6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第六章　平面向量及其应用 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示 人教A版 数学 必修第二册 课程标准 1.会用坐标表示平面向量加、减运算与数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　平面向量运算的坐标表示 平面向量的坐标运算法则:若向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则 表示 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　　  a+b=　　　　 　 　  减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的　　  a-b=　　　 　　　   数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的　　　　　  λa=　　　　 　　   向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A(x1,y1), B(x2,y2),则 =　　　 　　　   和 (x1+x2,y1+y2) 差 (x1-x2,y1-y2) 相应坐标 (λx1,λy1) (x2-x1,y2-y1) 过关自诊 1.若a=(3,-2),b=(-1,4),则a+b=　　　　　.  2.在平面直角坐标系中,若M(1,-6),N(3,4),则向量 的坐标是　　　　,向量 的坐标是　　　　.  3.[北师大版教材习题]已知a=(2,4),b=(-1,1),求2a-3b,4a+2b的坐标. (2,2) (2,10) (-2,-10) 解 2a-3b=(4,8)-(-3,3)=(7,5); 4a+2b=(8,16)+(-2,2)=(6,18). 知识点2　平面向量共线的坐标表示 利用平面向量共线可解决平面几何中的平行问题 前提条件 a=(x1,y1),b=(x2,y2) 结论 向量a,b共线的充要条件是　　 　  x1y2-x2y1=0 名师点睛 若a,b(b≠0)共线,则可设a=tb(t∈R),转化为坐标即(a1,a2)=t(b1,b2),可得 若再转化为更一般的情况,可得:a1b2-a2b1=0. 这是两向量共线坐标条件的一般化表示,适用于任意两向量共线. 过关自诊 2.若向量m=(3,-2)与n=(x,4)共线,则实数x=　　　　　.  -6 解析 因为两个向量共线,所以3×4=(-2)×x,解得x=-6. 3.[人教B版教材例题]在平面直角坐标系中,已知A(-2,-3),B(0,1),C(2,5),求证:A,B,C三点共线. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　向量的坐标运算 【例1】 (1)已知向量a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6),试求a+3b,3a-2b+ c. 解 因为a=(1,2),b=(3,-4),c=(-2,6), 所以a+3b=(1,2)+3(3,-4)=(1,2)+(9,-12)=(10,-10), 规律方法　向量坐标运算要注意的问题 (1)向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,要注意三角形法则及平行四边形法则的应用. (2)若是给出向量的坐标,解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则. (3)向量线性运算的坐标表示可完全类比数的运算进行. A.(4,6) B.(-4,-6) C.(-2,-2) D.(2,2) A 探究点二　向量坐标运算的应用 规律方法　平面向量坐标运算应用技巧 (1)坐标形式下向量相等的条件:相等向量的对应坐标相等;对应坐标相等的向量是相等向量.由此可建立相等关系求某些参数的值. (2)利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐标相同的关系列方程(组)求出x,y的值. 探究点三　向量共线的判断与证明 【例3】 [人教B版教材习题]已知A(-1,-3),B(0,-1),C(1,1),求向量 ,并判断A,B,C三点是否共线. 规律方法　 变式训练2已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),向量 平行吗?直线AB平行于直线CD吗? 探究点四　根据向量共线求参数值 【例4】 已知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3),若向量2a+b与向量3a-2b共线,求实数x的值. 解 因为a=(-1,x),b=(x-2,-3), 所以2a+b=(x-4,2x-3),3a-2b=(-2x+1,3x+6). 因为向量2a+b与向量3a-2b共线, 所以(x-4)(3x+6)=(2x-3)(-2x+1), 整理得x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1. 故实数x的值是3或-1. 变式探究本例中,若已知“向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向”,如何求实数x的值? 解 (方法一)由题意可知向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)共线,则有(-1)×(-3)=x(x-2),即x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1. 当x=3时,a=(-1,3),b=(1,-3),这时a=-b,a与b反向;当x=-1时,a=(-1,-1), b=(-3,-3),这时3a=b,a与b同向,故实数x的值为3. (方法二)因为向量a=(-1,x),b=(x-2,-3)反向, 所以设a=λb(λ<0),即(-1,x)=λ(x-2,-3), 因为λ<0,所以取x=3,故实数x的值为3. 规律方法　根据向量共线求参数值的方法 根据向量共线的条件求参数值的问题,一般有两种处理思路,一是利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解,二是利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0或 (y1y2≠0)直接求解. 探究点五　利用向量共线证明三点共线 【例5】 若已知点A(1,-3),B ,C(9,1),求证:A,B,C三点共线. 规律方法　三点共线的实质与证明步骤 (1)实质:三点共线问题的实质是向量共线问题.两个向量共线只需满足方向相同或相反. (2)证明步骤:①证明向量平行;②证明两个向量有公共点. C 于是1×(m+1)-m×2=0,解得m=1. 若点A,B,C能构成三角形,则点A,B,C不共线,故m≠1. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)平面向量加、减运算的坐标表示. (2)平面向量数乘运算的坐标表示. (3)平面向量共线的坐标表示. 