第九章 统计章末总结提升课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第九章　统计 章末总结提升 人教A版 数学 必修第二册 知识网络·归纳整合 专题突破·素养提升 专题一　抽样方法及应用 1.两种抽样方法的适用范围:当总体容量较小,样本容量也较小时,可采用抽签法;当总体容量较大,样本容量较小时,可采用随机数法;当总体中个体差异较显著时,可采用分层随机抽样. 2.掌握两种抽样方法,提升数据分析的核心素养. 【例1】 (1)下列抽样试验中,适合用抽签法的是(　　) A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验 B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验 D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验 B 解析 因为A,D中总体的个体数较大,不适合用抽签法; C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大,不适合用抽签法; B中总体和样本容量都较小,且是同厂生产的产品,可适用抽签法.故选B. (2)某校高一年级1 000名学生的血型情况如图所示.某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系,决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本,则从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是(　　) [图中数据:A型22 %,B型28 %,O型38 %,AB型12%] A.11 B.22 C.110 D.220 A 解析 根据分层随机抽样的定义可得,从高一年级A型血的学生中应抽取的人数是50×22%=11.故选A. 规律方法　随机抽样的特征及关注点 (1)随机抽样有简单随机抽样和分层随机抽样两种.其共同点是在抽样过程中每个个体被抽到的机会相等,当总体中的个体数较少时,常采用简单随机抽样;当已知总体由差异明显的几部分组成时,常采用分层随机抽样.其中简单随机抽样是最简单、最基本的抽样方法.分层随机抽样时一般要用到简单随机抽样. (2)应用各种抽样方法抽样时要注意以下问题: ①利用抽签法时要注意把号签放在不透明的容器中且搅拌均匀; ②利用随机数法时注意编号位数要一致; ③在分层随机抽样中,若在某一层按比例应该抽取的个体数不是整数,应在该层剔除部分个体,使抽取个体数为整数. 变式训练1(1)某品牌白酒公司在甲、乙、丙三个地区分别有30个、120个、180个代理商.公司为了调查白酒销售的情况,需从这330个代理商中抽取一个容量为11的样本,记这项调查为①;在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为②.则完成①②这两项调查宜采用的抽样方法依次是　　　　　　　　　　　　　.  分层随机抽样,简单随机抽样 解析 由于甲、乙、丙三个地区有明显差异,所以在完成①时,需用分层随机抽样.在甲地区有10个特大型超市代理销售该品牌的白酒,没有显著差异,所以完成②宜采用简单随机抽样. (2)《诗词大会》是某电视台推出的一档以“赏中华诗词,寻文化基因,品生活之美”为宗旨的文化类演播室益智竞赛节目,该节目邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼.“百人团”由一百多位来自全国各地的不同年龄段的选手组成,按照年龄分组统计如下表: 分组/岁 [7,20) [20,40) [40,80] 频数 18 54 36 若用分层随机抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战,则从年龄组[7,20),[20,40),[40,80]中抽取的挑战者的人数分别为　　　　　.  1,3,2 专题二　用样本的频率分布估计总体分布 1.根据样本容量的大小,我们可以选择利用样本的频率分布表、频率分布直方图对总体情况作出估计. 2.掌握频率分布直方图的绘制及应用,提升数据分析和数学运算的核心素养. 【例2】 如下表所示给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高资料.(单位:cm) 区间界限 [122,126) [126,130) [130,134) [134,138) [138,142) 人数 5 8 10 22 33 区间界限 [142,146) [146,150) [150,154) [154,158]   人数 20 11 6 5   (1)列出样本的频率分布表; (2)画出频率分布直方图; (3)估计身高低于134 cm的人数占总人数的百分比. 解 (1)样本的频率分布表: 分组 频数 频率 [122,126) 5 0.04 [126,130) 8 0.07 [130,134) 10 0.08 [134,138) 22 0.18 [138,142) 33 0.28 [142,146) 20 0.17 [146,150) 11 0.09 [150,154) 6 0.05 [154,158] 5 0.04 合计 120 1.00 (2)画出频率分布直方图,如下图所示: 规律方法　统计图表及应用 总体分布中相应的统计图表主要包括:频率分布表、频率分布直方图、折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体. 变式训练2[2023浙江台州温岭期末]为普及体育知识,增强群众体育锻炼意识,某地举办了体育知识竞赛活动.活动分为男子组和女子组进行,最终决赛男、女各有40名选手参加,如图是其中男子组成绩的频率分布直方图(成绩介于85分到145分之间). (1)求图中缺失部分的矩形的高度,并估算男子组成绩排名第10的选手分数; (2)若女子组40位选手的平均分为117,标准差为12,试求所有选手的平均分和方差. 解 (1)因为已有矩形的面积和为10×(0.005+2×0.010+0.020+0.030)=0.75, 所以缺失的矩形面积为1-0.75=0.25, 所以其高度为 =0.025. 由于 =0.25,所以第10名选手的成绩记为第75百分位数, 设第10名的成绩为x,则x位于第5组, 且0.025(135-x)+10×0.010=0.25, 解得x=129, 所以成绩排名第10的选手分数估计为129. (2)男子组选手的平均分: =90×0.05+100×0.1+110×0.2+120×0.3+130×0.25+140×0.1=119, 男子组得分的方差: s2=(90-119)2×0.05+(100-119)2×0.1+(110-119)2×0.2+(120-119)2×0.3 +(130-119)2×0.25+(140-119)2×0.1=169, 专题三　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1.