第23章　旋转 训练巩固课件-2024—2025学年人教版数学九年级上册

第二十三章　旋转 23．1　图形的旋转 第2课时 旋转作图 Ap 课 时 目 标 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 能力提升 素养拓展 基础夯实 (4，2) 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 (－4，8) 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．如图，在方格纸中，将Rt△AOB绕点B按顺时针方向旋转90°后得到Rt△A′O′B，则下列四个图形中正确的是( ) 2．如图，该图形绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是( ) A．72° B．108° C．144° D．216° 3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(3，0)，B(0，4)，把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是( ) A．(5，0) B．(8，0) C．(0，5) D．(0，8) 4．如图，已知点A(0，4)，B(2，0)，C(6，6)，D(2，4)，连接AB，CD.将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合(点A与点C重合，点B与点D重合)，则这个旋转中心的坐标为_______________． 5．画出所给图形绕点O顺时针旋转90°后的图形，旋转几次后可以与原图形重合？ 解：如图即为所给图形绕点O顺时针旋转90°后的图形，由图知，旋转4次后可以与原图形重合． 6．如图1，正方形ABCD的边AB，AD分别在等腰直角△AEF的腰AE，AF上，点C在△AEF内，则有DF＝BE(不必证明).将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后，连接BE，DF.请在图2中用实线补全图形，这时DF＝BE还成立吗？请说明理由． 解：补全图形如图所示． DF＝BE成立．理由：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等腰直角三角形，∴AD＝AB，AF＝AE，∠FAD＝∠EAB，∴△ADF≌△ABE(SAS)，∴DF＝BE. 7．如图，正方形OABC的两边OA，OC分别在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上．以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是( ) A．(2，10) B．(－2，0) C．(2，10)或(－2，0) D．(10，2)或(－2，0) 8．如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4.若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为__________________． 9．如图，在4×4的正方形网格中，小正方形的边长为1，△PMN绕某点旋转一定的角度，得到△P1M1N1. (1)指出旋转中心及旋转角的度数． (2)求MN1的长． 解：(1)如图，连接BM，BN，BP，BM1，BN1，BP1，则BP1＝BP＝1，根据勾股定理得BM1＝BM＝ eq \r(5) ，BN1＝BN＝2 eq \r(2) ，∴点B是旋转中心．由图中P和P1点的位置关系可知，旋转角等于90°. (2)根据勾股定理得MN1＝ eq \r(12＋42) ＝ eq \r(17) ，∴MN1的长是 eq \r(17) . 10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图) 解：如图，∵在△ABC中，∠ACB＝90°， AB＝5，BC＝4，∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝3， ∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°， 点A，B的对应点分别是点D，E， ∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°，∴AD＝ eq \r(AC2＋CD2) ＝3 eq \r(2) . 11．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到线段AE，连接DE，BE. (1)求∠DEB的度数． (2)过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明． 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，AB＝AD. 由旋转得∠EAB＝α，AB＝AE，∴AE＝AD，∠EAD＝90°＋α， ∴∠AED＝45°－ eq \f(1,2) α. ∵AE＝AB，∠EAB＝α， ∴∠AEB＝90°－ eq \f(1,2) α，∴∠DEB＝∠AEB－∠AED＝45°. (2)补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝ eq \r(2) CF， 证明：过C作CG⊥CF交FD延长线于G. ∵BF⊥DE，∴∠BFC＋∠CFD＝90°. ∵CG⊥CF，∴∠CFD＋∠G＝90°，∴∠BFC＝∠G. ∵∠BCD＝∠FCG＝90°，∴∠BCF＝∠DCG， ∵BC＝CD，∴△BCF≌△DCG(AAS)，∴BF＝DG，CF＝CG， ∴△FCG是等腰直角三角形，∴FG＝ eq \r(2) CF， 由(2)知，∠DEB＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形， ∴EF＝BF，∴EF＝DG，∴EF＋FD＝DG＋FD，即DE＝FG，∴DE＝ eq \r(2) CF. $$第二十三章　旋转 23．