21.1一元二次方程　同步练习　2024—-2025学年人教版九年级数学上册

第01课 一元二次方程 SHAPE \* MERGEFORMAT 学习目标 （1）会设未知数，列一元二次方程. （2）了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 一元二次方程的概念 1、对“一元”、“二次”的理解 ①一元：方程只有 未知数； ②二次：未知数的 为2； 2、一元二次方程满足的三个条件 ①方程必须是 方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如 不是整式方程）； ②只含有 个未知数； ③未知数的 为2； 知识点02 一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式及要求 ①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成 的形式， 叫做一元二次方程的一般形式； ②一元二次方程的一般形式的要求： 等式左边为关于x的 ，等式右边 ； 2、一元二次方程的项和系数 a为 b为 3、一元二次方程的特殊形式： 【注意】 （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化为 ； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程 ，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的 ； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项 ，则该项的系数为 ； 知识点03 一元二次方程的根 一元二次方程的根满足两个条件： （1）根就是未知数的值； （2）使方程两边相等； 用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。 应用： 1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边 , 则是,否则不是. 2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 知识点04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根 （1）首先观察下表： 已知方程的根 得出等式 x=1 x= x=2 x= （2）由上表，根据a、b、c的等式，得出方程的根 已知等式 方程的根 【注意】 ①由a、b、c的等式，判断方程的根时，要将a、b、c放在等号的一侧； ②根据一元二次方程的一般式 可知，c的系数为 ，故一定要将c的系数化为 ； ③根据一元二次方程的一般式 可知，一次项bx可知，b的 即为方程的根x； SHAPE \* MERGEFORMAT 考法01 一元二次方程的判断 【例题1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0 C． ﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 【即学即练1】下列哪个方程是一元二次方程（　　） A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+ =3 D．x2=2x﹣3 【即学即练2】下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ） A． B． C． =0 D． 考法02 一元二次方程的定义 【例题2】若关于x的方程 是一元二次方程，则(     ) A． B． C． D． 【即学即练1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值. 【即学即练2】已知方程 . （1）当 取何值时是一元二次方程？ （2）当 取何值时是一元一次方程？ 考法03 一元二次方程的一般式 【例题3】填空： （1）一元二次方程的一般式是 __________． （2）把一元二次方程 化成一般式是__________． （3）把一元二次方程 化成一般式是__________． （4）一元二次方程 的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是__________． （5）一元二次方程 的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______． （6）当 __________ 时，关于 的方程 是一元二次方程． 【即学即练1】下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 【即学即练2】方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【即学即练3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是(　　) A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0 考法04 一元二次方程的根 【例题4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（     ） A．−2 B．2 C．−4 D．4 【即学即练1】如果关于x的一元二次方程 有一个解是0，那么m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3 【即学即练2】若n（ ）是关于x的方程 的根，则m+n的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【即学即练3】已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同的实数根 ，则 的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【即学即练4】关于 的方程 必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【即学即练5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【即学即练6】两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根的是（   ） A． 