第7课 图形的轴对称-2024-2025学年八年级数学上册《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列（浙教版）

第7课 图形的轴对称 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念. 2.理解轴对称图形的性质: 对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段. 3.会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴. 4.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形. ( 知识精讲 ) 知识点01 轴对称图形与轴对称 1.轴对称图形：如果把一个图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 2.轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 知识点02 轴对称、轴对称图形的性质 　1.轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段； 2.图形的轴对称的性质：成轴对称的两个 图形是全等图形 ( 能力拓展 )考点01 轴对称图形的判断 【典例1】对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练1】下列“祝你成功”的首拼字母中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 考点02 轴对称、轴对称图形的性质的应用 【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【即学即练2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 　 　． 考点03 最短线路问题 【典例3】如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，要在直线l上修建一个向村庄A，B供水的水站P，现有四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【即学即练3】如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（　　） A． B． C． D． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．轴对称、平移，不改变的是图形的（　　） A．大小 B．形状 C．位置 D．大小和形状 3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 4．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2，由此得出下列判断：（1）AB∥A2B2；（2）∠A＝∠A2；（3）AB＝A2B2．其中正确的是（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 5．如图，直线l是一条河，P、Q两地相距5km，P、Q两地到l的距离分别为3km，6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在3×4的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有（　　） A．7处 B．4处 C．3处 D．2处 7．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 8．我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有　 　条对称轴． 9．如图，△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC，∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B＝　 　． 10．如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为　 　cm． 11．如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 　 　种． 12．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图添画1个小正方形使它成为轴对称图形． 13．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形； （2）如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN． 14．如图，△ABC的一个顶点C在直线l1上，画出△ABC关于直线l1的轴对称图形，记为M1，再画出M1关于直线l2的轴对称图形M2． 题组B 能力提升练 15．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（　　） A．140° B．130° C．110° D．70° 16．在如图由5个小正方形组成的图形中，再补上一个小正方形，使它成为轴对称图形，你有几种不同的方法（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 17．如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕，再将另一角∠EDB斜折过去，使BD边落在∠A'BC内部，折痕为BE，点D的对应点为D′，设∠ABC＝35°，∠EBD＝65°，则∠A'BD'的大小为 　 　°． 18．如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，S△ABC＝10，AB＝4，则MN+MC的最小值为 　 　． 19．如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）． 20．如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点． （1）作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'； ②在直线l上找一点D，使AD+BD最小； （2）求出△A'B'C'的面积． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 22．如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 23．