2　中心对称 23．2.2　中心对称图形 Ap 课 时 目 标 B C 能力提升 素养拓展 基础夯实 C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 线段本身的中点 对角线的交点 ①③ 能力提升 素养拓展 基础夯实 3 cm 15 cm2 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 A 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 2 2 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·台州月考)下列图标中是中心对称图形的是( ) 2．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是( ) 3．下列图形分别是可回收物、厨余垃圾、有害垃圾及其它垃圾的标志，其中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( ) 4．下列图形中，中心对称图形有( ) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 5．线段的对称中心是___________________，平行四边形的对称中心是________________________． 6．下面的扑克牌中，牌面是中心对称图形的是______________ (填序号). 7．如图，直线EF经过▱ABCD的对角线的交点．若AE＝3 cm，四边形AEFB的面积为15 cm2，则CF＝_____________，四边形EDCF的面积为_____________． 8．如图，AC＝BD，∠A＝∠B，点E，F在AB上，且DE∥CF.试说明这个图形是中心对称图形． 解：连接CD，交AB于O. ∵∠COA＝∠DOB，∠A＝∠B，AC＝BD，∴△ACO≌△BDO(AAS)， ∴OA＝OB，OC＝OD.∵DE∥CF，∴∠DEO＝∠CFO. 又∵∠DOE＝∠COF，OD＝OC，∴△ODE≌△OCF(AAS)，∴OE＝OF， ∴这个图形是中心对称图形． 9．图1，图2，图3均是由边长为1的正三角形构成的网格，每个网格图中有5个正三角形已涂上阴影．请在余下空白正三角形中，按下列要求涂上阴影： (1)在图1中涂上一个阴影正三角形，使得阴影部分图形是中心对称图形，但不是轴对称图形． (2)在图2中涂上两个阴影正三角形，使得阴影部分图形是轴对称图形，但不是中心对称图形． (3)在图3中涂上三个阴影正三角形，使得阴影部分图形既是中心对称图形，又是轴对称图形． 解：(1)如图1. (2)如图2，答案不唯一． (3)如图3，答案不唯一． 10．下列说法中，正确的是( ) ①中心对称图形与中心对称是两个不同的概念；②中心对称与中心对称图形都只有一个对称中心；③中心对称图形是指两个图形之间的一种关系；④关于某点成中心对称的两点连线的中点刚好是对称中心． A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 11．在圆、等腰三角形、正方形、平行四边形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有_______个． 12．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成中心对称且也以格点为顶点的三角形共有_____个．(不包括△ABC本身) 13．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心． 解：这些汉字或字母均为中心对称图形，标对称中心略． 14．用六根一样长的小棒搭成如图所示的图形． (1)试移动AC，BC这两根小棒，使六根小棒成为中心对称图形． 解：如图所示： (2)若移动AC，DE这两根小棒，能不能也达到要求呢？(画出图形) 解：能．如图所示： 15．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分． (1)如图1，四边形ABCD是中心对称图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFB________S四边形DEFC(填“＞”“＜”“＝”). (2)如图2，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，点O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． (3)八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分(用三种方法分割). 解：(1)＝. (2)如图2所示，直线l为所求． (3)如图3所示，直线m为所求． $$第二十三章　旋转 23．1　图形的旋转 第1课时 Ap 课 时 目 标 1．认识图形的旋转 2．旋转的性质 D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B A 90° ∠D DE 能力提升 素养拓展 基础夯实 50 45° 能力提升 素养拓展 基础夯实 42 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列运动属于旋转的是( ) A．足球在草地上滚动 B．火箭升空的运动 C．汽车在急刹车时向前滑行 D．钟表的钟摆的摆动 2．将如图所示的图案以圆心为中心，旋转180°后得到的图案是( ) 3．如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为( ) A．90° B．60° C．45° D．30° 4．如图，△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，旋转到△ADE的位置，则旋转中心是点______，旋转角是______，∠B的对应角是______，线段BC的对应线段是______． 5．