第十章 概率章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章　概率 章末总结提升 人教A版 数学 必修第二册 知识网络·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　求古典概型的概率 1.古典概型是一种最基本的概率模型,是学习其他概率模型的基础,解题时要抓住两个基本特征:有限性和等可能性. 2.掌握古典概型的概率公式及其应用,提升数学抽象、数据分析的数学素养. 【例1】 为了促进电影市场快速回暖,各地纷纷出台各种优惠措施.某影院为回馈顾客,拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免,规定每人在装有4个白球、2个红球的抽奖箱中一次抽取两个球.已知抽出1个白球减20元,抽出1个红球减40元. (1)求某顾客所获得的减免金额为40元的概率; (2)若某顾客去影院充值并参与抽奖,求其减免金额低于80元的概率. 解 (1)设4个白球为a,b,c,d,2个红球为e,f,则一次抽取两个球,共ab,ac,ad,ae,af,bc,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef 15种情况,设事件A为顾客所获得的减免金额为40元,则A共有ab,ac,ad,bc,bd,cd 6种情况,所以顾客所获得的减免金额为40元的概率为 (2)设事件B为顾客所获得的减免金额为80元,则事件B只包含ef 1种情况,所以顾客所获得的减免金额为80元的概率为P(B)= , 故减免金额低于80元的概率P=1-P(B)= . 规律方法　古典概型的解题方法主要有以下两种: (1)采取适当的方法,按照一定的顺序,把试验的所有结果一一列举出来,正确理解样本点与事件A的关系.应用公式P(A)= 计算概率. (2)若所求概率的事件比较复杂,可把它分解成若干个互斥的事件,利用概率的加法公式求解;或求其对立事件,利用对立事件的概率求解. 变式训练1[2023湖南郴州期末]数学来源于生活,在古代我国人民就创造出了属于自己的计数方法.十进制的算筹计数法就是中国数学史上一个伟大的创造,算筹实际上是一根根同长短的小木棍.下图是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如:3可表示为“≡”,26可表示为“=⊥”.现有5根算筹,据此表示方法,若算筹不能剩余,则用1~9这9个数字表示的所有两位数中,个位数与十位数之和为5的概率是(　　) A 解析 1根算筹只能表示1,2根算筹可表示2和6,3根算筹可表示3和7,4根算筹可表示4和8,5根算筹可表示5和9,因此5根算筹表示的两位数有14,18,41,81,23,27,32,72,63,67,36,76,共12个,其中个位数与十位数之和为5的有14,41,23,32,共4个,所以所求概率为 专题二　互斥事件、对立事件的判断及概率公式的应用 1.互斥事件是在一次试验中不能同时发生的事件,对立事件除要求这两个事件不同时发生外,还要求二者必有一个发生.对于一个复杂的事件,一般先要将它表示为若干个互斥事件的和. 2.掌握互斥事件和对立事件的概率公式,提升逻辑推理和数学运算的数学素养. 【例2】 某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A=“只订甲报”,事件B=“至少订一种报”,事件C=“至多订一种报”,事件D=“不订甲报”,事件E=“一种报也不订”,判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立事件. (1)A与C;(2)B与E;(3)B与D;(4)B与C;(5)C与E. 解 (1)由于事件C“至多订一种报”中有可能只订甲报,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不互斥. (2)事件B“至少订一种报”与事件E“一种报也不订”是不可能同时发生的,故B与E是互斥事件;由于事件B与事件E在一次试验中有且仅有一个发生,故B与E还是对立事件. (3)事件B“至少订一种报”中有可能只订乙报,即有可能不订甲报,即事件B发生时,事件D也可能发生,故B与D不互斥. (4)事件B“至少订一种报”中包括“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”,事件C“至多订一种报”中包括“什么也不订”“只订甲报”“只订乙报”.由于这两个事件可能同时发生,故B与C不互斥. (5)由(4)的分析知,事件E“一种报也不订”只是事件C的一种可能,事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不互斥. 【例3】 (多选题)黄种人群中各种血型的人所占的比例见下表: 血型 A B AB O 该血型的人所占比例 0.28 0.29 0.08 0.35 已知同种血型的人可以输血,O型血可以给任何一种血型的人输血,任何血型的人都可以给AB型血的人输血,其他不同血型的人不能互相输血,下列结论正确的是(　　) A.任找一个人,其血可以输给A型血的人的概率是0.63 B.任找一个人,B型血的人能为其输血的概率是0.29 C.任找一个人,其血可以输给O型血的人的概率为1 D.任找一个人,其血可以输给AB型血的人的概率为1 AD 解析 任找一个人,其血型为A,B,AB,O型血的事件分别记为A',B',C',D',它们两两互斥. 由已知,有P(A')=0.28,P(B')=0.29,P(C')=0.08,P(D')=0.35. 因为A,O型血可以输血给A型血的人, 所以“任找一个人,其血可以输给A型血的人”为事件A'∪D',根据互斥事件概率的加法公式,得P(A'∪D')=P(A')+P(D')=0.28+0.35=0.63,故A正确; B型血的人能为B,AB型血的人输血,其概率为0.29+0.08=0.37,B错误; 由O型血只能接受O型血的人输血知,C错误; 由任何血型的人都可以给AB型血的人输血知,D正确. 规律方法　1.互斥事件与对立事件的联系与区别 (1)不可能同时发生的两个事件称为互斥事件. (2)对立事件则要同时满足两个条件:一是不可能同时发生;二是必有一个发生. (3)在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能只有一个发生,而两个对立事件则必有一个发生且不可能同时发生. (4)对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件. 2.