为了从整体上更好地把握总体规律,我们可以通过样本数据的众数、中位数、平均数估计总体的集中趋势,通过样本数据的方差或标准差估计总体的离散程度. 2.掌握样本数据的众数、中位数、平均数及方差的计算方法,提升数据分析和数学运算的核心素养. 【例3】 对甲、乙两名自行车赛手在相同条件下进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位:m/s)的数据如下: 甲 27 38 30 37 35 31 乙 33 29 38 34 28 36 分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、极差、方差,并判断选谁参加比赛比较合适. 甲的极差为11,乙的极差为10. 由甲、乙平均数相等,乙的方差较小,知选乙参加比赛比较合适. 规律方法　样本的数字特征及应用 样本的数字特征可分为两大类:一类是反映样本数据集中趋势的,包括平均数、众数、中位数;另一类是反映样本数据离散程度的,包括样本方差及标准差.通常,在实际问题中,仅靠平均数不能完全反映问题,还要研究方差,方差描述了数据相对平均数的离散程度,在平均数相同的情况下,方差越大,离散程度越大,数据波动幅度越大;方差越小,离散程度越小. 变式训练3某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况,随机调查了100个企业,得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表. y的分组 [-0.20,0) [0,0.20) [0.20,0.40) [0.40,0.60) [0.60,0.80) 企业数 2 24 53 14 7 (1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例; (2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01) 专题四　总体百分位数的应用 1.一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. 2.掌握百分位数的计算及应用,重点提升数据分析与数学运算的核心素养. 【例4】 我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对家庭用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100个家庭的月均用水量(单位:m3),将数据按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替,求全市家庭月均用水量平均数的估计值(精确到0.01); (2)求全市家庭月均用水量的第25百分位数的估计值(精确到0.01). 解 (1)因为0.06×2×1+0.11×2×3+0.18×2×5+0.09×2×7+0.06×2×9=4.92, 因此全市家庭月均用水量的平均数估计值为4.92 m3. (2)频率分布直方图中,用水量低于2 m3的频率为0.06×2=0.12,用水量低于4 m3的频率为0.06×2+0.11×2=0.34,故全市家庭月均用水量的第25百分位数的估计值为2+ ×2≈3.18(m3). 规律方法　 百分位数是用于衡量数据的位置的量度,但它所衡量的,不一定是中心位置.百分位数提供了有关各数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.对于无大量重复的数据,第p百分位数将它分为两个部分.至少有p%的数据项的值小于或等于第p百分位数;而至少有(100-p)%的数据项的值大于或等于第p百分位数.对第p百分位数,严格的定义如下:第p百分位数是这样一个值,它使得至少有p%的数据项小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据项大于或等于这个值. 变式训练4(1)某产品售后服务中心随机选取了10个工作日,分别记录了每个工作日接到的客户服务电话的数量(单位:次): 63　38　25　42　56　48　53　39　28　47 则上述数据的第50百分位数为　 .  44.5 (2)某地教育部门为了调查考生在数学考试中的有关信息,从上次参加考试的10 000名考生中用分层随机抽样的方法抽取500名,并根据这500名考生的数学成绩画出样本的频率分布直方图(如图),估计这10 000名考生中数学成绩的第80百分位数是多少? 解 考生中成绩在130分以下的频率为(0.016+0.004+0.012+0.016+0.024)×10=0.72, 考生中成绩在140分以下的频率为0.72+0.020×10=0.92, ∴成绩的第80百分位数一定在[130,140)之间. 估计考生成绩的第80百分位数为134分. 解析 “百人团”的总人数为18+54+36=108,则用分层随机抽样的方法抽取的挑战者的年龄在[7,20)的人数为 6×=1,年龄在[20,40)的人数为6×=3,年龄在[40,80]的人数为6×=2. 所以从年龄组[7,20),[20,40),[40,80]中抽取的挑战者的人数分别为1,3,2. (3)因为样本中身高低于134 cm的人数的频率为≈0.19,所以估计身高低于134 cm的人数约占总人数的19%. 所有选手的平均得分为=118, 所以所有选手得分的方差为 [144+(117-118)2]+[169+(119-118)2]==157.5. 解 =33, =33, ×[(27-33)2+(38-33)2+(30-33)2+(37-33)2+(35-33)2+(31-33)2]≈15.67, ×[(33-33)2+(29-33)2+(38-33)2+(34-33)2+(28-33)2+(36-33)2]≈12.67, 附:≈8.602. 解 (1)根据产值增长率频数分布表得,所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为=0.21. 产值负增长的企业频率为=0.02. 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%,产值负增长的企业比例为2%. (2)×(-0.10×2+0.10×24+0.30×53+0.50×14+0.70×7)=0.30, s2=ni(yi-)2 =×[(-0.40)2×2+(-0.20)2×24+02×53+0.202×14+0.402×7]=0.029 6, s==0.02×≈0.17. 所以,这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30,0.17. 由130+×10=134. $$