小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1）；第二步，将四边形GFD'C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B′，折痕为HM（如图3）． （1）若∠CEF＝20°，则∠EFD″＝　 　度； （2）若∠CFF＝17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′＝　 　度． 24．如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为　 　． 25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是　 　． 26．已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7课 图形的轴对称 ( 目标导航 ) 学习目标 1.了解轴对称图形的概念，了解两个图形成轴对称的概念. 2.理解轴对称图形的性质: 对称轴垂直平分连结两个对称点之间的线段. 3.会判断一个图形是不是轴对称图形，并找出它的对称轴. 4.能画出简单平面图形关于给定对称轴的对称图形. ( 知识精讲 ) 知识点01 轴对称图形与轴对称 1.轴对称图形：如果把一个图形沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴； 2.轴对称：一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形改变叫做图形的轴对称，这条直线叫做对称轴. 知识点02 轴对称、轴对称图形的性质 　1.轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段； 2.图形的轴对称的性质：成轴对称的两个 图形是全等图形 ( 能力拓展 )考点01 轴对称图形的判断 【典例1】对称美是我国古代平衡思想的体现，常用于标识的设计上，使对称美惊艳了千年时光．下列校徽图标不属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据轴对称图形的判定方法即可得到答案． 【解析】解：是轴对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，故选项B符合题意； 是轴对称图形，故选项C不符合题意； 是轴对称图形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的判定是解题的关键． 【即学即练1】下列“祝你成功”的首拼字母中，属于轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【解析】解：A．不是轴对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不合题意； C．是轴对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 考点02 轴对称、轴对称图形的性质的应用 【典例2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【思路点拨】求出∠C，∠AB′D，利用三角形的外角的性质求解即可． 【解析】解：∵∠B＝50°，∠BAC＝90°， ∴∠C＝90°﹣50°＝40°， ∵AD⊥BC，△ADB与△ADB'关于直线AD对称， ∴∠AB′D＝∠B＝50°， ∵∠AB′D＝∠C+∠CAB′， ∴∠CAB′＝50°﹣40°＝10°， 故选：A． 【点睛】本题考查轴对称，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【即学即练2】如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，点A与点E关于直线CD对称．若AB＝7，AC＝9，BC＝13，则△DBE的周长为 　 　． 【思路点拨】根据轴对称的性质得出△ADC≌△EDC，故AC＝EC，据此可得出结论． 【解析】解：∵点A与点E关于直线CD对称， ∴AD＝ED，∠ADC＝∠EDC，CD＝CD， ∴△ADC≌△EDC（SAS）， ∴AC＝EC， ∵AB＝7，AC＝9，BC＝13， ∴BE＝BC﹣CE＝BC﹣AC＝13﹣9＝4， ∴△DBE的周长＝BD+DE+BE＝AB+BE＝7+4＝11． 故答案为：11． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 考点03 最短线路问题 【典例3】如图，直线l表示一条河，点A，B表示两个村庄，要在直线l上修建一个向村庄A，B供水的水站P，现有四种铺设管道的方案（图中实线表示铺设的管道），则铺设管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】先作点A关于直线l的对称点A′，再连接A′B，即可得出答案． 【解析】解：如图，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P点，则此时为所求， 故选：A． 【点睛】A 本题天考查了轴对称﹣最短路线问题，能正确画出图形是解此题的关键． 【即学即练3】如图所示，OB是一条河流，OC是一片菜田，张大伯每天从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到菜田处，最后回到家中．请你帮他设计一条路线，使张大伯每天行走的路线最短．下列四个方案中你认为符合要求的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】把小河和菜田看成直线．要找一条最短路线，可根据两点之间线段最短的规律来分析解答即可． 【解析】解：要找一条最短路线，分别作点A关于OB，OC的对称点，则张大伯可沿着AM走一条直线去河边M点挑水，然后再沿MN走一条直线到菜园去，同理，画出回家的路线图如下： 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，线段的性质：两点之间线段最短，直线的性质：两点确定一条直线，关键是掌握过点向一条直线作垂线段的方法． ( 分层提分 ) 题组A 基础过关练 1．以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据轴对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 2．轴对称、平移，不改变的是图形的（　　） A．大小 B．形状 C．位置 D．大小和形状 【思路点拨】根据轴对称和平移的性质选择． 【解析】解：轴对称、平移，改变的是位置，不改变的是图形的大小和形状． 故选：D． 【点睛】此题考查轴对称和平移的性质，注意大小和形状都没有改变，不要漏选． 3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠A＝45°，∠B′＝110°，则∠C度数为（　　） A．15° B．20° C．25° D．35° 【思路点拨】由轴对称的性质可得∠B＝∠B′＝110°，再由三角形内角和定理进行计算即可． 