互斥事件与对立事件的概率计算 (1)若事件A1,A2,…,An彼此互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法 (1)将所求事件转化成彼此互斥的事件的和. (2)先求其对立事件的概率,然后再应用公式P(A)=1-P( )求解. 变式训练2(多选题)不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张,一次任意取出2张卡片,则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件 是(　　) A.2张卡片都不是红色 B.2张卡片恰有一张红色 C.2张卡片至少有一张红色 D.2张卡片都为绿色 ABD 解析 从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”,在选项给出的四个事件中与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”,其中“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”,二者并非互斥事件. 专题三　独立事件及其概率求解 1.相互独立事件的概率通常和互斥事件综合在一起考查,解题时先要将复杂事件表示为若干个简单的互斥事件的和,判断每个简单事件是否可写为相互独立事件的积,再用互斥事件的概率加法公式求解. 2.掌握相互独立事件的概率公式,提升逻辑推理和数学抽象的数学素养. 【例4】 甲、乙两人进行羽毛球比赛,采取“三局两胜”制,即两人比赛过程中,谁先胜两局即结束比赛,先胜两局的是胜方,另一方是败方.根据以往的数据分析,每局比赛甲获胜的概率均为 ,甲、乙比赛没有平局,且每局比赛是相互独立的. (1)求比赛恰进行两局就结束的概率; (2)求这场比赛甲获胜的概率. 解 (1)比赛恰进行两局就结束对应的事件A有两种可能,事件A1:甲获胜,事件A2:乙获胜. (2)这场比赛甲获胜对应的事件B有两种可能,事件B1:比赛两局结束且甲获胜;事件B2:比赛三局结束且甲获胜. 规律方法　求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解. (2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时,可从其对立事件入手计算. 变式训练3甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是　　　　　.  0.18 解析 前五场中有一场客场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.63×0.5×0.5×2=0.108; 前五场中有一场主场输时,甲队以4∶1获胜的概率是0.4×0.6×2×0.52×0.6=0.072. 综上所述,甲队以4∶1获胜的概率是0.108+0.072=0.18. 专题四　统计与概率的应用 1.概率和统计往往放到一块进行考查,处理时要分清各数据对应的事件,理解频率与概率的关系,然后准确求解问题. 2.掌握概率和统计的综合应用,提升数据处理、数学抽象和数学运算的数学素养. 【例5】 中华文明,源远流长;中华汉字,寓意深广.为了传承中华优秀传统文化,我市某中学举行“汉字听写”比赛,赛后整理参赛学生的成绩,将学生的成绩分为A,B,C,D四个等级,并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图,但均不完整. 请你根据统计图解答下列问题: (1)参加比赛的学生共有多少名? (2)在扇形统计图中,m的值为多少?表示D 等级的扇形的圆心角为多少度? (3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中,选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛.已知A等级学生中男生有1名,请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率. 解 (1)3÷15%=20,所以参加比赛的学生共有20名. (3)列表如下: 第1人 第2人 男 女1 女2 男   (男,女1) (男,女2) 女1 (女1,男)   (女1,女2) 女2 (女2,男) (女2,女1)   所有可能的结果共有6种情况,其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种,所以 规律方法　1.概率和统计的交汇题在统计方面一般考查简单随机抽样和一些统计的图示,在概率方面一般是归结为古典概型的知识. 2.求解古典概型的交汇问题,关键是把相关的知识转化为事件,然后利用古典概型的有关知识解决,一般步骤为: (1)将题目条件中的相关知识转化为事件; (2)判断事件是否为古典概型; (3)选用合适的方法确定样本点个数; (4)代入古典概型的概率公式求解. 变式训练4某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30), [30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率; (2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 解 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为 100-100×0.9-5=5. 所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为 60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层随机抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. P(A)=. A. B. C. D. . (2)设事件A的对立事件是). P(A1)=, P(A2)=, P(A)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=. P(B1)=,P(B2)=, ∴P(B)=P(B1+B2)=. (2)×100%=40%,所以m=40.×360°=72°,所以表示D等级的扇形的圆心角为72°. P=. $$