如图，直线a∥b，△AOB的边OB在直线b上， ∠AOB＝55°，将△AOB绕点O顺时针旋转75°至△A1OB1， 边A1O交直线a于点C，则∠1＝_________°. 6．如图，菱形ABCD中，∠A＝120°，E是AD上一点，△ABE绕点B旋转60°至△CBH，连接DH.若∠BHD＝90°，则∠AEB＝_______． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°，得到△BDE，连接DC交AB于点F，则△ACF与△BDF的周长之和为______ cm. 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到△FBE，点C，A的对应点分别为E，F，点E落在BA上，连接AF. (1)若∠BAC＝34°.则∠BAF的度数为________. (2)若AC＝12，BC＝9，求AF的长． 解：(1)62°. (2)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝9，∴AB＝15.由旋转可得BE＝BC＝9，EF＝AC＝12，∴AE＝AB－BE＝15－9＝6， ∴AF＝ eq \r(AE2＋EF2) ＝ eq \r(62＋122) ＝6 eq \r(5) . 9．(2023·海南)如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为(6，0)，将△ABO绕着点B顺时针旋转60°，得到△DBC，则点C的坐标是( ) A．(3 eq \r(3) ，3) B．(3，3 eq \r(3) ) C．(6，3) D．(3，6) 10．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC，点A，D，E在同一条直线上．若AB＝2，BC＝3，则AD的长为_______． eq \r(14) 11．如图，点A在射线OX上，OA＝a.如果OA绕点O按逆时针方向旋转n°(0＜n≤360)到OA′，那么点A′的位置可以用(a，n°)表示． (1)按上述表示方法，若a＝3，n＝37，则点A′的位置可以表示为________. (2)在(1)的条件下，已知点B的位置用(3，74°)表示，连接A′A，A′B.求证：A′A＝A′B. (1)解：(3，37°). (2)证明：如图，∵A′(3，37°)，B(3，74°)， ∴∠AOA′＝37°，∠AOB＝74°，OA＝OB＝3， ∴∠A′OB＝∠AOB－∠AOA′＝74°－37°＝37°＝∠AOA′，∵OA′＝OA′，∴△AOA′≌△BOA′(SAS)，∴A′A＝A′B. 12．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AED，且点D在边BC上． (1)若∠DAC＝50°，则∠ABE＝________. (2)求证：BE⊥BC. (3)若D是BC的中点，AC＝2，求BE的值. (1)解：由旋转可得AB＝AE，∠DAE＝∠CAB，∴∠AEB＝∠ABE，∠EAB＝∠CAD＝50°，∴∠ABE＝ eq \f(180°－50°,2) ＝65°. (2)证明：由旋转可得AD＝AC，∴令∠ADC＝∠C＝x，则∠DAC＝180°－2x，由旋转的性质得∠EAB＝∠DAC＝180°－2x，AE＝AB，∴∠EBA＝ eq \f(180°－（180°－2x）,2) ＝x，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC＝90°－x，∴∠EBC＝∠EBA＋∠ABC＝x＋(90°－x)＝90°，即BE⊥BC. (3)解：由旋转的性质得AD＝AC＝2，∵∠BAC＝90°，点D是BC的中点，∴BD＝DC＝AD＝2，∴BC＝4，∵DE＝BC＝4，∴BE＝ eq \r(DE2－BD2) ＝2 eq \r(3) . $$第二十三章　旋转 23．2.1　中心对称 Ap 课 时 目 标 1．中心对称的概念及性质 2．画某图形关于某一点中心对称的图形 C A 能力提升 素养拓展 基础夯实 A ∠B＝90°(答案不唯一) 能力提升 素养拓展 基础夯实 解：画图略． 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 6 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( ) A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 2．(2023·株洲)如图所示，在矩形ABCD中，AB>AD，AC与BD相交于点O，下列说法正确的是( ) A．点O为矩形ABCD的对称中心 B．点O为线段AB的对称中心 C．直线BD为矩形ABCD的对称轴 D．直线AC为线段BD的对称轴 3．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有( ) A．4对 B．3对 C．2对 D．1对 4．如图所示，已知△ABC与△CDA关于AC的中点O成中心对称，添加一个条件____________________，使四边形ABCD为矩形． 5．如图，△DEC与△ABC关于点C成中心对称，AB＝3， AC＝1，∠D＝90°，则AE的长是_______． 6．如图，四边形ABCD绕一点旋转180°，点A落在点A1处，点B落在点B1处，试作出未完成的部分． eq \r(13) 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，△ABC和△AB′C′关于点A成中心对称． (1)找出图中所有相等的线段． (2)△ABC绕点A旋转了多少度？ (3)∠BB′C′是多少度？ 解：(1)AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′. (2)180°. (3)∠BB′C′＝∠CBA＝90°－30°＝60°. 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△A1B1C1关于某点成中心对称，则对称中心的坐标是( ) A．(1，1) B．(1，0) C．(1，－1) D．