8.4.1 平面 课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第八章　立体几何初步 8.4.1　平面 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.了解平面的概念,会用图形与字母表示平面. 2.能用符号语言描述空间中的点、直线、平面之间的位置关系. 3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实(基本事实也称公理)及其推论. 4.理解三个基本事实及推论的地位和作用. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平面 平面的描 述性概念 几何里所说的“平面”,就是从生活中一些物体中抽象出来的.平面是向四周　　　　　　的   我们通常用矩形的直观图,平行四边形表示平面 画法 水平放置 常把平行四边形的一边画成　　    竖直放置 常把平行四边形的一边画成　　    无限延展 横向 竖向 记法 (1) 用希腊字母α,β,γ等表示平面,如平面α、平面β、平面γ等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内 (2) 用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如平面ABCD (3) 用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称,如平面AC或者平面BD 名师点睛 平面的概念可从以下三个方面理解 (1)“平面”是平的;(2)“平面”无厚度;(3)“平面”可以向四周无限延展. 过关自诊 1.判断下列说法是否正确,并说明理由. (1)平面的形状是平行四边形. (2)任何一个平面图形都是一个平面. (3)两个平面相交的画法中,一个平面被另一个平面遮住时,被遮部分的线段应画成虚线或不画. (4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面. 解 (1)不正确.平面常用平行四边形表示,但不是平行四边形,平面是无限延展的. (2)不正确.平面图形与平面是两个不同的概念,平面图形具有大小、面积等属性,而平面则没有,平面是无限延展的,不可度量的. (3)正确.符合直观图画法的规则. (4)正确.三角形、圆、平行四边形都是平面图形,都可以表示平面. 2.如何理解平面的概念? 提示 平面具有以下三方面的特征:(1)“平面”处处是平的;(2)“平面”没有厚度;(3)“平面”是向四面八方无限延展的. 知识点2　点、直线、平面之间的位置关系 A∈α l⊂α　 　l⊄α α∩β=l 过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)点A在平面α内,可记作A∈α.(　　) (2)直线l在平面α内,可记作l∈α.(　　) (3)若A∈a,a⊂α,则A∈α.(　　) 2.用集合符号表示点、线、面的位置关系有什么规律? √ × √ 提示 我们将点看作元素,直线和平面看作集合,所以点在(不在)直线、平面内用符号∈(∉)表示,直线在(不在)平面内用⊂(⊄)表示. 知识点3　平面的基本性质 1.平面的基本性质 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实1 过不在一条直线上的　　　　,有且只有一个平面    A,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α (1)确定平面的依据;(2)判定点、线共面 三个点 基本 事实 内容 图形 符号 作用 基本 事实2 如果一条直线上的 　　　　在一个平面内,那么这条直线在这个平面内    A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α 判定直线是否在平面内 基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有　　条过该点的公共直线    P∈α,且P∈β⇒α∩β =l,且P∈l (1)判定两个平面相交的依据; (2)判定点在直线上 两个点 一 2.三个推论 推论 内容 图形 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面   推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面   推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面   过关自诊 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)过空间中的三个点只能作一个平面.(　　) (2)两个不重合的平面最多有两个公共点.(　　) (3)两个不重合的平面如果有三个公共点,那么这三个公共点一定在一条直线上.(　　) × × √ 2.(1)如何理解基本事实1中的“有且只有一个”? (2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗? (3)如果两个不重合的平面有无数个公共点,那么这些公共点有什么特点? (1)提示 这里的“有”是说平面存在,“只有一个”是说平面唯一,本公理强调的是存在性和唯一性两个方面,因此“有且只有一个”,必须完整地使用,不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”,否则就没有表达存在性.确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词,也就是存在性和唯一性这两个方面的,这个术语今后学习中会经常出现. (2)提示 不能.要么没有公共点,要么有无数个公共点. (3)提示 这些公共点落在同一条直线上. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　证明点、线共面 【例1】 证明:两两相交且不过同一点的三条直线共面. 已知:如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C. 求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 证明 方法一(纳入平面法)∵l1∩l2=A, ∴l1和l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又l2⊂α,∴B∈α. 同理可证C∈α.∵B∈l3,C∈l3,∴l3⊂α. ∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 方法二(辅助平面法)∵l1∩l2=A, ∴l1,l2确定一个平面α. ∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β. ∵A∈l2,l2⊂α,∴A∈α. ∵A∈l2,l2⊂β,∴A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内. ∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内. 变式探究如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面? 