【解析】解：∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称，∠B′＝110°， ∴∠B＝∠B′＝110°， 又∵∠A＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣45°﹣110°＝25°， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 4．如图，△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2，由此得出下列判断：（1）AB∥A2B2；（2）∠A＝∠A2；（3）AB＝A2B2．其中正确的是（　　） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【思路点拨】本题考查平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等． 【解析】解：∵△ABC与△A1B1C1关于直线l对称，将△A1B1C1向右平移得到△A2B2C2， 则（1）不正确，（2）（3）正确． 故选：B． 【点睛】本题考查平移的性质及轴对称的性质；经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等． 5．如图，直线l是一条河，P、Q两地相距5km，P、Q两地到l的距离分别为3km，6km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】作P点关于l的对称点P'，连接P'Q与l交点即为M，由PM+QM＝P'M+QM＝P'Q，即可知此时PM+PQ的距离最小． 【解析】解：作P点关于l的对称点P'，连接P'Q与l交点即为M， 由对称性可知，PM＝P'M， ∴PM+QM＝P'M+QM＝P'Q， 此时PM+PQ的距离最小， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 6．如图，在3×4的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有（　　） A．7处 B．4处 C．3处 D．2处 【思路点拨】根据轴对称的概念作答．如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形． 【解析】解：选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形， 选择的位置有①下1；②下2；③中3；④中4；⑤上5；⑥上6；⑦上7． 选择的位置共有7处． 故选：A． 【点睛】掌握好轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 7．如图为一张锐角三角形纸片ABC，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①BC边上的中线AD；②∠A的平分线AE；③BC边上的高AF．根据所学知识与相关活动经验可知：上述三条线中，能够通过折纸折出的有（　　） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【思路点拨】根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答． 【解析】解：①BC边上的中线AD：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接AD，此时AD即为BC边上的中线； ②∠A的平分线AE：如图2，沿直线AE折叠，使AB与AC重叠，此时AE即为BC边上的角平分线； ③BC边上的高AF：如图3，沿直线AF折叠，使BF与CF重合，此时AF即为BC边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故选：A． 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键． 8．我国传统木结构房屋，窗户常用各种图案装饰，下图是一种常见的图案，这个图案有　 　条对称轴． 【思路点拨】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此求解． 【解析】解：这是一个组合图形，它的外部是一个长方形，再根据它的组合特点，显然有2条对称轴，即两组对边的垂直平分线． 【点睛】找组合图形的对称轴时，注意观察各部分图形的对称性，再结合它的组合特点进行分析． 9．如图，△ABC以AC所在直线为对称轴作△ADC，∠BAD+∠BCD＝180°，则∠B＝　 　． 【思路点拨】根据轴对称性质，对应的角相等，∠B＝180°﹣（）°＝90°． 【解析】解：∵△ABC与△ADC关于AC所在直线为对称， ∴∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， 又∵∠BAD+∠BCD＝180°， ∴∠BAC+∠BCA＝（∠BAD+∠BCD）＝90°， ∴∠B＝180°﹣90°＝90°． 故答案为：90°． 【点睛】本题考查了轴对称性质，轴对称图形的对应角相等，对应边相等． 10．如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，点D、E分别在AC、AB上，且△BCD和△BED关于BD对称，则△ADE的周长为　 　cm． 【思路点拨】先根据△BCD和△BED关于BD对称，得出△BCD≌△BED，故BE＝BC，由此可得出AE的长，由△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AE+AC即可得出结论． 【解析】解：∵△BCD和△BED关于BD对称， ∴△BCD≌△BED， ∴BE＝BC＝8cm， ∴AE＝10﹣8＝2cm， ∴△ADE的周长＝AE+AD+DE＝AE+AC＝2+6＝8cm． 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键． 11．如图，在3×3的正方形网格中，其中有三格被涂黑，若在剩下的6个空白小方格中涂黑其中1个，使所得的图形是轴对称图形，则可选的那个小方格的位置有 　 　种． 【思路点拨】直接利用轴对称图形的性质分析得出答案． 【解析】解：如图所示：在图中剩余的方格中涂黑一个正方形，使整个阴影部分成为轴对称图形，只要将1，2处涂黑，都是符合题意的图形． 故答案为：2． 【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键． 12．如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别在下图添画1个小正方形使它成为轴对称图形． 【思路点拨】根据轴对称图形的性质，主要是先找到对称轴，然后再利用轴对称的性质画轴对称图形．注意在找对称轴时，要使添上一个小正方形后就是轴对称图形． 【解析】解： 【点睛】本题主要考查了轴对称图形的性质，但做本题时找对称轴是关键． 13．