(1，－2) 9．如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为________． 10．如图，△ABO与△CDO关于点O成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE.求证：FD＝BE. 证明：∵△ABO与△CDO关于点O成中心对称， ∴OB＝OD，OA＝OC， ∵AF＝CE，∴OF＝OE， ∴△DOF≌△BOE(SAS)，∴FD＝BE. 11．如图，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． (1)直接写出点B1，B2，B3的坐标． (2)连接A1B2，求A1B2的长． 解：(1)由题意，得△OA1B1，△B2A2B1，△B2A3B3都是等边三角形，边长为2，∴OB1＝B1B2＝B2B3＝2，∴B1(2，0)，B2(4，0)，B3(6，0). (2)如图，过点A1作A1H⊥OB1.∵A1O＝A1B1，∴OH＝HB1＝1，∴A1H＝ eq \r(A1O2－OH2) ＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) ，∴A1(1， eq \r(3) )，∵B2(4，0)，∴A1B2＝ eq \r(A1H2＋B2H2) ＝ eq \r(（\r(3)）2＋32) ＝2 eq \r(3) . 12．如图，在△ABC中，AB＝AC，△ABC与△FEC关于点C成中心对称，连接AE，BF. (1)试猜想线段AE与BF具有怎样的位置关系和数量关系？并说明理由． (2)若△ABC的面积为3 cm2，求四边形ABFE的面积． (3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？并说明理由． 解：(1)∵△FEC是由△ABC顺时针旋转180°得到的，∴点A，C，F和点B，C，E分别共线，且AC＝CF，BC＝CE，∴四边形ABFE是平行四边形，∴AE∥BF且AE＝BF. (2)S△ABC＝3 cm2，又在平行四边形ABFE中，S△ABC＝S△BCF＝S△CEF＝S△ACE，∴S▱ABFE＝4×S△ABC＝12(cm2). (3)∠ACB＝60°时，四边形ABFE是矩形．理由如下：∵当∠ACB＝60°时，AB＝AC＝BC，又AC＝FC，BC＝EC，∴AF＝BE，∴ABFE是矩形． $$第二十三章　旋转 23．2.3　关于原点对称的点的坐标 Ap 课 时 目 标 1．关于原点对称的点的坐标 2．平面直角坐标系中的中心对称 D D D 能力提升 素养拓展 基础夯实 B (4，1) (－4，－1) (－4，1) 能力提升 素养拓展 基础夯实 5 (－a－2，－b) 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 C 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 D (3，－4)或(3，4) y＝2x－3 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．(2023·凉山州)点P(2，－3)关于原点对称的点P′的坐标是( ) A．(2，3) B．(－2，－3) C．(－3，2) D．(－2，3) 2．在平面直角坐标系中，点(a＋2，2)关于原点的对称点为(4，－b)，则ab的值为( ) A．－4 B．4 C．12 D．－12 3．将点A(3，2)沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，则点A′关于原点对称的点的坐标是( ) A．(－3，2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(1，－2) 4．△ABO与△A1B1O在平面直角坐标系中的位置如图所示，它们关于点O成中心对称，其中点A(4，2)，则点A1的坐标是( ) A．(4，－2) B．(－4，－2) C．(－2，－3) D．(－2，－4) 5．若点A(4，－1)与点A1关于x轴对称，则点A1的坐标为__________；若点A与点A2关于y轴对称，则点A2的坐标为__________；若点A与点A3关于原点对称，则点A3的坐标为__________． 6．已知点A(－2，b)与点B(a，3)关于原点对称，则a－b＝______． 7．如图，把△ABC经过一定的变换得到△A′B′C′，如果图中△ABC上的点P的坐标为(a，b)，那么它的对应点P′的坐标为_______________________． 8．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2，－1)，B(3，－3)，C(0，－4). (1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1. (2)直接写出点A1，B1，C1的坐标． 解：(1)如图所示． (2)A1(－2，1)，B1(－3，3)，C1(0，4). 9．如图，以ABCD的对称中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，点A的坐标为(－4，3)，且AD∥x轴，AD＝6，求其他各点的坐标． 解：B(－2，－3)，C(4，－3)，D(2，3). 10．已知点P(a＋1，－ eq \f(a,2) ＋1)关于原点的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是( ) 11．如图，将△ABC绕点C(0，1)旋转180°得到△A′B′C，设点A的坐标为(a，b)，则点A′的坐标为( ) A.(－a，－b) B．(－a，－b－1) C．(－a，－b＋1) D．(－a，－b＋2) 12．已知点A与点B关于原点O对称，点A的坐标为(－3，y)，且AB＝10，则点B的坐标为_______________________． 13．在平面直角坐标系中，直线y＝2x＋3关于原点对称的直线的解析式为_____________________． 14．