解 不一定共面. ①若三条直线两两相交,且过同一个点. 这三条直线在同一个平面内相交,如图. 这三条直线不共面.如图. ②若三条直线两两相交,且不过同一个点,由【例1】可知,这三条直线共面. 规律方法　证明点、线共面问题常用方法有: 注意:在遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明. 探究点二　证明点共线 【例2】 已知△ABC在平面α外,AB∩α=P,AC∩α=R,BC∩α=Q,如图. 求证:P,Q,R三点共线. 证明 (方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,∴P,Q,R三点共线. (方法二)∵AP∩AR=A, ∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又AB∩α=P,AC∩α=R, ∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR, ∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR. 又Q∈α,∴Q∈PR, ∴P,Q,R三点共线. 规律方法　点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在其上. 变式训练1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设A1C∩平面ABC1D1=E.则B,E,D1三点的关系为　　　　　.(填“共线”或“不共线”)  共线 解析 如图所示,连接A1B,BD1,CD1. ∵A1C∩平面ABC1D1=E, ∴E∈A1C,E∈平面ABC1D1. ∵A1C⊂平面A1BCD1, ∴E∈平面A1BCD1. ∵平面A1BCD1∩平面ABC1D1=BD1, ∴E∈BD1,∴B,E,D1三点共线. 探究点三　证明线共点 【例3】 如图所示,三个平面α,β,γ两两相交于不同的直线,即α∩β=c, β∩γ=a,γ∩α=b,若直线a和b不平行,求证:a,b,c三条直线必过同一点. 证明 ∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a⊂γ,b⊂γ. ∵直线a和b不平行,∴a,b必相交. 如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b. ∵a⊂β,b⊂α,∴P∈β,P∈α. 又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P. ∴a,b,c三条直线必过同一点. 规律方法　证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点. 变式训练2 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和CB上的点,G,H分别是CD和AD上的点,HG∥EF,HG∶EF=1∶3.求证:EH,BD,FG三条直线相交于同一点. 证明 延长EH,FG,不妨设EH∩FG=O, ∵HG∥EF,HG∶EF=1∶3,且EF≠GH, ∴四边形EFGH为梯形, ∴EH,FG共面,且EH与FG不平行. ∵O∈EH,EH⊂平面ABD,∴O∈平面ABD, ∵O∈FG,FG⊂平面BCD, ∴O∈平面BCD. ∵平面ABD∩平面BCD=BD,∴O∈BD, ∴EH,BD,FG三条直线相交于同一点O. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面的概念. (2)基本事实. (3)共面、共线、共点问题. 2.方法归纳:同一法、纳入法. 3.常见误区:自然语言、符号语言、图形语言的相互转换出错. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一·2023山东烟台期末]下列几何元素可以确定唯一平面的是(　) A.三个点 B.圆心和圆上两点 C.梯形的两条边 D.一个点和一条直线 C 解析 根据题意,依次分析选项: 对A,三个不共线的点才能确定唯一平面,A错误; 对B,当圆上的两点和圆心共线时,三个点不能确定唯一平面,B错误; 对C,梯形的任意两条边都能确定梯形所在的平面,所以确定的平面唯一,C正确; 对D,当点在直线上时,这个点和直线不能确定唯一平面,D错误.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.[探究点二]空间四点A,B,C,D共面而不共线,那么这四点中(　　) A.必有三点共线 B.必有三点不共线 C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线 B 解析 如图1和图2所示,A,C,D均不正确,只有B正确. 图1 图2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.[探究点一]已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a⊂α,b⊂α,l∩a=A, l∩b=B,那么下列关系中成立的是(　　) A.l⊂α B.l∈α C.l∩α=A D.l∩α=B A 解析 由基本事实2或画图可知:l⊂α. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.[探究点一]已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是(　) A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β⇒a⊂β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β⇒α∩β=MN C.A∈α,A∈β⇒α∩β=A D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线⇒α,β重合 C 解析 两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.[探究点二]平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C∉l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=(　　) A.直线AC B.直线BC C.直线CR D.以上都不对 C 解析 根据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.[探究点一](多选题)下列说法错误的是(　　) A.不共面的四点中,任意三点不共线 B.三条两两相交的直线在同一平面内 C.有三个不同公共点的两个平面重合 D.依次首尾相接的四条线段不一定共面 BC 解析 由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.[探究点一]三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定 　　　　　个平面.  3 解析 当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面; 当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.