2020 B． C．-2020 D． 考法05 由a、b、c的等式得出方程的根 【例题5】若方程 中， 满足 和 ，则方程的根是（       ） A． B． C． D．无法确定 【即学即练1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ； （2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ； （3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ． 考法06 整体代换思想 【例题6】已知整式 的值为6，则整式2x2-5x+6的值为（          ） A．9 B．12 C．18 D．24 【即学即练1】已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（　　） A．1 B． C． 或1 D．2 【即学即练2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则 的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【即学即练3】已知x＝﹣1是一元二次方程 的一个根，求 的值． 【即学即练4】 是方程 的根，则式子 的值为（ ） A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 考法07 列一元二次方程 【例题1】根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． （1）一个长方形的长比宽多 ，面积是 ，求长方形的长x； （2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x； （3）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有x人． 【即学即练1】根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长 . SHAPE \* MERGEFORMAT 题组A 基础过关练 1．若方程（m-1）x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ） A．m≠1 B．m≠0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A． B． C． D． 3．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是（ ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是(    ) A．-1 B．1 C．0 D．不能确定 5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 6．若 是方程 的根，则 的值为（       ） A． B． C． D． 7．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（       ） A．2 B．－2 C．±2 D．0 8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a )必有一个根是（   ） A．0 B．1 C．-1 D． 9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3 10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．2或－2 B．2 C．－2 D．0 11．下列说法正确的是（        ） A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程 B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程 C．方程x2－2x＝1的常数项为0 D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0 12．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则 的值为（             ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 题组B 能力提升练 13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 14．若关于x的方程 有一个根是1，则 _________． 15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____． 16．若a是方程 的解，计算： =______. 17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________. 18．若关于x的一元二次方程 有一个根为0，则a的值为_________． 19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）． 20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___． 21．已知 =0        是关于 x 的一元二次方程，则 k 为___________． 题组C 培优拔尖练 22．某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题： （1）是否存在 的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 的值； （2）是否存在 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出 的值，并解此方程． 23．若m是一元二次方程 的一个实数根． （1）求a的值； （2）不解方程，求代数式 的值． 24．一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值． 