2.方法归纳:数形结合. 3.常见误区:忽视基底中的向量不共线. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 级 必备知识基础练 1.(多选题)[探究点三]下列各对向量不共线的是(　　) A.a=(2,3),b=(3,-2) B.a=(2,3),b=(4,-6) ABC 解析 A,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b= a,两个向量共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 2.[探究点一]向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=(　　) A.10 B.(5,5) C.(5,6) D.(5,7) B 解析 ∵向量a=(2,3),b=(1,-1), ∴2a+b=(5,5),故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 3.[探究点一]已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于(　　) A.(-2,6) B.(-4,0) C.(7,6) D.(-2,0) D 解析 ∵a-3b+2c=0, ∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0), 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 4.[探究点四]已知向量a=(3,5),b=(cos α,sin α),且a∥b,则tan α等于(　　) B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 {m|m∈R且m≠6} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 9.[探究点二、四]已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)求3a+b-3c; (2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)求M,N的坐标及 的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)∵a=mb+nc, ∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 级 关键能力提升练 12.(多选题)已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),给出下面四个结论,其中正确的有(　　) ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 14.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 ABC 解析 ∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线, ∴2(y2-2)-(-1)x2=0, ∴x2=4-2y2≥0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 18.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为　　 .  -2 解析 因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 19.已知点A(-1,1),B(2,-1). (1)若点C是线段AB的中点,求点C的坐标; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 C 级 学科素养创新练 20.(多选题)已知向量a=(x,3),b=(-3,x),则下列叙述中不正确的是(　　) A.存在实数x,使a∥b B.存在实数x,使(a+b)∥a C.存在实数x,m,使(ma+b)∥a D.存在实数x,m,使(ma+b)∥b ABC 解析 只有D正确,可令m=0,则ma+b=b,无论x为何值,都有b∥b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 21.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7). (1)当k为何值时,a∥(b+c)? (2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 解 (1)∵a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7), ∴b+c=(10,k+7), 又a∥(b+c),∴1×(k+7)-2×10=0,解得k=13, ∴当k=13时,a∥(b+c). (2)当k=1时,b=(2,1). c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n), 解析 =(3,4)-(1,-6)=(2,10),=(1,-6)-(3,4)=(-2,-10). 若b1≠0,b2≠0,则有=t,即对应坐标成比例. 1.若A,B,C三点共线,请问是什么位置关系? 提示 向量共线. 证明 由已知得=(0,1)-(-2,-3)=(2,4), =(2,5)-(-2,-3)=(4,8). 因为2×8=4×4,所以, 因此A,B,C三点共线. 3a-2b+c=3(1,2)-2(3,-4)+(-2,6)=(3,6)-(6,-8)+(-1,3)=(-4,17). (2)已知平面上三个点A(4,6),B(7,5),C(1,8),求, 2. 解 ∵A(4,6),B(7,5),C(1,8),∴=(7,5)-(4,6)=(3,-1); =(1,8)-(4,6)=(-3,2). ∴=(3,-1)+(-3,2)=(0,1), =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), 2=2(3,-1)+(-3,2)=. 变式训练1若向量=(1,2),=(3,4),则=(　　) 解析 =(1,2)+(3,4)=(4,6). 【例2】 (1)已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且=3=2,求点M,N的坐标. 解 (方法一)∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), ∴=(-2,4)-(-3,-4)=(1,8),=(3,-1)-(-3,-4)=(6,3). ∵=3=2,∴=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6). 