[探究点二]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 证明 ∵MN∩EF=Q, ∴Q∈直线MN,Q∈直线EF. 又M∈直线CD,N∈直线AB,CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴M,N∈平面ABCD, ∴MN⊂平面ABCD. ∴Q∈平面ABCD. 同理,可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD, ∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[探究点二]如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证: (1)D,B,F,E四点共面; (2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 证明 (1)∵EF是△D1B1C1的中位线,∴EF∥B1D1. 在正方体AC1中,B1D1∥BD,∴EF∥BD. ∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面. (2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α, 又设平面BDEF为β. ∵A1C1∩EF=Q,∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β. 则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点. ∴α∩β=PQ. 又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C. ∴R∈α,且R∈β,则R∈PQ,故P,Q,R三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 B 级 关键能力提升练 10.在空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,若EF与HG交于点M,则(　　) A.点M一定在直线AC上 B.点M一定在直线BD上 C.点M可能在直线AC上,也可能在直线BD上 D.点M不在直线AC上,也不在直线BD上 A 解析 由题意得EF⊂平面ABC,HG⊂平面ACD,又EF∩HG=M,故M∈平面ABC,且M∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以点M一定在直线AC上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有(　　) A.1条或2条 B.2条或3条 C.1条或3条 D.1条或2条或3条 D 解析 当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线; 当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线; 当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是(　　) A.A,M,O三点共线 B.A,M,O,A1四点共面 C.A,O,C,M四点共面 D.B,B1,O,M四点共面 ABC 解析 因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上. (1)A∉α,a⊂α:　　　　;  (2)α∩β=a,P∉α且P∉β:　　　　;  (3)a⊄α,a∩α=A:　　　　;  (4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:　　　　.  ③ ④ ① ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的　　 　　　条件.(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选择一个填入)  必要不充分 解析 空间中的三条直线l,m,n不过同一个点,当l,m,n共面时,l,m,n不一定两两相交,也可能两两平行,所以充分性不成立; 当三条直线l,m,n两两相交时,直线l,m,n一定共面,所以必要性成立. 故“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的必要不充分条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且 =2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 证明 ∵E,F分别是AB,AD的中点, ∴EF∥BD,且EF= BD. ∴GH∥BD,且GH= BD, ∴EF∥GH,且EF>GH, ∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交. 设两腰EG,FH的延长线相交于一点P, ∵EG⊂平面ABC,FH⊂平面ACD, ∴P∈平面ABC,P∈平面ACD. 又平面ABC∩平面ACD=AC, ∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.已知△ABC在平面α外,其三边所在的直线满足AB∩α=P, BC∩α=Q,AC∩α=R,如图所示,求证:P,Q,R三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 证明 (方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α. 又AB⊂平面ABC,∴P∈平面ABC. ∴由基本事实3可知,点P在平面ABC与平面α的交线上,同理可证点Q,R也在平面ABC与平面α的交线上. ∴P,Q,R三点共线. (方法二)∵AP∩AR=A,∴直线AP与直线AR确定平面APR. 又∵AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR. ∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC⊂平面APR. ∵Q∈BC,∴Q∈平面APR, 又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 C 级 学科素养创新练 17.如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l. (1)画出直线l; (2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解 (1)延长DM交D1A1的延长线于点E,连接NE,则直线NE即直线l. (2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1, ∴AD=A1E=A1D1=a. 文字语言表达 图形语言表达 符号语言表达 点A在直线l上 A∈l 点B在直线l外 B∉l 点A在平面α内 　　  点P在平面α外 P∉α 直线l在平面α内 　　  直线l不在平面α内 　　  平面α与β相交于直线l 　 　  又=2, ∵A1P∥D1N,且D1N=a, ∴A1P=D1N=a, 于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a. $$