25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝ ＋ －2，求 的值. 26．试证明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次方程； 第01课 一元二次方程 SHAPE \* MERGEFORMAT 学习目标 （1）会设未知数，列一元二次方程. （2）了解一元二次方程及其根的概念. （3）能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数. SHAPE \* MERGEFORMAT 知识点01 一元二次方程的概念 1、对“一元”、“二次”的理解 ①一元：方程只有一个未知数； ②二次：未知数的最高次为2； 2、一元二次方程满足的三个条件 ①方程必须是整式方程（不得含有分式，即未知数不在分母位置上，例如 不是整式方程）； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次为2； 知识点02 一元二次方程的一般形式 1、一元二次方程的一般形式及要求 ①一元二次方程的一般式：任何一个关于x的一元二次方程，经过整理化简，都可以写成 的形式， 叫做一元二次方程的一般形式； ②一元二次方程的一般形式的要求： 等式左边为关于x的二次整式，等式右边等于0； 2、一元二次方程的项和系数 二次项 一次项 常数项 a为二次项系数 b为一次项系数 3、一元二次方程的特殊形式： 【注意】 （1）将一元二次方程化为一般形式，如果二次项系数为负数，一般将方程两边同乘以-1，将二次项系数a化为正数； （2）找一元二次方程各项的系数时，首先要将一元二次方程化为一般形式，再找二次项系数、一次项系数和常数项，并且要带上前面的符号； （3）若方程中没有出现一次项 或常数项 ，则该项的系数为0； 知识点03 一元二次方程的根 一元二次方程的根满足两个条件： （1）根就是未知数的值； （2）使方程两边相等； 用法：已知方程的根，则将方程的根代入未知数，等式成立。 应用： 1.判断根的方法:分别将未知数的值代入原方程,看左右两边是否相等,相等则是,否则不是. 2.根据方程根的定义,将方程的根代入原方程求解,从而确定某些字母的取值或求出给定代数式的值. 知识点04 由a、b、c的等式得出一元二次方程的根 （1）首先观察下表： 已知方程的根 得出等式 x=1 x= x=2 x= （2）由上表，根据a、b、c的等式，得出方程的根 已知等式 方程的根 x=1 x=1 x= x= x=2 x=2 x= x= 【注意】 ①由a、b、c的等式，判断方程的根时，要将a、b、c放在等号的一侧； ②根据一元二次方程的一般式 可知，c的系数为1，故一定要将c的系数化为 ； ③根据一元二次方程的一般式 可知，一次项bx可知，b的系数即为方程的根x； SHAPE \* MERGEFORMAT 考法01 一元二次方程的判断 【例题1】下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(　　) A．ax2+bx+c＝0(a，b，c为常数) B．x2﹣x﹣2＝0 C． ﹣2＝0 D．x2+2x＝x2﹣1 【答案】B 【解析】 A．若a＝0，则该方程不是一元二次方程，故A选项错误， B．符合一元二次方程的定义，故B选项正确， C．属于分式方程，不符合一元二次方程的定义，故C选项错误， D．整理后方程为：2x+1＝0，不符合一元二次方程的定义，故D选项错误， 故选B． 【即学即练1】下列哪个方程是一元二次方程（　　） A．2x+y=1 B．x2+1=2xy C．x2+ =3 D．x2=2x﹣3 【答案】D 【解析】 A. 2x＋y＝1是二元一次方程，故不正确； B. x2＋1＝2xy是二元二次方程，故不正确； C. x2＋ ＝3是分式方程，故不正确；           D. x2＝2x－3是一元二次方程，故正确； 故选：D 【即学即练2】下列方程中，关于x的一元二次方程是（       ） A． B． C． =0 D． 【答案】A 【解析】 A、根据一元二次方程的定义A满足条件，故A正确， B、分母中有未知数，不是整式方程，不选B， C、二次项系数为a是否为0，不确定，不选C， D、没有二次项，不是一元二次方程，不选D． 故选择：A． 考法02 一元二次方程的定义 【例题2】若关于x的方程 是一元二次方程，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由一元二次方程的定义可得a-2≠0,可解出a≠2．故答案为A 【即学即练1】已知:方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程,求a的值. 【答案】9 【解析】 ∵方程(a+9)x|a|-7+8x+1=0是一元二次方程, ∴ 解得 故a=9. 【即学即练2】已知方程 . （1）当 取何值时是一元二次方程？ （2）当 取何值时是一元一次方程？ 【答案】（1） （2） 或－1 【解析】 (1) 是一元二次方程， m+1≠0,m2+1=2， m=1， 当m=1时,方程 是一元二次方程； (2) 是一元一次方程， ①m+1≠0,m2+1=1， m=0； ②m+1=0，解得m=−1； 当m=0或m=−1时,方程 是一元一次方程. 考法03 一元二次方程的一般式 【例题3】填空： （1）一元二次方程的一般式是 __________． （2）把一元二次方程 化成一般式是__________． （3）把一元二次方程 化成一般式是__________． （4）一元二次方程 的二次项的系数是__________，一次项的系数是__________， 常数项是__________． （5）一元二次方程 的二次项的系数是_______，一次项的系数是_______，常数项是_______． （6）当 __________ 时，关于 的方程 是一元二次方程． 【答案】 （1）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）；（2） ，（3） ；（4）4，0，-3；（5）3，-5，-5；（6）≠3. 【解析】 解：（1）一元二次方程的一般式是：ax2＋bx＋c＝0（a≠0）； （2）把一元二次方程 化成一般式是： ； （3）把一元二次方程 化成一般式是： ． （4）一元二次方程 的二次项的系数是：4，一次项的系数是：0， 常数项是：-3； （5）一元二次方程 的二次项的系数是：3，一次项的系数是：-5，常数项是：-5． （6）当m≠3时，关于 的方程 是一元二次方程． 