若x1，x2是方程x2－4x－5＝0的两个根，且点A(x1，x2)在第二象限，点B(m，n)和点A关于原点O对称，求m＋n的值． 解：解x2－4x－5＝0，得x＝－1或5.又因为(x1，x2)在第二象限，所以x1＜0，x2＞0，即点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(1，－5)，即m＋n＝1－5＝－4. 15．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，1)，B(4，2)，C(3，4). (1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1. (2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2. (3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标． 解：(1)△A1B1C1如图所示． (2)△A2B2C2如图所示． (3)△PAB如图所示，P(2，0). 16．如图，三角形PQR是三角形ABC经过某种变换后得到的图形，分别观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系． (1)直接写出直线AC与y轴交点的坐标________. (2)若三角形ABC内任意一点M的坐标为(a＋3，4－b)，点M经过上述变换后得到点N的坐标为(2a，2b－3)，则a－b的值为________. (3)若三角形PQR先向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到三角形P′Q′R′，画出三角形P′Q′R′，并求三角形P′AC的面积． 解：(1)(0， eq \f(5,3) ). (2)由图可知，△ABC与△PQR是关于原点成中心对称，∴可列方程 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（a＋3）＝2a，,－（4－b）＝2b－3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1，)) ∴a－b＝0. (3)如图，△P′Q′R′即为所求．△P′AC的面积为 eq \f(1,2) ×3×4－ eq \f(1,2) ×2×1－1×1－ eq \f(1,2) ×3×1＝ eq \f(5,2) . $$第二十三章　旋转 23．3　课题学习图案设计 Ap 课 时 目 标 1．分析图案形成过程 2．设计图案 C B 能力提升 素养拓展 基础夯实 C D 能力提升 素养拓展 基础夯实 60(答案不唯一) 4 72 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 能力提升 素养拓展 基础夯实 D 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 C B 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 ②⑤ 基础夯实 能力提升 素养拓展 能力提升 解：图形如图所示： 基础夯实 能力提升 素养拓展 学无止境 本课结束 1．下列基本图形中，经过平移、旋转或轴对称变换后，不能得到左图的是( ) 2．如图的四个三角形中，不能由△ABC经过旋转或平移得到的是( ) 3．下列四个图案中，既可用旋转来分析整个图案的形成过程，又可用平移来分析整个图案的形成过程的图案是( ) 4．对如图的变化顺序描述正确的是( ) A．翻折、旋转、平移 B．旋转、翻折、平移 C．平移、翻折、旋转 D．翻折、平移、旋转 5．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它的中心旋转角α(0°＜α＜360°)后能够与它 本身重合，则角α可以为___________________度．(写出一个即可) 6．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点．这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心O至少经过______次旋转而得到，每一次旋转_______度． 7．欣赏如图1的图案，并分析这个图案由图2怎么形成？ 解：图1中的图案是由图2所示的基本图案组成的，它们是基本图案绕图2中点O依次旋转60°，120°，180°，240°，300°而得到的． 解：如图所示：两个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，答案不唯一． 8．现有如图1所示的两种瓷砖．请从这两种瓷砖中各选2块，拼成一个新的正方形地板图案，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形(如示例图2). (要求：分别在图3、图4中各设计一种与示例图不同的拼法，这两种拼法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形．) 9．如图，在平面直角坐标系中，点B，C，E在y轴上，点C的坐标为(0，1)，AC＝2，Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的，则正确的变换是( ) A．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1个单位 B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1个单位 C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3个单位 D．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位 10．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形(简称格点正方形).