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为网格线交点，请按要求作图，作图过程仅使用无刻度的直尺，保留作图痕迹，无需说明理由． （1）如图1，作出△ABC关于直线MN对称的图形； （2）如图2，在直线MN上求作点P，使得∠APM＝∠BPN． 【思路点拨】（1）分别作出点A、B关于直线MN的对称点，再与点C首尾顺次连接即可； （2）作点A关于直线MN的对称点A″，连接A″B，与直线MN的交点即为所求点P． 【解析】解：（1）如图所示，△A′B′C即为所求； （2）如图所示，点P即为所求． 【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键是掌握轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点． 14．如图，△ABC的一个顶点C在直线l1上，画出△ABC关于直线l1的轴对称图形，记为M1，再画出M1关于直线l2的轴对称图形M2． 【思路点拨】找出三角形ABC各顶点关于点l1对称的对应点，后顺次连接即可； 再找出三角形A1B1C各顶点关于点l2对称的对应点，后顺次连接即可． 【解析】解：如图所示： 【点睛】本题考查了轴对称变换中的作图问题，难度不大，关键是准确找出各关键点的对应点． 题组B 能力提升练 15．如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE重叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝（　　） A．140° B．130° C．110° D．70° 【思路点拨】首先根据四边形的内角和公式可以求出四边形ADA′E的内角和，由折叠可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′，又∠A＝70°，由此可以求出∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE，再利用邻补角的关系即可求出∠1+∠2． 【解析】解：∵四边形ADA′E的内角和为（4﹣2）•180°＝360°， 而由折叠可知∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，∠A＝∠A′， ∴∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE＝360°﹣∠A﹣∠A′＝360°﹣2×70°＝220°， ∴∠1+∠2＝180°×2﹣（∠AED+∠A′ED+∠ADE+∠A′DE）＝140°． 故选：A． 【点睛】本题考查根据多边形的内角和计算公式求和多边形相关的角的度数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理． 16．在如图由5个小正方形组成的图形中，再补上一个小正方形，使它成为轴对称图形，你有几种不同的方法（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【思路点拨】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴． 【解析】解：如图所示：有4种不同的方法． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 17．如图，将一张白纸一角折过去，使角的顶点A落在A'处，BC为折痕，再将另一角∠EDB斜折过去，使BD边落在∠A'BC内部，折痕为BE，点D的对应点为D′，设∠ABC＝35°，∠EBD＝65°，则∠A'BD'的大小为 　 　°． 【思路点拨】根据角平分线的定义去计算，∠CBE的度数等于∠A′BC与∠A′BE的度数的和，然后根据平角的定义，找到等量关系，列出等式化简即可． 【解析】解：根据翻折可知： ∠A′BA＝2∠ABC＝2×35°＝70°， ∴∠A′BD＝180°﹣∠A′BA＝110°， ∵将另一角∠EDB斜折过去，使BD边落在∠A'BC内部，折痕为BE， ∴∠D′BE＝∠EBD＝65°， ∴∠A′BE＝∠A′BD﹣∠EBD＝110°﹣65°＝45°， ∴∠A'BD'＝∠D′BE﹣∠A′BE＝65°﹣45°＝20°， ∴∠A'BD'的大小为20°． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了翻折变换，角平分线的定义，角度的计算，解题的关键是折叠的折痕本质就是角的平分线． 18．如图，锐角△ABC中，BD是其角平分线，M，N分别是线段BD，BC上的动点，S△ABC＝10，AB＝4，则MN+MC的最小值为 　 　． 【思路点拨】作N点关于BD的对称点N'，连接CN'，过C作CE⊥AB交于点E，则N'必在AB上，MN+MC＝MN'+CM≥CN'≥CE，由S△ABC＝10，AB＝4，可求出EC，即可得MN+MC的最小值． 【解析】解：作N点关于BD的对称点N'，连接CN'，过C作CE⊥AB于点E， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴N'必在AB上， ∴MN+MC＝MN'+CM≥CN'≥CE， ∴当CN'＝CE时，MN+MC的值最小， ∵S△ABC＝10，AB＝4， ∴AB•CE＝10， ∴CE＝5， ∴MN+MC的最小值是5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离问题，利用轴对称和垂线段最短，将线段NM+CM的最小值转化为求三角形高CE的值是解题的关键． 19．如图1，在3×3的网格中，△ABC三个顶点均在格点上，这样的三角形叫做“格点三角形”．在图中画出一个“格点三角形”（阴影部分）与原△ABC关于某条直线成轴对称．请在图2、图3、图4中，各画一个和原三角形成轴对称的“格点三角形”，并将所画的“格点三角形”用“斜线”涂成“阴影部分”（图1﹣图4不重复）． 【思路点拨】根据轴对称的性质画图． 【解析】解：如图， 【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：先确定图形的关键点；再利用轴对称性质作出关键点的对称点；然后按原图形中的方式顺次连接对称点． 20．如图，正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A，B，C均为格点． （1）作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作出△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'； ②在直线l上找一点D，使AD+BD最小； （2）求出△A'B'C'的面积． 【思路点拨】（1）①依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于直线l的对称图形△A'B'C'； ②连接AB′，交直线l于D，连接BD，则AD+BD最小值等于AB′的长； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【解析】解：（1）①△A'B'C'就是所求作的三角形； ②点D就是所求作的点； （2）△A'B'C'的面积＝3×5﹣1×5﹣×2×4﹣×1×3＝7． 