【即学即练1】下列方程中哪些是一元二次方程？将一元二次方程写成一般式的形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项 （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析；（5）见解析；（6）见解析. 【解析】 解：（1）未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （2） 是一元二次方程，一般形式为： ，二次项系数是：1，一次项系数是：0，,常数项是：-4； （3）是分式方程，故不是一元二次方程； （4）将方程左右展开后可得：4x+8=0，未知数最高次数是1，故不是一元二次方程； （5）方程 中，当a=0时不是一元二次方程，故不是一元二次方程； （6） 是一元二次方程，一般形式为： ，二次项系数是：2，一次项系数是：-5，,常数项是：7. 【即学即练2】方程 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A． ， ， B． ， ， C． ， ， D． ， ， 【答案】D 【解析】 解： 可变形为： ， ∴二次项系数为：2，一次项系数为： ，常数项为： ， 故选D． 【即学即练3】把一元二次方程x(x+1)＝3x+2化为一般形式，正确的是(　　) A．x2+4x+3＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣2＝0 【答案】D 【解析】 一元二次方程的一般形式为 x(x+1)＝3x+2 x2+x﹣3x﹣2＝0， x2﹣2x﹣2＝0 故选D． 考法04 一元二次方程的根 【例题4】已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（     ） A．−2 B．2 C．−4 D．4 【答案】B 【解析】 解：把x=1代入方程得1+k-3=0， 解得k=2． 故选B． 【即学即练1】如果关于x的一元二次方程 有一个解是0，那么m的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．0或﹣3 【答案】A 【解析】 把x=0代入方程 中； 得： ； 解得 或 ； 当 时,原方程二次项系数 ,舍去, 故选A 【即学即练2】若n（ ）是关于x的方程 的根，则m+n的值为（ ） A．1 B．2 C．-1 D．-2 【答案】D 【解析】 解：∵ 是关于x的方程 的根， ∴ ，即n(n+m+2)=0, ∵ ∴n+m+2=0,即m+n=-2, 故选D. 【即学即练3】已知下面三个关于 的一元二次方程 ， ， 恰好有一个相同的实数根 ，则 的值为（ ） A．0 B．1 C．3 D．不确定 【答案】A 【解析】 把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0， ∴（a+b+c）（a2+a+1）=0． ∵a2+a+1=（a+ ）2+ ＞0， ∴a+b+c=0． 故选A． 【即学即练4】关于 的方程 必有一个根为（ ） A．x=1 B．x=-1 C．x=2 D．x=-2 【答案】A 【解析】 解：A、当 是， ，所以方程 必有一个根为1，所以A选项正确； B、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以B选项错误； C、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以C选项错误； D、当 时， ，所以当 时，方程 有一个根为 ，所以D选项错误.故选：A 【即学即练5】已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 【答案】A 【解析】 解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b， ∴b2﹣ab+b=0， ∵﹣b≠0， ∴b≠0， 方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0， ∴a﹣b=1． 故选A． 【即学即练6】两个关于 的一元二次方程 和 ，其中 ， ， 是常数，且 ，如果 是方程 的一个根，那么下列各数中，一定是方程 的根的是（   ） A． 2020 B． C．-2020 D． 【答案】C 【解析】 ∵ ， ，a+c=0 ∴ ， ∵ax2+bx+c=0 和cx2+bx+a=0， ∴ ， ， ∴ ， ， ∵ 是方程 的一个根， ∴ 是方程 的一个根， ∴ 是方程 的一个根， 即 是方程 的一个根 故选：C． 考法05 由a、b、c的等式得出方程的根 【例题5】若方程 中， 满足 和 ，则方程的根是（       ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解析】 解：∵ ， 把 代入得： ， 即方程的一个解是 ， 把 代入得： ， 即方程的一个解是 ； 故选：A． 【即学即练1】已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）. （1）若a+b+c=0，则此方程必有一根为 ； （2）若a-b+c=0，则此方程必有一根为 ； （3）若4a-2b+c=0，则此方程必有一根为 ． 【答案】（1）1   （2）-1   （3）-2 【解析】 解：对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）， （1）当a+b+c=0时，x=1； （2）当a-b-c=0时，x=-1； （3）当4a-2b+c=0时，x=-2. 故答案是：（1）1   （2）-1   （3）-2 考法06 整体代换思想 【例题6】已知整式 的值为6，则整式2x2-5x+6的值为（          ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【解析】 观察题中的两个代数式，可以发现，2x2-5x=2（x2- x），因此可整体求出式x2- x的值，然后整体代入即可求出所求的结果． 解答：解：∵x2- x=6 ∴2x2-5x+6=2（x2- x）+6 =2×6+6=18，故选C． 【即学即练1】已知a是方程x2-2x-1=0的一个根，则代数式2a2-4a-1的值为（　　） A．