设M(x1,y1),N(x2,y2),则=(x1+3,y1+4)=(3,24),=(x2+3,y2+4)=(12,6), ∴解得 ∴点M,N的坐标分别为M(0,20),N(9,2). (方法二)设点O为坐标原点,则由=3=2,可得=3(),=2(), ∴=3-2=2, ∴=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), =2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), ∴点M,N的坐标分别为M(0,20),N(9,2). (2)已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(6,9),试用表示. 解 由已知可得=(1,3),=(2,4),=(5,11). 设=x+y,则(5,11)=x(1,3)+y(2,4), 即(5,11)=(x+2y,3x+4y), ∴解得+2. 变式探究本例(1)中,若点P满足=-,如何求点P的坐标? 解 设P(x0,y0),因为A(-2,4),B(3,-1),所以=(x0+2,y0-4),=(3-x0,-1-y0). 又因为=-,所以(x0+2,y0-4)=-(3-x0,-1-y0). 则有解得 故点P坐标为. 解 ∵A(-1,-3),B(0,-1),C(1,1), ∴=(0,-1)-(-1,-3)=(1,2), =(1,1)-(-1,-3)=(2,4). 显然=2(1,2)=2,∴. 又有公共点A,∴A,B,C三点共线. 解 由题意知=(2,4),=(1,2),因为2×2-4×1=0,所以. 因为=(2,6),=(2,4), 所以2×4-2×6≠0,所以A,B,C三点不共线,所以直线AB与直线CD不重合,所以AB∥CD. 即解得 证明 由已知得=(8,4),显然有7×4=×8,所以. 又因为AB,AC有公共点A,所以A,B,C三点共线. 变式训练3已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(m+1,m-2),若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件是(　　) A.m≠-2 B.m≠ C.m≠1 D.m≠-1 解析 =(2,-1)-(1,-3)=(1,2),=(m+1,m-2)-(1,-3)=(m,m+1), 假设点A,B,C共线,则, C.a=(,-1),b=(1,) D.a=(1,),b=(,2) 即即c=(-2,0).故选D. A. B. C.- D.- 解析 由a∥b,得5cos α-3sin α=0,即tan α=. 5.[探究点二]已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶D的坐标为(　　) A. B. C.(3,2) D.(1,3) 解析 设顶点D的坐标为(x,y),因为=(4,3),=(x,y-2),且=2, 所以所以所以选A. 6.[探究点二]已知A(2,0),B(0,2),若,则点C的坐标是　　　　　.  ()　 解析 设C(x,y),则=(x-2,y),=(-2,2),所以(x-2,y)=(-),得x=,y=,即C(). 7.[探究点五]设=(2,-1),=(3,0),=(m,3),若A,B,C三点能构成三角形,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  解析 ∵A,B,C三点能构成三角形,∴不共线. 又∵=(1,1),=(m-2,4), ∴1×4-1×(m-2)≠0. 解得m≠6. ∴m的取值范围是{m|m∈R且m≠6}. 8.[探究点五]已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n=　　　　　.  9或　 (1)若=a,求x的值; (2)若∥a,求x的值. 解 (1)=(2,0), 因为=a,所以 解得x=-1. (2)因为∥a,所以x2-3x-4=0,解得x=-1或4. 10.[探究点二]已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b. 解 a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8). ∴ ∴ (3)设M(x1,y1),由=3c,得(x1+3,y1+4)=3(1,8), ∴∴x1=0,y1=20.∴M(0,20). 设N(x2,y2),由=-2b, 得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3). ∴解得 ∴N(9,2). ∴=(9,-18). 11.[探究点二]如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标. 解 因为(0,5)=,所以C. 因为(4,3)=,所以D. 设M(x,y),则=(x,y-5),, -(0,5)=. 因为,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. ① 因为,所以x-4=0,即7x-16y=-20. ② 联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为. A.平行 B. C. D.-2 解析 =(2,-1),=(-2,1),又2×1-(-1)×(-2)=0,所以平行,A正确.,所以B不正确.=(0,2)=,所以C正确.=(-4,0),-2=(0,2)-(4,2)=(-4,0),所以D正确.故选ACD. 13.已知=(-1,3),=(2,-2),=(a+1,2a),若B,C,D三点共线,则实数a的值为(　　) A.-2 B. C.- D.- 解析 根据题意,已知=(-1,3),=(2,-2),则=(3,-5),若B,C,D三点共线,则,则有3×2a=(-5)×(a+1),解得a=-.故选D. 整理得y2≤2,解得-≤y≤. ∴y的取值范围是[-]. 15.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“⊕”,向量a⊕b=(a1,b1)⊕(a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m⊕+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为(　　) A.-1 B.-2 C.2 D. 16.平面上有A(2,-1),B(1,4),D(4,-3)三点,点C在直线AB上,且,连接DC延长至E,使||=|,则点E的坐标为　　　　　.  (,-7) 17.已知向量a=(,tan α),b=(cos α,1),α∈(,π),且a∥b,则sin α=　　　　, cos 2α=　　　　.  解析 因为向量a=,tan α,b=(cos α,1),且a∥b,所以tan αcos α=. 因为α∈,π,所以sin α=, 所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×2=. (2)若直线AB上的点D满足=-2,求点D的坐标. 解 (1)设C(x,y),又A(-1,1),B(2,-1), 则=(x+1,y-1),=(2-x,-1-y), ∵点C是线段AB的中点, ∴,即解得∴C(,0). (2)设D(a,b),又A(-1,1),B(2,-1),=(a+1,b-1),=(a-2,b+1), ∵=-2,∴解得∴D(1,-). ∴解得 $$