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也不必要条件 例2. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3. 设为全集，、是的子集，则“存在集合使得”是“”的（    ）条件． A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例题4．“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式探究】已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题5．已知：命题：向量，，且与的夹角为钝角；命题：，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式探究】已知命题，则的（ ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 例题6．“双曲线C的方程为”是“双曲线C的渐近线方程为”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【变式探究】已知数列各项均大于，，“”是“数列成等比数列”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 考点二：充要条件 例1．“”是“”成立的（    ） A．充要条件； B．充分非必要条件； C．必要非充分条件； D．既非充分也非必要条件． 例2．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例3．已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 例4．若点不共线，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例5．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 例6．已知命题，且，命题，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式探究】1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 3．设a，b是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 充要条件 【考纲要求】 1 【考向预测】 1 【知识清单】 1 【考点分类剖析】 2 考点一：充分条件和必要条件 2 考点二：充要条件 6 【考纲要求】 1.了解充分条件和必要条件的概念，能判断已知条件和结论之间的关系。 2.了解充要条件和充分、必要条件的关系，能判断充分性和必要性。 【考向预测】 1.充分条件和必要条件 2.充要条件 【知识清单】 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p ⇒ q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p ⇒ q且q ⇏ p p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q ⇒ p p是q的充要条件 p ⇔ q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p 2.充分、必要条件与集合的关系 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B． （1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔AB； （2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔BA； （3）p是q的充要条件⇔A＝B． 3.充要条件的两种判断方法 （1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断. （2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断. 【考点分类剖析】 考点一：充分条件和必要条件 例1. 设点，则且是点在直线上的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】点P（2，-1）满足直线方程，所以在线上，反之不能推出点P的坐标必为（2，-1）.故选A 【变式探究】已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用特殊值和不等式的性质来判断2个命题的关系即可 【详解】当,时,,但不满足,故不是充分条件； 由不等式的性质可知, 由可得,故是必要条件； 故选B 例2. “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】直接按充分必要条件的定义进行讨论. 【详解】充分性：因为，代入成立，所以充分性满足； 必要性：由可解得：或，所以必要性不满足. 故选：A 【变式探究】“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据充分条件和必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得 由可得，所以得不出， 可得”是“”的充分不必要条件， 故选：A 例3. 设为全集，、是的子集，则“存在集合使得”是“”的（    ）条件． A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，再结合集合关系进行判断即可． 【详解】当时，满足，但，故充分性不成立； 当时，取，显然有，故必要性成立； 所以“存在集合使得”是“”的必要不充分条件. 故选：B． 【变式探究】是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由显然成立，通过举反例得出，故由充分不必要条件的定义可知答案. 【详解】由题意可知，反之不成立， 例如令，即， 则是的充分不必要条件， 故选：A. 例题4．“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直接利用充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】A. 能推出故充分，当时，取，不成立，故不必要，故错误； B. 当时，取，，不成立，故不充分，能推出，故必要，故正确； C. 能推出，故充分，反之也成立，故必要，故错误； D. 当时，取，，不成立，故不充分，当时，取，，不成立，故不必要，故错误； 故选：B 【变式探究】已知或，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据题意，先得到或，进而可得到结果. 【详解】因为是的充分不必要条件的等价关系是q是p的充分不必要条件， ∴或， 所以. 故选：A. 例题5．已知：命题：向量，，且与的夹角为钝角；命题：，则命题是命题的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】由命题的条件求出命题中的范围，再根据充分必要条件的定义判断. 【详解】由题意，与的夹角为钝角，所以，且， 所以，且， 即命题：，且， 所以由命题可以得到命题，反之不成立， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 【变式探究】已知命题，则的（ ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【详解】试题分析：..故A正确. 例题6．“双曲线C的方程为”是“双曲线C的渐近线方程为”的 A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【详解】试题分析：利用双曲线与渐近线方程的关系判断充要条件即可． 解：因为“双曲线C的方程为”，可得“双曲线C的渐近线方程为”，符合双曲线的基本性质； 而“双曲线C的渐近线方程为”，则“双曲线C的方程为=m，m≠0”，所以命题甲推出命题乙，命题乙不能说明命题甲， 甲是乙的充分不必要条件． 故选A． 【变式探究】已知数列各项均大于，，“”是“数列成等比数列”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】从充分条件和必要条件两方面推导， 【详解】解：，又，所以，则数列为等比数列； 因为，所以，若数列为等比数列，则公比为正数且，则有成立，，不能推出.所以是数列为等比数列的充分不必要条件. 故选：D. 考点二：充要条件 例1．“”是“”成立的（    ） A．充要条件； B．充分非必要条件； C．必要非充分条件； D．既非充分也非必要条件． 【答案】A 【分析】解不等式求出，再根据充要条件的定义判断可得答案. 【详解】由得，由得， 所以是成立的充要条件. 故选：A. 例2．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解. 【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 例3．已知等差数列的前项和为，若、则“有最大值”是“公差”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列项的符号特点和前项和最值的关系进行分析. 【详解】充分性：等差数列的前项和为， 前项和可看做关于的二次函数，则公差时，有最大值，充分性得证； 必要性：等差数列的前项和为，若、公差，则等差数列每一项都是负数，显然取到最大值，必要性成立. 故选：C. 例4．若点不共线，则“与的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．充分必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】先将不等式转化为，平方后得到后，排除掉与的方向相反即可. 【详解】不等式等价于， 两边平方可得：，即， 其中当且仅当与的夹角为钝角或与的方向相反， 由于点不共线，所以当且仅当与的夹角为钝角， 故选：B. 例5．“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得或，结合充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：B. 例6．已知命题，且，命题，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用充分必要条件的定义，结合不等式的性质即可得解. 【详解】当，且时， 由得同号，再由得，且， 即充分性成立； 当，且时，，且，即必要性成立； 所以是的充要条件. 故选：C. 【变式探究】1．已知，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】由条件结合充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由，可得： 若，则，当时，，故不能推出； 若，则当时，，可得，也不能推出． 综上所述，“”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 2．若，，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充分必要 【答案】C 【分析】举反例可得结论. 【详解】由，得不出， 所以“”是“”的不充分条件， 又，得不出， 所以“”是“”的不必要条件， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：C. 3．设a，b是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分性和必要性知识解决即可． 【详解】若，则不能判断正负，则推不出. 若，即，即也推不出． 故”是“”的既不充分也不必要条件． 故选：D. 4．对于变量，条件，条件，则是的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据充分必要条件的要求，分别判断能否推出，以及能否推出即得. 【详解】由，若取，则没有意义，显然不满足，即不是的充分条件； 由，若取，显然不满足，即不是的必要条件. 故选:D. 5．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】举出反例，得到充分性和必要性均不成立，得到答案. 【详解】设，此时满足，但不满足，充分性不成立， 设，此时满足，但不满足，必要性不成立， 故是的既不充分也不必要条件. 故选：D 6．已知为非零实数，则“”是“”成立的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】D 【分析】举反例结合充分必要条件的定义分析即可. 【详解】显然时不能推出，反之时也不能推出， 则“”是“”成立的既非充分又非必要条件. 故选：D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！11 学科网（北京）股份有限公司 $$