1 B． C． 或1 D．2 【答案】A 【解析】 ∵a是方程 的一个根， ∴ ∴ 故选A. 【即学即练2】已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则 的值为（　　） A． B． C．﹣1 D．1 【答案】D 【解析】 原式= = ， ∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根， ∴a2+a﹣1=0， 即a2+a=1， ∴原式= =1． 故选D． 【即学即练3】已知x＝﹣1是一元二次方程 的一个根，求 的值． 【答案】﹣1． 【解析】 解：∵x＝﹣1是一元二次方程 的一个根， ． ． 【即学即练4】 是方程 的根，则式子 的值为（ ） A．2014 B．2015 C．2016 D．2017 【答案】B 【解析】 ∵m是方程x2+x﹣1=0的根，∴m2+m﹣1=0，即m2+m=1，∴m3+2m2+2014=m（m2+m）+m2+2014=m+m2+2014=1+2014=2015． 故选B． 考法07 列一元二次方程 【例题1】根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式． （1）一个长方形的长比宽多 ，面积是 ，求长方形的长x； （2）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x； （3）在一次新年聚会中，小朋友们互相赠送礼物，全部小朋友共互赠了110件礼物，假设参加聚会小朋友有x人． 【答案】 （1） ，化为一般形式是 ； （2） ，化为一般形式是 ； （3） ，化为一般形式为 ． 【解析】 解：（1）设长方形的长为 ，则宽为 ， ∴ ， 化为一般形式是 ； （2）依题意得 ， 化为一般形式是 ； （3）假设参加聚会的有x个小朋友，那么每个小朋友应该送出 件礼物，则x个小朋友共送出 件礼物，可列方程为 ， 化为一般形式为 ． 【即学即练1】根据下列问题，列出关于 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 . （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长 . （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长 . 【答案】(1) ;(2) ;(3) . 【解析】 （1）依题意得， ， 化为一元二次方程的一般形式得， . （2）依题意得， ， 化为一元二次方程的一般形式得， . （3）依题意得， ， 化为一元二次方程的一般形式得， . SHAPE \* MERGEFORMAT 题组A 基础过关练 1．若方程（m-1）x2+ x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（       ） A．m≠1 B．m≠0 C．m≥0且m≠1 D．m为任意实数 【答案】C 【解析】 解：根据题意得： 解得：m≥0且m≠1． 故选C． 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 A选项： 时，方程就不是二次方程，故A错误； B选项：x在分母上，不满足方程左右两边均为整式的条件，故B错误； C选项： 整理得： ，符合一元二次方程的定义，故C正确； D选项： 整理得： ，故D错误． 综上所述． 故选：C． 3．若 是关于 的方程 的一个根，则 的值是（ ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】A 【解析】 解：把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0， ∵n≠0， ∴n+m+3=0， 即m+n=-3． 故选A． 4．若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有一个根为-1，则a-b+c的值是(    ) A．-1 B．1 C．0 D．不能确定 【答案】C 【解析】 解：将x=-1代入方程得， a-b+c=0 故答案为C 5．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+3＝0的一个解，则m的值是（　　） A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3 【答案】A 【解析】 解：把x＝﹣1代入x2+mx+3＝0得1﹣m+3＝0，解得m＝4． 故选：A． 6．若 是方程 的根，则 的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 是方程 的根， ， 故选：C． 7．关于x的一元二次方程（a＋2）x2+x+a2-4=0的一个根为0，则a的值为（       ） A．2 B．－2 C．±2 D．0 【答案】A 【解析】 把x=0代入原方程得a2-4=0，即a= ±2, 又∵a＋2 0，∴a=2，选A. 8．若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=0(a )必有一个根是（   ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】C 【解析】 ∵x=-1时，代入方程得a×（-1）2+b×（-1）+c=0，即a-b+c=0 故方程有一个根是x=-1 故选C. 9．方程2x 2 =1－3x化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为( ) A．2，1，－3 B．2，3，－1 C．2，3，1 D．2，1，3 【答案】B 【解析】 2x2＝1-3x化成一元二次方程一般形式是2x2+3x-1＝0， 它的二次项系数是2，一次项系数是3，常数项是-1． 故选B． 10．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（　　） A．2或－2 B．2 C．－2 D．0 【答案】B 【解析】 解：由题意得：|m|=2，且m+2≠0， 解得：m=2． 故选：B． 11．下列说法正确的是（        ） A．形如ax2＋bx＋c＝0的方程叫做一元二次方程 B．(x＋1)(x－1)＝0是一元二次方程 C．方程x2－2x＝1的常数项为0 D．