若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠面积，且组成的图形是轴对 称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 11．一块竹条编织物，先将其按如图所示绕直线MN翻转180°，再将它按逆时针方向旋转90°，所得的竹条编织物是( ) 12．如图，图案甲是由左面的五种基本图形中的两种拼接而成的，这两种基本图形是_________． 13．请在下列网格图中画出所给图形绕点O顺时针依次旋转90°，180°，270°后所成的图形．(注意：有阴影部分图形旋转后的对应图形要涂上阴影．不要求写画法). 解：如图所示． 14．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形．(规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形) $$第二十三章复习总结 B B 10 A A C C D 学无止境 本课结束 一、中心对称与中心对称图形 1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，下列结论中不成立的是( ) A．OB＝OB′ B．∠ACB＝∠A′B′C′ C．点A的对称点是点A′ D．BC∥B′C′ 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，BD＝16，将△BOC绕着点C旋转180°得到△B′O′C， 则点A与点B′之间的距离为________． 6．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称．已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)，(0，3)，(0，2). (1)求对称中心的坐标． (2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标． 解：(1)(0， eq \f(5,2) ). (2)∵已知A，D两点的坐标分别是(0，4)，(0，2)， ∴正方形的边长为2. ∵A，B纵坐标相同，∴B(－2，4).∵C点纵坐标与D点纵坐标相同，横坐标与B点横坐标相同，∴C(－2，2).∵C1，D1纵坐标相同，正方形边长为2，∴C1(2，3).∵C1，B1横坐标相同，B1，A1纵坐标相同，∴B1(2，1). 三、图案设计 7．在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转．下列图形中，不能由其中一个图形通过旋转而构成的是( ) 8．如图，在4×4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．现要在这张网格纸的四个格点M，N，P，Q中找一点作为旋转中心，将△ABC绕着这个中心进行旋转，旋转前后的两个三角形成中心对称，且旋转后的三角形的三个顶点都在这张4×4的网格纸的格点上，那么满足条件的旋转中心有( ) A．点M，点N B．点M，点Q C．点N，点P D．点P，点Q 四、旋转中的计算与证明 9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°.将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别是D，E，点F是边AC的中点，连接BF，BE，FD，则下列结论错误的是( ) A．BE＝BC B．BF∥DE，BF＝DE C．∠DFC＝90° D．DG＝3GF 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOB＝60°，对角线AC所在的直线绕点O顺时针旋转角α(0°＜α＜120°)，所得的直线l分别交AD，BC于点E，F. (1)求证：△AOE≌△COF. (2)当旋转角α为多少度时，四边形AFCE为菱形？试说明理由． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEO＝∠CFO， 在△AOE和△COF中， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠AEO＝∠CFO，,∠AOE＝∠COF，,AO＝CO，)) ∴△AOE≌△COF(AAS). (2)当α＝90°时，四边形AFCE为菱形． 理由：∵△AOE≌△COF，∴OE＝OF.又∵AO＝CO，∴四边形AFCE为平行四边形. 又∵∠AOE＝90°，∴四边形AFCE为菱形． 11．△ABC和△ADE都是等边三角形．当△ADE绕点A旋转到图1的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA. (1)请猜想线段PA，PB，PC之间的数量关系，并加以证明． (2)将△ADE绕点A旋转到图2的位置时，其他条件不变，请直接写出线段PA，PB，PC之间的数量关系，不需要证明． 解：(1)PB＝PA＋PC，理由如下：如图1，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC＋∠CAD＝∠CAD＋∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP(SAS)，∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠PAF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝PA，∴PB＝BF＋PF＝PC＋PA. (2)PC＝PA＋PB，理由如下：如图2，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD＝∠ACE.∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB(SAS)，∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠PAM＝60°，∴△AMP是等边三角形， ∴PM＝PA，∴PC＝PM＋CM＝PA＋PB. $$