【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 题组C 培优拔尖练 21．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【思路点拨】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可． 【解析】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键． 22．如图，直线l1、l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，使得村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，现两位同学提供了两种设计方案，下列说法正确的是（　　） 方案一： ①将点A向上平移d得到A'；②连接A'B交l1于点M；③过点M作MN⊥l1，交l2于点N，MN即桥的位置． 方案二： ①连接AB交l1于点M；②过点M作MN⊥l1，交l2于点N．MN即桥的位置． A．唯方案一可行 B．唯方案二可行 C．方案一、二均可行 D．方案一、二均不可行 【思路点拨】因为河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可，可利用平移解决问题． 【解析】解：河宽是确定的，要使村庄A经桥过河到村庄B的路程最短，只要AN+BM最短即可． ∵AA'垂直于河岸l2，AA′＝d， 连接BA′，与另一条河岸相交于M，作MN⊥直线l1， 由平移的性质，知MN∥AA′，且MN＝AA′＝d，MA′＝NA， 根据“两点之间线段最短”，BA′最短，即AN+BM最短． 故方案一符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查两点之间线段最短，平移的性质，能够将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题是解题的关键． 23．小明想玩一个折纸游戏，分以下三步进行：第一步，将长方形纸条ABCD向上翻折，记点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕为EF，且C′E交AD于点G（如图1）；第二步，将四边形GFD'C′沿GF向下翻折，记C′、D′的对应点分别为C″、D″（如图2）；第三步，将长方形ABCD向下翻折，记A、B的对应点分别为A'、B′，折痕为HM（如图3）． （1）若∠CEF＝20°，则∠EFD″＝　 　度； （2）若∠CFF＝17°，则当A′H∥C″G时，∠EMB′＝　 　度． 【思路点拨】（1）根据翻折前后的两个图形全等，再结合平行线，可求出∠GFD′的度数，即∠GFD′′的度数，最后减去∠GFE的度数即可． （2）同第（1）的方法，可求出∠GFD′′的度数，再由平行线可求得∠FGC′′，最后利用平行线求得∠EMB′的度数． 【解析】解：（1）由翻折可知， ∠C′EF＝∠CEF＝20°． 又D′F∥C′E， ∴∠C′EF+∠D′FE＝180°． ∴∠D′FE＝160°． 又AD∥BC， ∴∠AFE＝∠FEC＝20°， ∴∠GFD′＝160°﹣20°＝140°． 又由第二次翻折， 得∠GFD′′＝∠GFD′＝140°． ∴∠EFD′＝140°﹣20°＝120°． 故答案为：120． （2）过程同第（1）题，可求得∠GFD′＝146°． 又GC′∥FD′， ∴∠GFD′+∠C′GF＝180°． ∴∠C′GF＝34°． 又A′H∥C′′G，AG∥BE． ∴∠GHA′＝∠C′GF＝34°． 同理∠EMB′＝∠GHA′＝34°． 故答案为：34． 【点睛】本题考查了翻折的有关性质，主要利用翻折前后的对应角相等，以及将线平行转化为角相等来解决问题． 24．如图，∠AOB＝20°，点M，N分别是边OA，OB上的定点，点P，Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ＝α，∠PQN＝β，当MP+PQ+QN最小时，则β﹣α的值为　 　． 【思路点拨】作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小易知∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解析】解：如图，作M关于OB的对称点M′，N关于OA的对称点N′，连接M′N′交OA于Q，交OB于P，则MP+PQ+QN最小， ∴∠OPM＝∠OPM′＝∠NPQ，∠OQP＝∠AQN′＝∠AQN， ∴∠QPN＝（180°﹣α）＝∠AOB+∠MQP＝20°+（180°﹣β）， ∴180°﹣α＝40°+（180°﹣β）， ∴β﹣α＝40°， 故答案为40°． 【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形的内角和定理．三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 25．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数是　 　． 【思路点拨】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°，进而得出∠AMN+∠ANM＝2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案． 【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于点M，交CD于点N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH， ∵∠DAB＝120°， ∴∠HAA′＝60°， ∴∠AA′M+∠A″＝∠HAA′＝60°， ∵∠MA′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″， 且∠MA′A+∠MAA′＝∠AMN，∠NAD+∠A″＝∠ANM， ∴∠AMN+∠ANM＝∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″＝2（∠AA′M+∠A″）＝2×60°＝120°， 故答案为：120°． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 26．已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法） 【思路点拨】先作出点A关于I的对称点A′，B点向左平移到B′（平移的长度为定值a），再连接A'B′，与l交于C，再作BD∥A′B′，与l交于D，即可确定点D、C． 【解析】解：如图所示：红线即为所求． 【点睛】本题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题的几何作图，属稍难题，此题的难点主要是确定点C、点D的位置． 学科网（北京）股份有限公司 $$