一元二次方程中，二次项系数、一次项系数及常数项都不能为0 【答案】B 【解析】 A.一元二次方程的一般形式规定a、b、c为常数且a≠0，故此选项错误； B.(x＋1)(x－1)＝0变形后为x2-1=0，是一元二次方程，故此选项正确； C.该方程的常数项是－1，故此选项错误； D.一元二次方程中，二次项系数不能为0，一次项系数可以为0，故此选项错误； 故选B. 12．一元二次方程 化成一般式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则 的值为（             ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【答案】B 【解析】 方程整理得：x2﹣ax+1=0． ∵结果一次项系数为﹣1，∴﹣a=﹣1，即a=1． 故选B． 题组B 能力提升练 13．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 【答案】﹣2 【解析】 ∵2是关于x的一元二次方程 的一个根， ∴ ， ∴n＋m＝−2， 故答案为−2． 14．若关于x的方程 有一个根是1，则 _________． 【答案】1 【解析】 解：把x=1代入方程 得1+a-2=0， 解得a=1． 故答案是：1． 15．若方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m=_____． 【答案】2 【解析】 解：由题意得，，解得， 16．若a是方程 的解，计算： =______. 【答案】0 【解析】 ∵a是方程x2﹣3x+1=0的一根， ∴a2﹣3a+1=0，即a2﹣3a=﹣1，a2+1=3a ∴ 故答案为0． 17．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=－2，x2=1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m+2)2+b=0 的解是__________. 【答案】x=-4,x=-1 【解析】 解：∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=-2，x2=1，（a，m，b均为常数，a≠0）， ∴方程a（x+m+2）2+b=0变形为a[（x+2）+m]2+b=0，即此方程中x+2=-2或x+2=1， 解得x=-4或x=-1． 故方程a（x+m+2）2+b=0的解为x1=-4，x2=-1． 故答案为x1=-4，x2=-1． 18．若关于x的一元二次方程 有一个根为0，则a的值为_________． 【答案】-2 【解析】 解：把x=0代入方程得：a2-4=0， （a-2）（a+2）=0， 可得a-2=0或a+2=0， 解得：a=2或a=-2， 当a=2时，a-2=0，此时方程不是一元二次方程，舍去； 则a的值为-2． 故答案为：-2． 19．某商品的原价为120元，如果经过两次降价，且每次降价的百分率都是m，那么该商品现在的价格是_____元（结果用含m的代数式表示）． 【答案】100（1﹣m）2 【解析】 第一次降价后价格为100（1-m）元，第二次降价是在第一次降价后完成的，所以应为100（1-m）（1-m）元， 即100（1-m）2元． 故答案为100（1-m）2． 20．若方程x2＋mx＋1＝0和x2＋x＋m＝0有公共根，则常数m的值是___． 【答案】-2． 【解析】 设方程x2+mx+1=0和x2+x+m=0的公共根为t， 则t2+mt+1=0①， t2+t+m=0②， ①-②得（m-1）t=m-1， 如果m=1，那么两个方程均为x2+x+1=0无解，不符合题意； 如果m≠1，那么t=1， 把t=1代入①，得1+m+1=0，解得m=-2． 故常数m的值为-2． 故答案为-2． 21．已知 =0        是关于 x 的一元二次方程，则 k 为___________． 【答案】-2 【解析】 已知 =0        是关于 x 的一元二次方程，可得 ，1-k≥0，解得k=-2. 题组C 培优拔尖练 22．某中学数学兴趣小组对关于 的方程 提出了下列问题： （1）是否存在 的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出 的值； （2）是否存在 的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出 的值，并解此方程． 【答案】（1）1     （2） ， ； ， 【解析】 解：（1）根据一元二次方程的定义，得 解得 ． （2）由题可知，当 即 时，方程为一元一次方程． 此时方程为 ，解得 ； 当 即 时，方程为一元一次方程， 此时方程为 ，解得 ． 23．若m是一元二次方程 的一个实数根． （1）求a的值； （2）不解方程，求代数式 的值． 【答案】（1） ；（2）4 【解析】 （1）由于 是关于 的一元二次方程， 所以 ， 解得 ； （2）由（1）知，该方程为 ， 把 代入，得 ， 所以 ，① 由 ，得 ， 所以 ，② 把①和②代入 ， 得 ， 即 ． 24．一元二次方程 化为一般形式后为 ，试求 的值． 【答案】 【解析】 解：原方程可化为： ax2−（2a−b）x＋a−b＋c＝0， 由题意得，a＝2，2a−b＝3，a−b＋c＝−1， 解得：a＝2，b＝1，c＝−2， ∴ ． 25．若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1，且a＝ ＋ －2，求 的值. 【答案】0 【解析】 ∵a＝ ＋ －2， ∴c－4≥0且4－c≥0，即c＝4，则a＝－2. 又∵－1是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根， ∴a－b＋c＝0， ∴b＝a＋c＝－2＋4＝2. ∴原式＝ ＝0. 26．试证明关于 的方程 无论 取何值，该方程都是一元二次方程； 【答案】证明见解析. 【解析】 ∵a2−8a+20=(a−4)2+4⩾4， ∴无论a取何值，a2−8a+20⩾4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0， ∴关于x的方程(a2−8a+20)x2+2ax+1=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程． 目标导航 知识精讲 能力拓展 分层提分 目标导航 知识精讲 能力拓展 分层提分 $$